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1、浅谈函数奇偶性、周期性、对称性的关系摘要：木文通过对函数奇偶性、周期性、对称性的研究，加深学生对函数的理解并发现其共性和个性。研究过程中所体现的函数的代数特征和几何特征，有助于培养学生数形结合思维。函数这三种性质相关联时在高考中经常出现，通过举例，为学生更好的掌握函数提供参考。关键词：函数，奇偶性，周期性，对称性一、函数的奇偶性、周期性和对称性的含义1奇偶性一般地，设函数的定义域是4如果对任意的m，有M1.,且(x),那么称函数/(x)为奇函数。设函数/(x)的定义域是A,如果对任意的Xk,有M,且f(x)f(x)i那么称函数f(x)为偶函数。2 .周期性一般地，对于函数y(x),X。，如果存
2、在一个非零常数丁，使得对任意的W,都有ETO且满足/(xTN(x),那么函数yf()称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期。3 .对称性对称情况通常可以分为两种类型，一种为轴对称，另一种为中心对称。前者是如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形；后者是把一个图形绕着某一点旋180,如果它能与另一个图形重合，任那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。二、函数的奇偶性、周期性和对称性的结论1.奇偶性f(x a) f(a x)/(x a) f(a x)2.周期性(1) f(x a) f(x a) /(x a) f(x a)/(x)为偶函数；f(x)为奇函数
3、;/(X)是周期为2的函数；f(x)是周期为4的函数;(3)f(xa) 1/(x)是周期为2的函数;3.对称性(1)f(ax) f(a )f(x)的图象关于直X。对称;线fax)(4)f(a x) k的图赞于直X图象关于点(M/(b”对称；Z)对称;总结：学生在周期性和对称性结论的运用时，容易混淆。在这里我通常告诉学生记忆口诀“同号考周期，异号考对称”来掌握。也就是当函数方程中的自变量X同号时，考查的是函数周期性，自变量X异号时，考查的是函数对称性。三、函数的奇偶性、周期性和对称性间的联系1奇偶性对称性(1)设Am)为偶函数，则f(x)的图象关于直线Xa对称。证明：/(M)为偶函数/(0V(r
4、),故/(%)的图象关于直线Xa对称(2)设Am)为奇函数，则/(x)的图象关于点(。0,)对称。证明：Am)为奇函数/(OrV(G),故/(x)的图象关于点30,)对称总结：若f(x)为偶函数，这里可以令如，偶函数f(t)f(t)贝Uf(ax)f(ax);而若M)为偶函数，这里令g(x(M),偶函数g(x)g(x),则/(ax)f(ax)o奇函数同理也可以这样分析。4 .对称性周期性(1)设函数/(x)的图像关于X。和X力对称(ab)，则/Q)为周期函数,且2II为其一个周期。证明：)关于X。对称，则f(ax)fax)f(x)f(2ax)又关于无人对称，则f(bx)f(bx)f(x)f(2b
5、x)/(2依(2法)，即f(x)f(x2b2a)为周期函数，且2b为其一个周期(2)设函数/(x)的图像关于50,)和SO,)对称(CIb),则/(x)为周期函数，且2bI为其一个周期。证明：Fa)关于30,)对称，则f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)又f(x)关于S0,)对称，则f(bx)f(bx)f(x)f(2bx)/(20犷(2法)，即f(x)f(x2b2a)Fa)为周期函数，且20为其一个周期(3)设函数的图像关于X。和SO,)对称，则为周期函数，且4b为其一个周期。证明：/(%)关于不。对称，则f(cx)fax)f(x)f2ax)又/O)关于SO,)对称，则fbx)f(bx)f
6、(x)f(2bx)/(2orV(2bx),即f(x)f(x4b4a)Fa)为周期函数，且40为其一个周期总结：在由对称性推出周期性的教学中，可以联系三角函数的图象，相邻两条对称轴的距离是三角函数的:周期，相邻两个对称中心的距离是三角函数周期，相邻一条对称轴和一个对称中心的距离是三角函数的周期。5 .奇偶性+对称性周期性(1)设函数/(x)为偶函数，关于X对称，则F(X)是T2的周期函数。证明：/(X)关于X4对称f(ax)f(cx)又一(x)为偶函数f(ax)f(xa)/(4x)(xa)故/(x)是周期为久的函数(2)设函数/(x)为奇函数，关Xa对直，J(X)是74。的周期函数。证明：/(x
7、)关于X对称f(ax)f(ax)又/(X)为奇函数f(cx)/(xa)f(ax)f(xa)故/(x)是周期为4的函数6 .奇偶性+周期性对称性(1)设函数)为偶函数，周T2%则/(x)关于X4对称。证明：/Cr)是72的周期函数f(x)/(2。),/(x)f(2ax)又/(x)为偶函数/(x)f(x),/(2rx)f(x)f(x)李X对称(2)设函数/()为奇函数，周T2。，则/(X)关于(Oe)对称。r期证明：/(x)是72。的周期函数f(x)f(2a),/(x)f(2ax)又/(X)为奇函数/(x)f(x),f(2x)f(x)/(x)关于(0,)对称7 .对称性+周期性对称性、奇偶性(1)
8、设函数/(x)关于X。对称，周期Tb,则/(x)关于Xa匕对称。证明：f(x)关于X。对称/(x)/(2dX)/Q)是T的周期函数f(x)/(2x),J(2ax)/(2x)hh故/(x)关XaZ?对称于(2)特别地，在(1)中令b2m其他条件不变，则/(x)为偶函数。证明：f(x)关于X对称f(ax)f(aX)是T2的周期函数f(x。)/(X。)，f(ax)f(xa)故/Q)为偶函数四、函数的奇偶性、周期性和对称性的应用例1(2014高考全国卷文第12题)奇函/O)的定义域为R,若/(2)为偶函数，且加(1,则八8/(9()A.2B.1COD.1分析：由/(2为偶函数得/(x2f(X2(f(x
9、)关于X2对、ZZiI、称)，而/()为奇函数,不难得到函数周期T8。Yf(/(9/(O/)1(1,选D0Q、该题思路是：奇偶性+对称性周期性例2(2021高考全国甲卷理第12题)设函/O)的定义域为R,f()140为奇函i(2为偶函数，X2/时，/()r2b若/(0/(36,湍T、必1、，/cin1.M派且不【Ic，一r(、壬.。曲建、尽.11.1.(X/OAe1.2/0八1/1.CCf(1.诜Dc五、结语在学生理解函数奇偶性、周期性、对称性的基础上，去进一步探究相互之间的联系。在实际教学中若能从整体上掌握这些性质，教学效果必然事半功倍。参考文献：1张绍林，王江.浅谈函数奇偶性、周期性和对称性之联系J.数学教学，2008,4,P11-122王建英.函数的奇偶性、对称性、周期性及其相关关系分析J.教育教学,2009,07,P103
