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1、浅谈函数最值问题的处理技巧摘要：最值问题往往是与函数、数列、几何等知识相交汇考查，在解析几何还尤其表现为长度、面积的最值等，由于最值问题思考的路径、处理的方法往往是应题而异的，无一定之规，有时还需要等价转化，解决这类问题的其本策略是“大处着眼，小处着手。”从整体上把握问题给出的综合信息和处理问题的数学思想，并选用恰当的数学方法。结合着教材和平时上课的心得对求最值的常用方法进行归纳，主要有：函数的单调性法、数形结合法、三角函数有界法、换元法、配方法、导数法、均值不等式法还有化归法，并举例说明。关键字：函数的最值、单调性、数形结合、三角函数有界性、换元法、配方法、导数、均值不等式、化归法引言：前一
2、段时间学校组织参加了皖豫名校联盟组织的高二年级开学检测，其中最后一道题：x)1.n(2已知函数)9,求的值；若/(x)的定义域为,0,值域为RI.1y1时，总满/(%)/(x1.)In,2若。0；,且对任意，0,X,x2c,c1通过阅卷后反馈的信息来看的得分率是比较低的，特别是第二问，我把本班学生的答题卷统一收上来，分析问题的出现主要有两个方面：一方面学生不会把不等式恒成立下求参数的取值问题转化成构造相应的函数的最值问题，另一方面有的学生能构造出了相应的函数，但是再求函数最值时出现了问题，导致没有得到全分，从这次检测反馈的情况来看，学生对函数的最值问题处理的技巧没有完全掌握，运用不够娴熟，具体
3、操作起来容易出现问题，就此，我结合着平时的教学来浅谈函数最值问题的处理技巧。正文：自我上班以来高中数学已经进行了两次课改，内容在编排顺序有所变化而且内容上也有所调整，增加了新的内容也删除了一些内容，高考考查的内容也有稍微改变，但函数的内容和地位不变，函数的定义和性质依然是高考的考点，我有幸参加了新课程数学的教学，在对函数的最值进行归纳与复习时,我跳过纵横交错的各个章节,从知识的纵线上进行了排列、梳理，结合本人在实际教学的教学经验，就函数的性质一一函数的最值，谈谈如何求最值，函数的最值是函数性质的重要体现之一，最值问题几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高中重点考查的知识点之一，它经常与其他知识
4、紧密联系，解法灵活，综合性强。函数最值问题是重要的分析问题之一，它不仅能解决一些数学问题，而且常运用于解决实际问题。在高考中以各种形式出现，现将解决这类问题的方法作一个简单归纳，归纳如下：一、函数的单调性法这种方法主要利用了函数的单调性的性质来求最值，一般首先要判定函数的单调性。比如说求函数y工ai（X9的值域？通过分析实际上就是求函数的最大值和最小值，利）18010用定义很容易判断它在定义域上是增函数，所以yma9.利用参变分离的技巧构造函数gu如何求该函数的最值?方法一、可以用换元法转化成对勾函数，从而利用单调性求出函数的最大值。则22,0当/ ,0()2又函数（）在TC.3。I上单调递增
5、，所以方法二、11,恒成立2通过整理构造函数尸（）ad（a2c2,从而转化成求二次函数的最小值（动轴定区间）又对称轴I2aO所以函数I11,上单调递增2F()F(1. ) Ia 1(。 2 2 3。14.接下来我再举个实例：案例1.非负实X,y满足2Jo4则13y的最大值是多少？（参照以前教材数学必修五“线性规划”）分析：将二元一次函数转化为一元一次函数，然后利用函数的单调性求解，说明了线性规划问题最根本的一种解法。过程如下：在平面直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域，如下图1：图1令由图知，使目标函数”3），取得最大值的点一定在边界2Xy40X）3O上取得。由234OO解得y12(1)当O
6、Jd时，2x3yx3(x3)2x9,在0,1)上为减函数,所以XO时，Zmax9(2)当IX2时，zx3yx(2x4)5x1.2,在1,2上也为减函数,所以X1.时，Zmin7综上知当M）时，Zmax9二、数形结合法数形结合的方法在高中数学的很多领域都有应用，它能给人直观的效果，在求函数的最值上也经常应用，有些代数和三角函数问题，可以借助几何背景和几何直观图形求其最值，常常3能收到直观明快，化难为易的功效。%R)的最小值案例2.对岫R,*max。,babifMma与福去闻%的皓布甫.由颗音HTtn的痂八息令即函新所以,/U)然后根据函)的图像直观地找出函数/(X)的最小值案例3.求函最值？12
7、先将函数进行变形为inx)连线的斜率,当直线AB为单位圆的切线时，其其斜率为最大或最小y1kO则圆心到切线的与的单位圆的切线方程为三、三角函数有界法对于涉及三角函数的最值问题，我们应该充分利用三角函数的值域，对于XR,总有来解决问题萎例4.求函ysin2x2能工的最值首先对三角函数进行化简，然后利用有界性求解。1(sin(2x)1，对于三次及三次以上的函数或者复杂的函数求最值的问题，利用其他方法很难求得或者解决的过程过于复杂，甚至不够严谨，通常都用该方法，导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够的重视，平时的教学中一定要先让学生理解导数的数学意义，只有理解到位了，运用起来才自然，就不会生搬硬套
