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1、第二章习题课(2007.4.28)习题L求两点边值问题1.uu4u=Zsin,0工1,42(1.1)u(0)=0,(1)=0的线性有限元解函数(区间等距剖分成2段或3段)，要求在计算总刚度矩阵和总荷载向量时，所涉及的定积分用两种方法：1 .精确求解；2 .用中矩形公式近似计算。解：第一步：写出原问题(Ll)的等价变分形式(基于虚功原理)试探函数空间和检验函数空间均为：H1e(I)=uu三Hl3)=0.在(Ll)的第一个式子两边同时乘以检验函数空间H()中的任意元素再在区间/=(0,1)上积分，可得2(1.2)-uttvdx+uvdx=2sinvdxJoJo4Jo2其中fl分部积分fl-yutt
2、vdx-utvdx-vut0=ufvfdx-v(l)wr(l)-v(O)wr(O)j0(1.3)=ufv,dxJo将(1.3)代入(1.2),可得21J。(M+-uv)dx=2Jsinvdxq(4,v)=/)(/+wvXx小）= 2j；.x ,sin vdx2则可以得到原问题（LI）的等价变分问题:求沙：（/）,使得=/(v),PVeHTE(I).(1.4)第二步：线性有限元空间的构造1.网格剖分（这里以等距剖分3段为例）2. 一次Lagrange有限元空间的定义3. V=uh三C(Z):uhe三Pxeii=L2,3,%(O)=O.4. 1.agrange节点基函数的构造xf3x,必(X) =
3、 2-3x0,在别处31圾(X) = V 3-3x,0,rl 2在别处3x 2, A(X)= 0,在别处4.空间Vf中元素的（整体）表示记 ul=uhxi z =1,2,3,则对有3劭(X)=Z必(x)(15)7=1第三步：写出线性有限元方程将原变分问题(L4)中(/)的试探函数子空间和检验函数子空间均取为匕，则可以得到原问题(Ll)的近似变分问题：求%”,使得aM%)=f(%),VyhGVL(1.6)利用(L5)并将Vh取为4(x),i=l,2,3则上述近似变分问题等价于求”1，”2,”3R,使得3O(Z勺a，4)=/S)=1,2,3；=13OEa(I)V(I)JUj=以岭,i=l,2,3J
4、=I3Oa,()j)Uj=i=,2,3J=I写成矩阵形式AU=b其中(AM)(A,0)a（,J。（。2,。2）（。2,A）a电,归。（。3，。3）w1U=U2_3其中（a）精确求解/()b=f2)/W以Si,必）和/）的计算为例：2M)=Ka)2+亍婿9=J三2-=p32+Jo42 21+aw2+-13 422(3x)2心+R(3)2+(2-3x)2d=.-1T（。1，4）=。（。2，。）=，Q（O1，。3）=。（03，01）=，。（。2，圾）=。（。2，。3）=（。3，。2）=，。（。3，。3）=/S)=2sin=2PSinJoxxdx2(x)dx+2psin(2-3x)dx=（b）中矩形公
5、式近似求解bc+b,g(x)公S4)g(-r)以a3,j和以G)的计算为例：(如域)：32+(3!)2+4(_3)2+(2_3)2346342z?O1/Cn、1/C乃、二一(9+)+-(9+)3163162TC1=-(9+-)316/(4) 2 sin2 .=sin3 11(3) + 2-sin263 2 . +sin 24 381兀-1一(2-322习题2.导出下面边值问题rd/du、.f1.u=(P)+qu=九axbdXdX(2.1)u(a)+axu(a)=x,u(Z?)+a2u(b)=?的线性有限元方程。解：第一步：写出原问题（2.1）的等价变分形式（基于虚功原理）试探函数空间和检验函数
6、空间均为:H(I),I=Mb).在（2.1）的第一个式子两边同时乘以检验函数空间/（1）中的任意元素再在区间/=3份上积分，可得Sbddllfbrb(2.2)-(P)vdx+quvdx=fvdxJeldXdXJaJ。其中-C-(p-)vdxJadxdx分部积分,b,=puvdx-pvuJafib=puvtdx+p(a)v(d)u,(a)-p(b)v(b)u,(b)a=IPUVdX+pdvdx-axud)-p(b)v(b)0?-%(/?)(2.3)将(2.3)代入(2.2),可得b(pu,v,+quv)dx+a2PS)HS)VS)-a,p(a)u(a)v(a)arb=找dx+zP(b)v(b)-
