浅谈函数奇偶性、周期性、对称性的关系 论文.docx

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1、浅谈函数奇偶性、周期性、对称性的关系摘要:木文通过对函数奇偶性、周期性、对称性的研究,加深学生对函数的理解并发现其共性和个性。研究过程中所体现的函数的代数特征和几何特征,有助于培养学生数形结合思维。函数这三种性质相关联时在高考中经常出现,通过举例,为学生更好的掌握函数提供参考。关键词:函数,奇偶性,周期性,对称性一、函数的奇偶性、周期性和对称性的含义1奇偶性一般地,设函数的定义域是4如果对任意的m,有M1.,且(x),那么称函数/(x)为奇函数。设函数/(x)的定义域是A,如果对任意的Xk,有M,且f(x)f(x)i那么称函数f(x)为偶函数。2 .周期性一般地,对于函数y(x),X。,如果存

2、在一个非零常数丁,使得对任意的W,都有ETO且满足/(xTN(x),那么函数yf()称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期。3 .对称性对称情况通常可以分为两种类型,一种为轴对称,另一种为中心对称。前者是如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形;后者是把一个图形绕着某一点旋180,如果它能与另一个图形重合,任那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。二、函数的奇偶性、周期性和对称性的结论1.奇偶性f(x a) f(a x)/(x a) f(a x)2.周期性(1) f(x a) f(x a) /(x a) f(x a)/(x)为偶函数;f(x)为奇函数

3、;/(X)是周期为2的函数;f(x)是周期为4的函数;(3)f(xa) 1/(x)是周期为2的函数;3.对称性(1)f(ax) f(a )f(x)的图象关于直X。对称;线fax)(4)f(a x) k的图赞于直X图象关于点(M/(b”对称;Z)对称;总结:学生在周期性和对称性结论的运用时,容易混淆。在这里我通常告诉学生记忆口诀“同号考周期,异号考对称”来掌握。也就是当函数方程中的自变量X同号时,考查的是函数周期性,自变量X异号时,考查的是函数对称性。三、函数的奇偶性、周期性和对称性间的联系1奇偶性对称性(1)设Am)为偶函数,则f(x)的图象关于直线Xa对称。证明:/(M)为偶函数/(0V(r

4、),故/(%)的图象关于直线Xa对称(2)设Am)为奇函数,则/(x)的图象关于点(。0,)对称。证明:Am)为奇函数/(OrV(G),故/(x)的图象关于点30,)对称总结:若f(x)为偶函数,这里可以令如,偶函数f(t)f(t)贝Uf(ax)f(ax);而若M)为偶函数,这里令g(x(M),偶函数g(x)g(x),则/(ax)f(ax)o奇函数同理也可以这样分析。4 .对称性周期性(1)设函数/(x)的图像关于X。和X力对称(ab),则/Q)为周期函数,且2II为其一个周期。证明:)关于X。对称,则f(ax)fax)f(x)f(2ax)又关于无人对称,则f(bx)f(bx)f(x)f(2b

5、x)/(2依(2法),即f(x)f(x2b2a)为周期函数,且2b为其一个周期(2)设函数/(x)的图像关于50,)和SO,)对称(CIb),则/(x)为周期函数,且2bI为其一个周期。证明:Fa)关于30,)对称,则f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)又f(x)关于S0,)对称,则f(bx)f(bx)f(x)f(2bx)/(20犷(2法),即f(x)f(x2b2a)Fa)为周期函数,且20为其一个周期(3)设函数的图像关于X。和SO,)对称,则为周期函数,且4b为其一个周期。证明:/(%)关于不。对称,则f(cx)fax)f(x)f2ax)又/O)关于SO,)对称,则fbx)f(bx)f

6、(x)f(2bx)/(2orV(2bx),即f(x)f(x4b4a)Fa)为周期函数,且40为其一个周期总结:在由对称性推出周期性的教学中,可以联系三角函数的图象,相邻两条对称轴的距离是三角函数的:周期,相邻两个对称中心的距离是三角函数周期,相邻一条对称轴和一个对称中心的距离是三角函数的周期。5 .奇偶性+对称性周期性(1)设函数/(x)为偶函数,关于X对称,则F(X)是T2的周期函数。证明:/(X)关于X4对称f(ax)f(cx)又一(x)为偶函数f(ax)f(xa)/(4x)(xa)故/(x)是周期为久的函数(2)设函数/(x)为奇函数,关Xa对直,J(X)是74。的周期函数。证明:/(x

7、)关于X对称f(ax)f(ax)又/(X)为奇函数f(cx)/(xa)f(ax)f(xa)故/(x)是周期为4的函数6 .奇偶性+周期性对称性(1)设函数)为偶函数,周T2%则/(x)关于X4对称。证明:/Cr)是72的周期函数f(x)/(2。),/(x)f(2ax)又/(x)为偶函数/(x)f(x),/(2rx)f(x)f(x)李X对称(2)设函数/()为奇函数,周T2。,则/(X)关于(Oe)对称。r期证明:/(x)是72。的周期函数f(x)f(2a),/(x)f(2ax)又/(X)为奇函数/(x)f(x),f(2x)f(x)/(x)关于(0,)对称7 .对称性+周期性对称性、奇偶性(1)

8、设函数/(x)关于X。对称,周期Tb,则/(x)关于Xa匕对称。证明:f(x)关于X。对称/(x)/(2dX)/Q)是T的周期函数f(x)/(2x),J(2ax)/(2x)hh故/(x)关XaZ?对称于(2)特别地,在(1)中令b2m其他条件不变,则/(x)为偶函数。证明:f(x)关于X对称f(ax)f(aX)是T2的周期函数f(x。)/(X。),f(ax)f(xa)故/Q)为偶函数四、函数的奇偶性、周期性和对称性的应用例1(2014高考全国卷文第12题)奇函/O)的定义域为R,若/(2)为偶函数,且加(1,则八8/(9()A.2B.1COD.1分析:由/(2为偶函数得/(x2f(X2(f(x

9、)关于X2对、ZZiI、称),而/()为奇函数,不难得到函数周期T8。Yf(/(9/(O/)1(1,选D0Q、该题思路是:奇偶性+对称性周期性例2(2021高考全国甲卷理第12题)设函/O)的定义域为R,f()140为奇函i(2为偶函数,X2/时,/()r2b若/(0/(36,湍T、必1、,/cin1.M派且不【Ic,一r(、壬.。曲建、尽.11.1.(X/OAe1.2/0八1/1.CCf(1.诜Dc五、结语在学生理解函数奇偶性、周期性、对称性的基础上,去进一步探究相互之间的联系。在实际教学中若能从整体上掌握这些性质,教学效果必然事半功倍。参考文献:1张绍林,王江.浅谈函数奇偶性、周期性和对称性之联系J.数学教学,2008,4,P11-122王建英.函数的奇偶性、对称性、周期性及其相关关系分析J.教育教学,2009,07,P103

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