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1、 运动方程：描述物体相对参照物位置随时间的变化规律。 位矢（位置矢量）：描述物体相对参照物的位置。 表达形式：矢量式和分量式。 轨道方程：描述物体运动轨迹。物体速度：描述物体相对参照物的位置改变的快慢。 位移：不同时刻位矢之差。物体加速度：描述物体相对参照物运动的速度的变化的快慢。（2）自然轴系及加速度的分量式 由前知，在曲线运动中，加速度的方向与速度（或轨道的切线）成一定夹角，因而，还可以把加速度沿轨道的切线和法线进行正交分解。若知此二分量，则加速度可得出。 以圆周运动为例：大家知道，在匀速率圆周运动中，速度大小不变，仅方向变化，由速度方向变化产生的加速度指向圆心，并与速度垂直。且RVa2
2、可见，与速度垂直，且指向圆心的加速度反映速度方向的变化。 在变速率圆周运动中，速度的大小和方向同时变化，那么，与速度垂直的加速度分量也一定是反映速度的方向变化，形式也应为上述形式。RVa2V只不过此处的 为瞬时速率。 自然，与速度共线（沿轨道切线）的加速度分量只反映速度大小随时间的变化，因而，沿轨道切线的加速度分量应为速度大小随时间的变化，即速率对时间求导。故该加速度分量应表示为dtdVat下面由理论证明变速率圆周运动加速度的两个分量的表述式：（听懂推导过程，而不要求掌握）Ro tVttVr ttVtVV tVttVVnVtABCD tVABADVVVtn按加速度定义tVtVtVattnttl
3、imlimlim000设一质点做变速圆周运动速率V tVVnVtABCDRo tVttVrtVntlim0讨论第一分量aRVRVdtrdRVtrtVntnt200limlim大小：RVrVn方向 ：沿法线指向圆心，故称为法向加速度。 tVntlim0由几何关系，有则大小可为：注意： 为速率 的变化（增量） ，而不是速度增量的大小 )。tVttlim0 方向：沿轨道切线，与速度共线故称为切向加速度。另一分量VtVVV数值：adtdVtVtVttttlimlim00ttVV tVVnVtABCDRVan2dtdVat切向加速度法向加速度以上二式中的 为瞬时速率。V可见，而加速度分量式为 （2）速率
4、 恒正， 。当 ，表示速率正增加中，加速度与速度成锐角， 切向加速度与速度 同向；而 ，表示速率减小中，加速度与速度成钝角，切向加速度和速度 的方向相反；而 ，则为匀速率圆周运动。 V0V0dtdVV0dtdV0dtdVoVRanataoVRatana加速运动减速运动几点讨论：1 切向加速度的理解（1）切向加速度是速率（速度大小）的时变率。dtdVatV 故切向加速度应理解为加速度在速度方向的投影更为确切。可表为cos0aaat式中 为速度矢量 的单位矢量；而 为加速度与速度间的夹角。0VR0aatanV2 加速度aaatn22aatgtn大小方向矢量式nRVdtdVaaant020式中的 为
5、指向圆心的单位矢量。n0 tV dttdV或令 tVtV为沿速度方向的单位矢量。 dtdtVdttdVdttVda显然， 即切向分量。R第一项加速度分量沿轨道切线。o选讲dtdddRrddRRdrd1第二项的意义。R二者垂直且大小不变。RVRdtdrdtd1因此，另一分量的大小为RV2，方向与轨道切线垂直，指向圆心。anata 在很多情形下，物体沿任意曲线匀速，加速，或减速运动，此时，物体的法向与切向加速度如何表述呢?tV加速运动轨迹tV减速运动轨迹0瞬时曲率圆瞬时曲率半径anata0瞬时曲率圆tV轨迹0瞬时曲率圆瞬时曲率半径anatadtdVatVan2 在轨道的任何点上，物体的表现同圆运动
