黄金分割法,进退法,原理及流程图.docx

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1、黄金分割法的优化问题(1)黄金分割法根本思路:黄金分割法合用于b区间上的任何单股函数求极小值问题,对函数除要求“单谷外不做其他要求,甚至可以不连续。因此,这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理根抵上的试探方法,即在搜索区间a,b适当插入两点al,a2,并计算其函数值。al,a2将区间分成三段,应用函数的单谷性质,通过函数值大小的比较,删去其中一段,是搜索区间得以缩小。然后再在保存下来的区间上作同样的处理,如此迭代下去,是搜索区间无限缩小,从而得到极小点的数值近似解。(2)黄金分割法的根本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一,其解法思想为沿某一方向求目标函数的极小值点。一维搜

2、索的解法不少,这里主要采用黄金分割法(0.618法)。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率,从而可以看成是斐波那契法的近似,实现起来比较容易,也易于人们所承受。黄金分割法是用于一元函数AX在给定初始区间b搜索极小点*的一种方法。它是优化计算中的经典算法,以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称,是许多优化算法的根抵,但它只合用于一维区间上的凸函数同,即只在单峰区间才干发展一维寻优,其收敛效率较低。其根本原理是:依照“去劣存优原那末、对称原那末、以及等比收缩原那末来逐步缩小搜索区间。具体步骤是:在区间ab取点:al,a2把a5b分为三段。如果NaI)矽2),令蛇al9

3、al=a2=a+产(ba);如果出al)fi2),令b=a2,a2=alR=b产(ba),如果(ba)b和I(yl-y2%2都大于收敛精度重新开场。因为4为单峰区间,这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或者0.382倍,处理后的区间都将包含极小点的区间缩小,然后在保存下来的区间上作同样的处理,如此迭代下去,将使搜索区a,b逐步缩小,直到满足预先给定的精度时,即获得一维优化问题的近似最优解。黄金分割法原理如图1所示,(3)程序流程如下:4实验所编程序框图doublecalc(double*a,double*b,doublee,int*n)doublexl,x2,s;if(febs(*b-*a)K

4、x2)*a=xl;else*b=x2;*n=*n+l;s=calc(a,b,e,n);)returns;)main()doubles,a,b,e;intn=0;SCanfCS=CalC(&a成b,e,&n);PrintfVa=%Kb=%s=%=%drwb,sM;)5程序运行结果如以下图:2进退法(1)算法原理进退法是用来确定搜索区间(包含极小值点的区间)的算法,其理论依据是:f()为单谷函数(只有一个极值点),且a,b为其极小值点的一个搜索区间,对于任意x,xa,b,如果f(x)f(x),那末X,b为极小值的搜索区间。121因此,在给定初始点X,及初始搜索步长h的情况下,首先以初始步长向前搜索

5、一步,O计算f(x+h)O(1)如果f(x)f(x+h)OO那末可知搜索区间为X,X+h,其中X待求,为确定X,后退一步计算f(x入h),OO入为缩小系数,且0入f(X),从而确定搜OO索区间x一入h,X+hoOO(2)如果f()f(+h)OO那末可知搜索区间为x,X,其中X待求,为确定X,前进一步计算f(X+入h),入为OO放大系数,且入1,知道找到适宜的入,,使得f(x+h)y,令X=XJy=y;x=x,y=y;2323h=2h重新构造新点x=+h,并比较y、y的大小,直到yvy322323.图823 .后退搜索令h=-h,令X=x,V=V:x=x,V=V;X=x,y=y;h=2h;O31

6、3112122323产生新点X=X+h;32(a)如yy,23令X=x,y=y;X=x,y=y;h=2h12122323重新构造新点x=x+h,并比较y、y的大小,直到yy令a=x,b=x,322323.搜索区间为a,b;图83(2)算法步骤用进退法求一维无约束问题minf(x),xR的搜索区间(包含极小值点的区间)的根本算法步骤如下:(1)给定初始点X(O),初始步长h,令h=h,x(D=X(O),k=0;。0(2)令x(4)=X+h,置k=k+1;(3)假设f(4)f那末转步骤(4),否那末转步骤(5);(4)令X(2)=X,X=(4,f(x(2)=f(1),f(1)=f(4),令h=2h

7、,转步骤;(5)假设k=1,那末转步骤(6)否那末转步骤(7);(6)令h=-h,X(2)=X(4),f(x(2)=f(x(4),转步骤(2);(7)令X(3)=X,X=X,X=X(4),停顿计算,极小值点包含于区间X(1)5X(3)或者X(3),Xd)(3)算法的MATLAB实现在Matlab中编程实现的进退函数为:minJT功能:用进退法求解一维函数的极值区间。调用格式:minx,maxx=minJT(f,x,h,eps)其中,f:目标函数;x:初始点;h0:初始步长;ps:精度;minx:目标函数取包含极值的区间左端点;maxx:目标函数取包含极值的区间又端点。进退法的MATLAB程序代

8、码如下:functionminxjaxx=minJT(MW,q)s)%目标函数:f;%初始点:x0;%初始步长:h;%精度:eps;%目标函数取包含极值的区间左端点:minx;%目标函数取包含极值的区间又端点:maxx;fbrmatlong;ifhargin=3eps=1.0e-6;endxl=x;k=0;h=h;while1x4=xl+h;%试探步k=k+l;f4=subs(f,fmdsym(f)4);fl=subs(f,findsym(f)1);ifl4flx2=xl;xl=x4;f2=fl;fl=ft;h=2*h;%加大步长elseifk=lh=-h;%反向搜索x2=x4;f2=ft;elsex3=x2;x2=x1;xl=x4;break;endendendminx=min(x13);maxx=x1+x3-minx;formatshort;流程图如下:

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