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1、抛物线的简单几何性质（45分钟IOO分）一、选择题（每小题6分,共30分）1. （2013济宁高二检测）设抛物线y2=12x的焦点为F,点P在此抛物线上且横坐标为5,则IPFl等于（）A.4B.6C.8D.102. （2013宜春高二检测）抛物线顶点在原点,焦点在y轴上,其上一点P（m,1）到焦点的距离为5,则抛物线方程为（）A.x2=8yB.x2=-8yC.x2=16yD.x2=-16y3. （2013四川高考）抛物线y2=8x的焦点到直线-jy=0的距离是（）A.2jB.2C.jD.14. （2013冀州高二检测）设F为抛物线y?=2px（p0）的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,当面+4
2、=0,且|日|+南+E=3时,此抛物线的方程为（）A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x5 .点A是抛物线C1:y2=2px（p0）与双曲线C2l（a0,b0）的一条渐近线的交点,若点A到抛物线G的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于（）A.2B.3C.5D.6二、填空题（每小题8分,共24分）6 .（2013安阳高二检测）经过抛物线y=32的焦点作直线交抛物线于A（x,yJ,AB（x2,y2）两点,若y+y2=5,则线段AB的长等于.7 .已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离是5,则p=.8 .(2013天水高二检测)AB是过C:y2=4x焦点的弦
3、,且IABl=I0,则AB中点的横坐标是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9 .若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且IAMu,IAF|=3,求此抛物线的标准方程.10 .直角AOB的三个顶点都在抛物线y2=2px上,其中直角顶点0为原点,OA所在直线的方程为y-3x,A0B的面积为63,求该抛物线的方程.IL(能力挑战题)如图，已知直线/:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使APAB的面积最大,并求出这个最大面积.答案解析1 .【解析】选C.y2=12x,p=6,由焦半径公式得PF=Xp
4、+%5+28.22 .【解题指南】运用焦半径公式.【解析】选C.由条件可知，抛物线开口向上，设抛物线方程为2=2py(p0),由1+5=5.2p=8,故抛物线方程为x2=16y.3 .【解析】选D.根据点到直线的距离公式，可得抛物线y2=8x的焦点(2,0)到直线-jy=o的距离d=!=.4 .【解题指南】利用向量的性质及焦半径公式求解.【解析】选A.设A(X1,y),B(x2,y2),C(x3,丫3),.FA+FC=O,*.(Xi-)+(X2W+(3-)-0,即Xl2-3PFAIIII=3,(x+)+(2+)+(x3+-)=3,222即3p=3,p=1,故抛物线方彳呈为y2=2x.5.【解析
5、】选C.求抛物线G：y2=2px(p0)与双曲线C2：1-y1(a0,b0)的一条渐近线的交点：y2=2pxl(x=,2m_b解得I尸所以红了2二5a；e二正选C.y=二月b=罟，h2【变式备选】(2013南安高二检测)双曲线匚匚1(aO,bO)的右焦点是抛物线h2y2=8x的焦点，两曲线的一个公共点为P,且PF=5,则该双曲线的离心率为()A.yB,5C.2D芋【解析】选C.抛物线的准线为x=-2,设P(xo,y),则x0+2=5,924-z 2市=L解得a;a2 + b2 = 4.*o3,y0=24=L=3.离心率e=2.a6 .【解题指南】利用焦点弦的弦长公式，即y+yz+p.【解析】抛
6、物线y=2,即2=4y的准线方程为y=-1,A|AB|=|AF|+1BF|=y1+y2+2=5+2=7.答案:77 .【解析】y2=2px(p0)的焦点为巴0).由题意得2Jg+2)2+9=5,解得p=4或P=-12(舍去).答案:4【误区警示】容易把点(-2,3)看成抛物线上的点，使用焦半径公式，而导致出错.8 .【解题指南】利用焦点弦公式.解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点的横坐标XOq上.2又抛物线的准线方程为x=-1,JLAB=10,X1+x2+p=X1+X2+2=10.x1+x2=8,4.答案:49.【解析】设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p0),设A(x
7、o,y0),M(0,.2V|AFI=3,Ayo+S,2VAM=17,2+(yo+E)17,*xo2=8,代入方程X萨2py.得，8=2p(3*)，解得p=2或p=4.所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.10.【解题指南】运用解方程组分别求出A,B坐标，从而求出IOAI和0B,利用面积公式求出p即可.【解析】因为OALOB,且OA所在直线的方程为尸百X,所以OB所在直线的方程为y=-X.由,2=学得A点坐标(坦人且)，(y=3r32(y2=2p,由I5得B点坐标(6p,-2/IP).&=一六0A=p,0B=43p,Saoab=-p2-6*z3,所以p-i-.，即该抛物线的方程为y2=3
8、x或y2=-3x.【拓展提升】抛物线中恒过定点问题过抛物线y2=2px(p0)的顶点任作两条互相垂直的直线OA和0B,则直线AB恒过定点(2p,0).【举一反三】若本题中OA的直线方程为y=kx,AAOB的面积为6百”去掉，证明AB恒过定点(2p,0).【证明】由得A的坐标为(珥空)，(Jr=2pxtJIrVOA0B,AOB的直线方程为y=-l.k由V=得B的坐标为(2pk2,-2pk).W2=2px.k-2Pr-(12)-kAB-2pk4kXl-kll-k,AB的方程为y2pk=!(-2pk2),1ka整理得k(-2p)+(k2-1)y=0.由k故直线恒过定点(2p,0).11.【解题指南】先求出弦长|AB,再求出点P到直线AB的距离，从而可表示出PAB的面积，再求最大值即可.【解析】由2：T解得F=例X=1，V=4x,(V=41(V=-2.AA(4,4),B(1,-2),48|二3百,设&。,y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则有d-4Li4S52=(y0-D2-9.V-2y04,(yo-1)-9O.*.d=9-(y0-1)2.从而当Yo-I时，dma-2父,Smax-XX3S=U因此，当P为(31)时，ZPAB的面积取得最大值，最大值为关闭WOrd文档返回原板块