6、，只是对应不同的曲率圆而已，故二分量的表述同圆运动时的情形。大小aaant22方向aatgtn 解:分析：物体运动中，加速度恒定，但与速度的夹角不断变化，因而，其切向与法向的加速度分量也不断变化，是时间的函数。如何求，关键求出速率的表达式。 例 17 求斜上抛物体的 的表达式。,aantV0 xyotg tV dtgtVVddtVVdyxsincos020222dtdVat速率为则切向加速度为 gtVVVVVyxsincos002222gtggtVVgtV220200sin2sinanatV0 xotg tVtganat tV tggtVVgVagatn22020022cos2cos法向加速度
7、可否用Van2，为什么? 例 18 求下列图中二时刻的 。anatV0V01斜抛运动 解：本题的特点是：已知各点加速度及与速度间的夹角，此时，沿轨道的切向与法向分解加速度即可。atganatang1cos0gancos.0aaataVn202cos1gansin1gataVn20式中的 为沿速度的单位矢量, 是速度矢量与加速度矢量的夹角。90cos0aatsin0g说明“”物理意义。文字运算 用物理量的专用符号表示物理量，按物理规律组成方程式。按问题在几个方程式间联立，进行运算，中间不带入数据，称为文字运算。最后代入数据。大学物理和科技均要求此方法。克服步步代数据的方法。aVn2轨道的曲率半径
8、为如何求路程dydxds22dydxdss22不要求做。 例 19 一质点的运动规律为taxcostbysin其中,ba皆为恒量。求 1 轨道方程；2 位置矢量；3速度与加速度； 4 切向加速度； 5 法向加速度； 6 轨道的曲率半径。解：1 12222byaxtaxcostbysin消去时间 ， t为轨道方程-椭圆。2 位置矢量j tbi taj yi xrsincos3速度与加速度j tbj tajdtdyidtdxdtrdVcossindttbtaddtVVddtdVayxtcossin2222aaaaaatyxtn22222aVVaVnyxn22245（略去计算过程)。rjtbitad
9、tVda222sincos6或VVaaat0jtbitasincos22VVj tbj tayx22cossin dtVda，而可用 表示dtVda 在曲线运动中，质点的加速度既为 ，因而有 dtdVa ，此表述是错误的，解释如下：，该式的模即dtdVa ，故推知，加速度大小 1 第一种解释，受 影响，以为 ，这种理解是错误的。须知，从数学来理解， 是位矢 微分的大小，或 位矢 增量的大小，是包括了 大小和方向的总的增量的大小，即VV dVVdVdVV tVdttVVdVddVVV仅仅是 大小 的增量，即 大小的微分 tVdttVVddVVV故dVVdVd加速度大小只能为，而不是dtVdadt
10、dVa 单位制和量纲分析 1 物理量表示一具体的定义量，除特殊量外，均有单位。现规定用国际单位制，即SI制。如速度电场强度smCN或mV2 量纲分析 基本量TLM,导出量速度加速度力LT1LT2MLT2称为量纲式，或量纲。在任何物理的方程式中，等号两边的量纲必须相等。 btats221otss 例 110 一质点沿半径为 的圆周按规律 运动，式中 为常数。求速率，切向和法向加速度和加速度。ba,R 解：该式为物体沿圆周的运动规律，类似于直线运动的运动方程。btadtdsVbdtdVatRbtaRVan22nRbtabnaaant00002大小aaant22三 运动学的逆问题1 正问题一维（直线
11、运动） dtdVadtdxVtxx二维（平面曲线运动） dtVdadtrdVtrr数学方法：求导2 逆问题一维（直线运动）xVa运动方程二维（平面曲线运动）rVa运动方程数学方法：积分 例1-11 一质点沿 轴正方向运动，加速度为 。当 时质点静止于 处，求速度的表达式及运动方程。xSIta40tmx10tadtdV4解 因，则有tdtdV4积分VtdVtdt004，得 SItV22（分离变量法）又tVdtdx22，则有dttdx22积分txdttdx02102得运动方程SItx10323*也可用不定积分。x 例1-12一质点沿 轴正方向运动，加速度为 ，质点在 时的速度为 。求速度与位置的关
