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1、等差数列一、等差数列的定义以及证实方法：1、定义：假设数列%中，对于任意两项丽&,/均有：丽加广d（d为常数），那么数列a为等差数列.注意一些等差数列的变形形式,如：111二d（d为常数,此时,数列一为等差数列）aaaS=d为常数,此时,数列国1为等差数列）瓦一2、证实方法：（1）定义法：假设数列中，对于任意两项瓯加/均有：徐&-d（d为常数），那么数列&J为等差数列.咽等差中项法：2砌产&炀+2（3）通项公式法：假设数列a的通项公式为an=pn+q的一次函数,那么数列&J为等差数列.（4）假设数列a的前项和为8=勘2+加那么数列a为等差数列.【例题1】【2021年,北京高考（文）】给定数列4
2、1,32,53,Cln,对f=l,2,/7-1,该数列的前J项的最大值记为4后-，项a-,孤2,&的最小值记为B,d=Ai-Bi.（I）设数列a为3,4,7,1,求小，龙,出的值.（II）设九龙,力-1是公差大于0的等差数列,且d0,证实：ata33f,&-1是等差数列.3、等差数列的通项公式：（1）等差数列的通项公式：/+（fd累加法和逐项法：对于形如g-au=/的形式,我们一般情况下,可以考虑使用逐项法或者累加法,从而到达求斯的目的.n变形形式：an=al0-i）d由以上公式可以得到：d=缶人J一加（2）等差数列通项公式的一些性质：假设实数m,n,p,q满足：m+n=p+q,贝I：+；特别
3、的，假设m+n=2pf那么：a+a2a；假设数列a为等差数列,那么下标成等差数列的新数列仍然成等差数列；假设数列3为等差数列,数列（b为等差数列,那么数列IPa+qb还是等差数列；nnn当上O时，&J为递增数列；当启O时,数列a为常数列；当次O时,数列a为递减数列；【例题112021届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末测试,3】在等差数列中，首项。=0,公差d羊0,假设。一。+。+。+。,那么k=OA.22B.23C.24D.25【变式练习】【2021届吉林省东北师大附中三上学期第三次摸底测试,3】设等差数列n的前项和为,假设。尸1,S5=15,那么6等于（）48BC.654、等差数列的求和问题
4、：一一方法：倒序相加、。（-Dd/逼”/=,3 （在等差数歹Jm中,shS2S3jS2Z成等差数列；或者：$心判奇偶项问题:Sa在等差数列中，假设项数为偶数项，即：当/孔怦）时,有：S旷S布二碗a偶w+l如果项数为奇数，即当加力时,此时,S2什1Q+)=(2/W+11a212w+1”1+1Sw+1S+S等二,项数二奇偶.偶m奇偶假设两个数列与和勾均为等差数列,其前项和和前加项和分别为&和,那么有：a2m-1SlaST,r2T,当m=n时，那么：一个2bn2/7-17w1H-IA厂.等差数列前项和的最值问题：n-Vd(d)由S+-dn2+an以及二次函数的知识可知，当QO时,抛物线n122112
5、；的开口向上,此时有最小值；当衣0时,抛物线的开口向下,此时函数有最大值.要注意的是不管是求最大值还是最小值,都不能无视一个隐含条件，即：成N*.求绝对值和的两种情况：情形一、奇偶项交替出现,绝对值数列为等差数列,此时,我们只要把负号去掉,直接按等差数列求和即可；情形二、数列共项,前砥卬2nn【例题2】【2021届黑龙江省哈六中高三上学期期末测试,7】等差数列扇)的前项和为Sm假设a4=8-as,那么US8=()A.18B.36C.54D.72【变式练习】【2021届安徽省江南十校高三期末大联考】4.设JrS3是首项4-入,公差为手0)的等差数歹J,S”为其前项和,假设S,52,&成等比数列,
6、那么小A-I【例题3】【2021届河北省邯郸市高三1月质检，17】等差数列中,l=-1,公差d冬0且%a6成等比数列,前项的和为S.(1)求及S；nn(2)设=1,T=h+b+b,naan2nw+1【变式练习】【2021届广东省惠州一中(惠州市)高三第三次调研测试，19数列JQ+l)41的前项和S=-1,且a.n2,求数列a的通项公式；n(2)令4=InG,是否存在(A2,JeN),使得尿叱讨、加2成等比数列.假设存在，求出所有符合条件的女值；假设不存在,请说明理由.【例题4】【2021届广东省惠州一中(惠州市)高三第三次调研测试,7数列t,满足对任意的均有5+azM+a”.？为定值.假设a=
7、2%=3la那么数列4 、=,前100项的和SIoo=A132A299C68ZZ99【变式练习】【2021届山西省山大附中高三12月月考,4】等差数列且3(a+a)+2J+)=48,那么数列、的前13项和为424B39C52ZZ104【例题5】【杭州外国语学校2021届高三期中测试(文)，20H是等差数列，公差为d,首项八1二3,前项和为S.令c=(-l%SmeN),c的前20项和方=330.数歹Jb/满足b=2(a-2)dn-2+2ntaeR.nn(I)求数列J的通项公式;(II)假设Z?V力，eN,求。的取值范围.”+i”【变式练习】【浙江省深化课程改革协作校2021届11月期中联考(文)
8、，19】数列a满足a+an-3(neN).(I)假设a是等差数列,求其通项公式；()假设J满足。广2,Sn为“J的前项和,求S2“讨.【课时作业】1、【2021届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末测试,5】等差数列的前项和为Snn且as=8,S3=6,贝U49等于A.12B.8C.16D.242、2021届福建省泉州五校高三联考，10函数/金）=CoSX,X（0,2九）有两个不同的零点5,乂2,且方程于（为=加（加*）有两个不同的实根XXj假设把这四个数按从小到大排列构成等差数列，那么实数尸A.26.一，D3、2021届河北省邯郸市高三1月质检，10等差数列中，的和等于前5的和，假设a”+6=0
9、那么Um=AlO8.9C.8D.24、【2021届山西省山大附中高三12月月考,4】等差数列且3(a+as+24z+=48,那么数列的前13项和为A.24439C.52ZZ1045、2021届安徽省黄山市高三上学期第一次质量检测,6等差数列a的通项是a=-272,n前n项和为Sn,那么数列S1的前11项和为A.45B.5()C.55D.666、【2021届福建省泉州五校高三联考，17】在等差数列)中,Sn为其前n项和(N*),且g=3S=16求数列)的通项公式；(H)设b=-h求数列名)的前项和.aannn+l7、【2021届福建省泉州五校高三联考，17】在等差数列4中,励为其前n项和(N*),且G=35=/6求数列的的通项公式；(H)设b=，,求数列的前项和.naann/1+18、2021届山东省泰安市高三上学期期末测试18假设数列y的前项和且满足：S+S+S=6m-2(nN)n+2/假设数列。是等差数求。的通项公(II)假设VG=I,求S可9、2021届山东省泰安市高三上学期期末测试，18等差数列的前”项和为S,满足：S3=15,垢+。产30.求。及S；(II)数列武今满足bn(Sn-n)=2(eN),数列儿的前项和为Tn,求证:70力2+S2=lO,S5=5h3+3a2,neN.求数列（a/,的通项公式；求数列%。/的前项和了立