8、了。案例5.求函/(x)%3在3,3上的最值？数首先对函数求导，然后结合单调性的知识得到最值f.X1X)IfX、-戈11(X)3-2；X1().(.得则当X,31时，函数J(X)单调递增；当(：)时函数1)单调递减：X/3i1.时.南痂单调说降VFA HM)1 4, f(3)M、36,所以函数的最大值为36,最小值为-)19五、换元法平时在教学中我会引导学生归纳总结出换元法主要有两类，即代数换元和三角换元，在高一的教学中就要灌输到位，让学生能够初步形成知识体系，能够根据具体问题及题目形式去灵活选择合适的换元的方法，以便把复杂的函数最值问题转化成简单函数的最值问题，从而轻松地解决问题。代数换元后
9、一般是转化成二次函数、对勾函数、双撇函数等常用函数，其实在教学中我认为先要让学生熟练地掌握这些函数的图像和性质后再跟学生交流什么样的函数结构需要换元，怎么换元，过程中需要注意什么？这样才事半功倍。三角换元不是很常用，形如b21及部分根式函数形“赢问题。案例6.函/(x)X2IX的最大值？痴分析：函数/(X)的单调性不能直接确定,故而不能直接求函数/(X)的最值,结合这函数的结构可4赢代数换元转化成二次函数的最值问题.设1(/0),则x1./2所以y1.n2tt22(r)1.：2所以当H即Ao时，W.)max2案例7.求函数yx4x2C的值域.分析:如果选择代数换元,令4xf,用去替换，X,构造
10、的函数还是含有整式和根式,依然没法判断单调性,根据结构,利用三角函数中sin?COS21进行三角代换,把问题转化成三角函数求最值问题,但是要注意新的自变量的取值范围.六、配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如尸(X)af2(x)bfxC的函数的最值问题，可以考虑用配方法。萎例8.已知函y(exa)2(exa)2(aR,a0,求函数y的最小值.解析:通过整体构造成二次函数,利用二次函数的性质求最值,要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系.y(exd)2(exa)2(exex)22a(exex)2a22令/ee2,设J(r)t22at2a22因为，2,所以/()t2
11、2at2a22(a)2a2又函数/图象的对称轴为直线ta所以当。2且。0时，ymin/(22a)12;当2时4访/()/X/七、均值不等式法意以下的三个条件：一定，二正，三相等。当条件不满足时要灵活运用拆项、凑项、凑系数、平方等技巧凑配系数，适当的时候还可以用待定系数法来求。案例9(必修五教材第99页的例二).某工厂要建造一个长方形无盖储水池，其容积为4800m3,深为3加3,如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少？分析:水池呈长方体形，关键是如何确定水池的长与宽取什么值才能使水池的总造价最低设底面的长为Xm,宽为丁加，水池
12、的总造价为z元。480023)240000720xy)根据题意，有：Z15012023x由容积为m可得3尤4800,因此，孙“600,由基本不等式与不等式的性质，4RN可得：240000720Xy)洲OU(F7202Xy即Z240000720216000,7z297600y,即Xy40时，等号成立。所以,T1.So将水池的地面设计成边长为40m的正方体时总造价最低，最低总造价是297600化归法X2y 21当直接对问题求最值求不出来或过程较繁琐时，我们可以对问题进行转化，这种思想在解析几何中应用比较大，有时要通过观察图像分析条件来进行转化，通俗易懂，灵活巧妙，是求解对应最值问题中比较常用的方法
13、之一。案例io.在以前数学选修4-4中有这样的问题：点P(Xy的最大值?我们可以利用椭圆的参数方程把问题转化为三角函数的问题：因为椭圆的参数方程为又因为sin(6)1，所以工y的最大值为2,最小值为2案例11.已知点P是抛物y22x上的一动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到线准线的距离之和最小值为多少？分析：结合定义，通过数形结合的思想A的问题。的最值问题转化为对应点与点的距离具体过程如下：设P在抛物线准线的投影P1，抛物线的焦点为F,则F物线的定义知P为到点A(0, 2)的距离与2P该抛物线准线的距离之和,故最小值为17 2事实上求函数最值这类问题的方法除了上述这些常用方法以外，在高中数学教学中还有分离常数法、根的判别式法等，应该说函数的最值的求解方法灵活多样，通过以上的归纳能够对函数最值求法有一个系统的认识，当然了还要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能,然后灵活选择合理的解题方法。函数最值问题的概念性、综合性和灵活性较强，学生还需要多加训练，通过训练去领悟求函数最值的方法，从而形成系统性知识框架，培养学生良好的数学思维能力，同时将有利于提高学生的数学建模能力和解题能力。参考文献1梁至鹏：赢在微点，北京教育出版社2019年版，第015页2学习周报，第37期3试题与研究，中学生学习报社试题与研究编辑部2009/11,第3页