7、p(a)v(a)记af,a(,v)=I(puV+quv)dx+a2p(b)u(b)v(b)aip(a)u(a)v(a)Cb/(v)=WdX+2P(b)v(b)-p(a)v(a)则可以得到原问题（2.1）的等价变分问题:求(),使得(2. 4)(#)=/(V),VvH1()第二步：线性有限元空间的构造1 .网格剖分给定/的一个任意剖分：a=x0xi-xnxn=bX0xlx2yn-lXn记第i个剖分单元ei=xi,xi,4=七一七T为第i个剖分单元的剖分步长。2 .一次Lagrange有限元空间的定义V=mC(7):%L，G片(令),i=1,2,.4.Lagrange节点基函数的构造X1X-XqI
8、,xaxx(I)O(Q=%0,在别处x-xi-/-,X.xXi17LlIhiXX-%)=1-二XiXXi+l%0,在别处当xZ在别处4.空间M中元素的表示记Ui=Uh(X)，i=/，2,，则对勾V,有Uh(X) = EUjG(X)J=O(2. 5)第三步：写出线性有限元方程将原变分问题（2.4）中（）的试探函数子空间和检验函数子空间均取为V,则可以得到原问题（2.1）的近似变分问题:求Uz,使得。（以，乙）=/（乙），wzey(2.6)利用(2.5)并将L取为4(x),i=0,1,2,则上述近似变分问题等价于求0，4”2，三R,使得/j,6J=f(j,i=0,l,2,侧)*)%=f3),i=0
9、,l,2,a(i,j)uj=f(iz=0J,2,J=On7=0nJ=O写成矩阵形式AU=b其中。（。（）,4）。（4）,必）a（G）O（落裔）（如4）a（vn）(或M)a电,(I)D(裔，裔)，+i)xgi)“0f()/M)f(n)习题3.导出非齐次两点边值问题,d/du、r11.u=(P)+qu=九axb(3. 1)dxdxU(O)=a,ur(Jb)+3u(b)=的线性有限元方程组。解：方法一：先将两点边值问题（3.1）齐次化。令VV（X）=（X）-a,则原非齐次两点边值问题变成如下齐次两点边值问题：rd.dwxr11.w-(P)+qw=J-ocq.axbdxdx(32)w(a)=O,w,(
10、b)+w(b)=/-a方法二：分三步来导出两点边值问题（3.1）所对应的线性有限元方程组。第一步：写出原问题（3.1）的等价变分形式（基于虚功原理）试探函数空间：U=uueH（/）,u（a）=a检验函数空间：V=vvH1（）,v（a）=O）在（3.1）的第一个式子两边同时乘以检验函数空间V中的任意元素y,再在区间/=（区。）上积分，可得PbddtlPbPb(3.3)-一(P)vdx+quvdx-ffvdxjadxdxJaja其中chddu分部积分rbl-p-)vdx=puv,dx-pvu,=putv,dx-PS)y(b)u(b)=puv,dx-p(b)v(b)一u(b)JaSb=puv,dx-
11、Ps)VS)+p(b)u(b)v(b)Ja(3.4)将(3.4)代入(3.3),可得f(pufV+quv)dx+p(b)u(b)v(b)=ftfvdx+p(b)v(b)JaJaaa(u,v)=(pu,vr+quv)dx+p(b)u(b)v(b)/(v)=fvdxp(b)vb则可以得到原问题(3.1)的等价变分问题：求4U,使得au.v)=f(yvV.(3.5)第二步：线性有限元空间的构造1 .网格剖分给定/的一个任意剖分:a=x0xixn_xn=bIlllI%xlx2Fn-IXn记第,个剖分单元ei=%-1，Xi，hi=Xi七_为第，个剖分单元的剖分步长。2 .一次Lagrange有限元空间的
12、定义5. Ub=UhC(7):uhePi(eiZ=1,2,.,n,ult(d)=2；%=以C(7)vhe三6(,),i=1,2,凡vh(a)=O.6. 1.agrange节点基函数的构造1 -,x0XX1。0(X)=%O9在别处-4() = hix-xiO,% i七 xx* 在别处ZT X%在别处Xfl裔(%)=hHO9、4.空间U中元素的表示记ui=uh(xi)jI=0,l,2,则对D%三U”,有即(X)=必(%)=a0(X)+Zujj(X)(36)7=07=1.第三步：写出线性有限元方程在原变分问题(3.5)中取U”为试探函数子空间，片为检验函数子空间，则可以得到原问题(3.1)的近似变分问题：求UheU卜,使得a(4,%)=f(Vh),PVheVL7)利用(3.6)并将Vh取为4(X),i=l,2,，则上述近似变分问题等价于求对，2，三H,使得(o+Zjj,