12、系。 mxa620 xmsV1010 xadtdV62解因，如何找 的关系，xV,xdxVdVdxdxdtdVdtdV62xVdxxVdV01062分离变量，并积分得SIxxV106422*也可用不定积分。 引入运动方程的物理意义：运动方程是以代数式或矢量式的形式定量地确定（表示）一物体在任一时刻相对参照物的位置。然而，其深层的作用为：用二不同时刻的运动方程表示的具体的量的差表示此间的位移，因而实现了位移的准确的数学表示；运动方程的微分为一元位移，其大小为一元路程；把运动方程对时间求导数，可得速度和加速度的表达式，这样得出的速度或加速度的矢量性一目了然。因而，运动方程的引入使物理规律得以用数学
13、的语言描述。宇宙现时的宇宙现时的宇宙人眼可视的星体： 颗2000银河系：星体 颗。1011太阳系到银河系中心距离： 光年1034银河系之外还有 个星系。大的星系有 个恒星10111013目前发现距我们最远的星体：104 . 110光年宇宙的形成宇宙的形成宇宙的年令： 亿年，即 秒 150100宇宙的形成：大爆炸初时，宇宙的密度无限大，温度无限高爆炸半小时后，温度降为 ，基本粒子产生k108宇宙在膨胀1017宇宙的线度m1026 例 114一质点沿半径为 的圆周运动，加速度与速度的夹角 保持不变， 时的初速度为 ，求质点沿圆周运动的路程随时间的变化关系。R0tV0ROVaanatdtdVRVaa
14、tgtn2 用分离变量法可求速率与时间的关系。再积分可求质点沿圆周运动的路程随时间的变化关系。（略) 角度的关系为解：第 四 节 相对运动 在本章一开始，我们就谈到运动的相对性。物体做机械运动时，机械运动的描述是相对的。 对不同的参照物，其运动方程，位矢，位移，速度，速率，加速度，轨道方程等可能是不同的。r甲对乙甲（被研究客体）乙（被选参照物）相对轨迹相对速度V相对加速度a（相对位矢）运动的相对性r甲对地r甲对乙r乙对地=+或r甲对地r乙对地r甲对乙=VVV乙对地甲对乙甲对地则速度矢量关系为aaa乙对地甲对乙甲对地地球甲r甲对地r乙对地乙r甲对乙 设想有三个客体：地球，甲和乙。相对位矢如图，则
15、有矢量间关系式则加速度矢量关系为或VVV乙对地甲对地甲对乙VVV地对乙甲对地甲对乙aaa乙对地甲对地甲对乙aaa地对乙甲对地甲对乙r甲对地r地对乙+=VVV地对乙甲对地甲对乙aaa地对乙甲对地甲对乙归纳有如下关系注意下标的循环关系，熟记可有利求解此类问题。 例 1-11 风相对地面由正东南吹来，速度为 ，一人相对地面向东跑去，速度为 ，则人感到风从何方吹来?风速多大?其中V1V2msV1011msV512解：VVV地对人风对地风对人画出各速度间的矢量关系图V风对地V人对地V风对人北南东西V地对人45用矢量图可求 的大小和方向（略）。V风对人VV地对人人对地注意到推广：若有甲，乙和丙三客体，之间
16、存在着相对运动，则有VVV丙对乙甲对丙甲对乙aaa丙对乙甲对丙甲对乙VV乙对丙丙对乙aa乙对丙丙对乙例题-点评 实验与理论表明，光速是绝对的，在相对运动的惯性系内，测得光在真空中的速度相同。称为光速不变原理，由此产生了近代物理之一：相对论。 * 注意：位矢，轨迹，位移，路程，速度，速率，加速度等相对性。及动力学中的功；动能，动能定理；动量，动量定理等也具有相对性。 质点运动学小结 1 运动方程：质点相对参考物位置的数学描述，为时间的函数。由此可求位移，元位移，路程，元路程，平均速度，平均速率，瞬时速度，瞬时速率，加速度等。 2 速度相对性，矢量性，瞬时性，迭加性。速度（曲线运动中）：dtrdV位矢的时变率速率（曲线运动中）：dtdsdtrddtrdVVVVyx22dtdr不代表速率，而是速度的径向分量。3 加速度 相对性，矢量性，瞬时性，迭加性。曲线运动中dtVdadtVdadtdVat 4 在讨论质点运动学过程中，我们引入矢量并通过矢量的微分，矢量求导等定义或表述物理概念和规律。这种研讨方法，是从一般（一泛泛过程)到特殊（即例题，习题）的研学。大学物理较之高中物理，更具普适性和广延性
