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1、近世代数课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：近世代数英文名称：ModemAlgebra课程类别：专业课学时：32学分：2适用对象：数学与应用数学专业考核方式：考试先修课程：高等代数二、课程简介中文简介近世代数主要内容为抽象代数，其中研究各种代数结构，也就是具有代数运算的集合，以及在这些结构中保持运算的映射(称为态射)。抽象代数为现代数学、现代物理学、现代化学、计算机科学、信息科学以及密码学等提供了语言、思想与研究方法。在信息时代，近世代数的应用日趋广泛。本课程将主要介绍近世代数的重要结构如群、环和域等的相关概念与基础理论。英文简介Themaincontentofmodemalgeb
2、raisabstractalgebra,inwhichvariousalgebraicstructures,i.e.setswithalgebraicoperations,andthemappings(calledmorphisms)thatmaintainoperationsinthesestructures,arestudied.Abstractalgebraprovideslanguage,ideasandresearchmethodsformodemmathematics,modemphysics,modemchemistry,computerscience,informationsc
3、ience,andcryptography.Intheinformationera,theapplicationofmodemalgebrahasbecomeincreasinglywidespread.Thiscoursewillmainlyintroducetherelatedconceptsandbasictheoriesofimportantalgebraicstructuresofmodemalgebrasuchasgroups,ringsandfields.三、课程性质与教学目的近世代数是介绍以群、环和域为代表的代数结构，代数结构之间的态射，结构的分析构造及其应用等的一门学科。是数
4、学与应用数学专业选修课。通过本课程的教学，应使得学生了解近世代数的发展历史、主要研究对象以及其应用。理解重要的几类代数结构的相关概念和理论，掌握基础的代数结构分析、分解和性质证明的思想方法,尤其是态射的运用，提高学生的数学修养和数学技巧，培养学生的数学成熟度。同时，了解我国古代的相关成就，如中国剩余定理，以及近代数学家对代数结构的研究和代数结构在各学科的应用所作出的贡献。四、教学内容及要求第一模块引言（一）目的与要求1. 了解近世代数的发展历史2. 了解几类代数结构的基本概念3. 了解代数结构的应用（二）教学内容第一节1 .主要内容：群、环、域的概念介绍，群、环、域的实例，群论的应用。2 .基
5、本概念和知识点：代数结构、群、环、域、态射。3 .问题与应用（能力要求）：了解理论和应用中可以用代数结构来建模和求解的众多问题。（三）思考与实践调查了解代数在国民生产和日常生活中的应用。思政内容：我国代数学家王小云转攻密码学后设计了MD5碰撞算法（但不是破解）。（四）教学方法与手段本章教学主要采用的方法和手段包括课堂讲授、多媒体教学、网络辅助教学和课堂讨论。第二模块群（一）目的与要求1 .了解群论发展历史及其意义2 .掌握群论中重要的基本概念3 .理解群论的同构和同态定理、SyloW定理4 .理解群在集合上的作用（二）教学内容1 .主要内容：（1）群的概念、群的实例、对称群和置换群；（2）子群
6、、陪集、Lagrange定理；（3）群的同构与直积；（4）群同态、正规子群、商群和可解群；群在集合上的作用；（6）SyIoW定理；（7）有限AbeI群的结构。2 .基本概念和知识点：群、n元对称群、置换群、子群、陪集、指数、Lagrange定理、同构映射、群的直积、群同态、同态的核、正规子群、商群、群同态基本定理、第一同构定理、第二同构定理、单群、可解群、群在集合上的作用、群自同构、轨道、轨道-稳定子定理、Sylow定理、有限Abel群的分解。3 .问题与应用（能力要求）：能够使用若干基本定理进行群结构分析工作，如懂得分析循环群、有限Abel群、阶数较小的群的结构。懂得运用群在集合上的作用进行
7、组合计数。（三）思考与实践可以确定阶数较小的群的结构作为一个小项目去完成。思政内容：中国数学在“最长的数学证明”有限单群分类问题中的贡献。（四）教学方法与手段本章教学主要采用的方法和手段包括课堂讲授、多媒体教学、网络辅助教学、团队合作和课堂讨论。第三模块环（一）目的与要求1 .理解环论的相关概念2 .理解环的同态、同构定理3 .掌握环和域的构造（二）教学内容1 .主要内容：（1）环、整环、交换环、除环、域的概念及若干实例；（2）理想、商环、陪集的概念，环同态与核，同余和中国剩余定理；（3）素理想、极大理想、有限域的构造；（4）代数数域和GalOiS环的构造.2 .基本概念和知识点：环、整环、交
8、换环、除环、域、理想、商环、陪集、环同态、核、素理想、极大理想、代数数、超越数、代数数域、GaIOiS环.3 .问题与应用（能力要求）：懂得构造指定大小的有限域.（三）思考与实践了解5次以上方程求解问题的研究历史。思政内容：由中国剩余定理看古代中国数学成就。（四）教学方法与手段本章教学主要采用的方法和手段，如课堂讲授、多媒体教学、网络辅助教学、团队合作和课堂讨论等。第四模块域扩张（一）目的与要求1 .理解域扩张等理论2 .掌握GaIoiS扩张和GalOiS基本定理3 .理解GaIOiS理论及其关于代数方程可解性的工作（二）教学内容1 .主要内容：（1）域扩张、分裂域、正规扩张、可分扩张；（2）
9、域扩张的自同构群、GaIOiS扩张、GaIoiS基本定理2 .基本概念和知识点：分裂域、正规扩张、可分扩张、Galois扩张、Galois基本定理、Abel-Ruffini定理3 .问题与应用（能力要求）：理解Galois理论的证明，即5次以上方程的可解性问题的解答.（三）思考与实践思政内容：华罗庚成名作苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由的启迪意义。（四）教学方法与手段本章教学主要采用的方法和手段，如课堂讲授、多媒体教学、网络辅助教学、团队合作和课堂讨论等。五、各教学环节学时分配教学环节学时纵课程内容讲课习题课讨论课实验实习他学节其教环小计概论（引言）33群：子群和Lagrange定理
10、33群：同构,直积33群：同态，正规子群,商群33群：同态定理，可解群33群：群在集合上的作用，轨道-稳定子定理33群：SylOW定理33群：有限Abel群（可选）33习题讲解33环：环，理想33环：同态，商环，直和33环：素理想，极大理想，有限域构造33域扩张，分裂域，正规扩张，可分扩张33域扩张的自同构群，GaIOiS扩张,GalOiS基本定理33习题讲解33复习33合计42648六、课程考核()考核方式：考试(-)成绩构成平时成绩占比：50%期末考试占比：50%(H)成绩考核标准课堂考勤：准时到达课堂，不迟到，不早退，占10%;课堂表现：遵守课堂秩序,认真听讲，积极参与课堂互动，占10%
11、；平时作业：按时，高质量完成平时作业，占%30；期末考试：占50%。七、推荐教材和教学参考资源1 .丘维声.抽象代数基础.高等教育出版社，2015.2 .丘维声.近世代数.北京大学出版社，2015.3 .刘绍学，章璞.近世代数导引.高等教育出版社，2011.4 .Lederman.IntroductiontoGroupTheory.OliverandBoyd,1973.5 .顾沛，邓少强简明抽象代数.高等教育出版社，2003.6 .Carter著,郭小强，罗翠玲译.群论彩图版.机械工业出版社，2019.7 .Jacobson.BasicAlgebraI,II.Dover,1985.8 .Artin.Algebra.PearsonCollegeDiv,1991.八、其他说明无大纲修订人：张赞波大纲审定人：修订日期:2020.12审定日期：
