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1、工程硕士数值分析总复习题（2011年年用由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习一.解答下列问题：1）下列所取近似值有多少位有效数字（注意根据什么？）：a）对e=2.718281828459045,取*=2.71828b）数学家祖冲之取常作为冗的近似值.c）经过四舍五入得出的近似值12345,-0.001,90.55000,它们的有效数字位数分别为位,位，位。2）简述下名词：a）截断误差（不超过60字）b）舍入误差（不超过60字）c）算法数值稳定性（不超过60字）3）试推导（按定义或利用近似公式）：计算八时的相对误差约等于X的相对误差的3倍。4）计算球体积V二时，为使其相
2、对误差不超过0.3%,求半径r的相对误差的允许范围。5）计算下式25738PG）+34（X-1）5（X-1）4（X-1）3（X-1）21时,为了减少乘除法次数，通常采用什么算法？将算式加工成什么形式？y-BX（k）+/,Z:-0,1,其中8称为什么？X0又称为什么？如果迭代序列La）有极限X*（即迭代公式收敛），则极限X*是什么？2）设解线性代数方程组及-b（其中Ax”非奇异，b丰（）的迭代公式为x(k)x(k)-a(Ax(k)b),Z=O,1,则其迭代矩阵是什么？此迭代公式对任意的初始向量M）收敛的充分必要条件是什么？又此迭代公式对任意的初始向量工收敛的一个充分条件是什么？X3）设线性方程组
3、IX试构造解此方程组的Jacobi迭代公式和GS迭代公式；试问所作的两种迭代公式是否收敛，为什么？试用初值皿=Q）7计算GS迭代公式的前三个值.-44）设方程组8试构造解此方程组的收敛的Jacobi迭代公式和收敛的Guass-Seidel迭代公式，并说明两者收敛的根据;求出这两种迭代的迭代矩阵.5）设线性方程组1-0.5aAx=b,A=-0.52-0.5,x,heR3-a-0.51请按便于计算的收敛充分条件，求使J法和GS法均收敛的。的取值范围.七.一元方程求根：1）写出求方程yw=M-3%7=在U,2中的近似根的一个收敛的不动点迭代公式，并证明其收敛性。2）已知方程XTnX=2（X1）的有根
4、区间3,4.试写出求该方程在3,4中的根的一个不动点迭代公式；证明所给出的迭代公式是收敛的。试设计其计算机算法.3）用Newton迭代法求方程f=33x-1=在=2附近的根，试写其NeWtOn迭代公式；并说明其收敛情况。4）试写出求：2的N。WtOn迭代公式，并说明其收敛情况。.懵微分方程初值问题：D常微分方程定解问题分为初值问题和（A）问题.初值问题是指由（B）和（C）两部分联立起来构成的问题。研究常微分方程初值问题时，通常针对基本形式（D）进行研究。设函数y（%）是某初值问题的解析解，则该初值问题在八处的解为的，）而数值解（通常记）为（F）,它们的关系是（G）.若记y%）是初值问题在点I处
5、的解，yI是由某数值方法得出的+】j1%+i处的数值解，则该数值方法在%+i处的局部截断误差是指一）.2）设初值问题y9=%y2-O%0.6yy(0)=1试用EUler方法取=0.2求解上述初值问题的数值解。fy=8-3y,1%23）设初值问题1/（y（1）-2试用梯形方法求其解在两点=.2,/.4处的值yUP的近似值。y=y2+2%+14）设初值问题y（0）=试用改进的EUlor方法，并取=OJ,设计一个求解上述初值问题数值解的求解方案（或称计算机律法描述；不必求出解的具体数值）fy=3y（l+%）,0%15）设初值问题Vy（O）=I试用4阶经典R-K方法，并取/7二0，设计一个求解上述初值
6、问题数值解的求解方案（或称计算机算法描述；不必求出解的具体数值）。九、下列各小题任选其中已学过的小题作练习：1）设=0,23求，11%,%112,11%I112设=34,求叫，叫（4）L2 )用较简捷的方法分别求下列的插值多项式“(%)和P(%),并写出其余项公式：a) /7(-1)=-1,/7(0)=H,(0)=0,/7(1)=1b) P(O)=1,P(1)=P,(l)=0,P=23 )用插值方法求在%=处与CO3%相切，在二冗2处与cos%相交的二次多项式尸2(%)，并推导插值余项的估计式为1 .ncos%一P(%)-%2%-I4)试用最小二乘法原理求下列超定方程组的近似解：2%+4%=1
7、13%-5；=312%+2%=612、2%1+%2=75)要计算函数y(%)-jXe,2dt在=o.2,0.4,0.6三处的近似值，o试用解初值问题的数值方法，设计其计算方案(要求采用二阶精度的计算公式).6)用追赶法解三对角方程组：H21,一12,1n对方程组心二8力=0.318=2拟用迭代法%(+)=%(A)+a(%(A)-b),攵=0,1,求解，试确定a的取值范围，使得上述迭代公式收敛.8)对迭代函数3%)=%+九(2-5),试求使迭代公式x二甲(x),k-0,1,.,局部收敛于无*=J5的入的取值范围。19）试给出求的NeWton迭代公式，使得迭代公式没有开方和除频算.一LXLy10）由迭代公式X=一十寸，k=0/，.，产生的序列y对任何MX2kk初值XOW均二阶收敛于什么？解释其原理。11）写出求方程x2-2+1=的NewtOn迭代公式，并指出其收敛阶（数）。（可以有两种答案）12）若用EUler公式（力/=门+匕（又“，小）解初值问题y=yLy（O）=2证明其数值解为y=2（,-h）n,并证明它收敛于准确解。y（xn）-2en讨论该数值方法的绝对稳定条件。13）设q（x）%是区间上带权P=X而最高次项系数为1的正交kit=O多项式族，其中4O（X）=I,试求夕7（%）。
