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1、导数题型分类（八）题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则vf(x+x)-f(x)(一)导数的定义：函数y=f(x)在XO处的瞬时变化率Iim丝=Iim-：”称r0o为函数y=f()在X=XO处的导数.记作/(与)或ym0，即7() = Ar 0/(Xo+)-(%)x如果函数y=F(X)在开区间(,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(,b),都对应着一个确定的导数fix),从而构成了一个新的函数称这个函数f(x)为函数y=(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y,即/5)=(=/。)。例L函数y=(x咫=。处的导数为A,求im+4+5nr0i例2.求y=在点=3处的导数。
2、Jr+3(二)常见基本初等函数的导数公式和运算法则：C=O(C为常数)；(x)=nxt,?TV+；(SinX)=cosx;(cosx)=sinx;(eA)=ex;(ax)=axnai(Inx)=;(logx)=logexaxa法则1：u(x)v(x)=W(x)v(x)法则2：w(x)v(x)=w(x)v(x)+w(x)v(x)法则3：幺H=(X)U(X)一)1(X)3()O)v(x)v2(x)(理)复合函数的求导:若y=/Q),=奴),则乂=/()e(X)如，(gy=；(Sinex)=f公式(一)=LT的特例：(X)=:!)=,(4)=.题型二：利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义：函数
3、y=/(幻在/处的导数是曲线y=/(x)(0,/(0)处的切线的斜率.因此，如果/(%)存在，则曲线y=(幻在点(,/)处的切线方程为例L若函数F(X)满足，.元2一乂则/的值例2.设曲线片*在点(U)处的切线与直线v+2y+=o垂直，则=.练习题1 .曲线y=4-d在点(T3)处的切线方程是y=-22 .若曲线/(X)=/-X在P点处的切线平行于直线版-=0,则P点的坐标为(1,0)3 .若曲线y=/的一条切线/与直线1+4y-8=0垂直，则/的方程为4x-y-3=04 .求下列直线的方程：(注意解的个数)(1)曲线=4+/+1在p(,D处的切线；(2)曲线)=过点p(3,5)的切线；解.(
4、)点P(-l,1)在曲线y=X3+*2+上，.y/-3,v2+2xk=yzx.-=32=1所以切线方程为NT=】，-y+2=0(2)显然点P(3,5)不在曲线上，所以可设切点为4知九)，则九=蜡又函数的导数为L=2%,所以过A(%yo)点的切线的斜率为“=ym%=23,又切线过A(W)。)、P(3,5)点，所以有20=卜0=1或修=5与-3，由联立方程组得，I%=Ilo=25,即切点为(1,1)时，切线斜率为勺=2%=2;；当切点为(5,25)时，切线斜率为e=2与=10；所以所求的切线有两条，方程分别为y_1=2(x-1)两，-25三l(11x-5),即)，=2-1-三IOa-255 .设P
5、为曲线Cy=f+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0,争，则点P横坐标的取值范围为()A.-1,-JB.-1,OJC.10JD.gI6 .下列函数中，在(0,+8)上为增函数的是()A.y=sinxB.y=xexC.y=x3-xD.y=ln(l+x)-x7 .设f(x),g(x)是R上的可导函数，/(x),g(x)分别为f(x),g(x)的导数，且f,(x)g(x)+f(x)g,(x)f(b)g(x)B.f(x)g(x)f(b)g(b)C.f(x)g(a)f(a)g(x)D.f(x)g(x)f(b)g(a)题型三：利用导数研究函数的单调性1设函数y=(x)在某个区间(a,b
6、)内有导数，如果在这个区间内,则y=(%)在这个区间内单调递增；如果在这个区间内,则y=/(元)是这个区间内单调递减.2 .求函数的单调区间的方法：(1)求导数y=f(x);(2)解方程U()=O;(3)使不等式f(x)0成立的区间就是递增区间，使f(x)0)的单调递增区间是一3 .已知函数/(x)=产一以+1在R上单调递增,则a的取值范围是.题型四：利用导数研究函数的极值、最值。1 .F(X)=丁-3d+2在区间-U上的最大值是22 .已知函数I)=。-。)?祗=2处有极大值，则常数C=65.已知函数/(此=/+以2+(。+ 6)戈+ 1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(A.-la2B
7、.a6 C.-3a2作业和练习：1.已知函数F(X)=X2-2水+。在区间(一8,1)上有最小值，则函数g(x)=1在区间(LX+8)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数3 .已知函数/(X)=Gj+版2-3X在工=1处取得极值，求过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求该切线的方程.4 .己知函数/(x)=XInX(1)求f(x)的最小值(2)若对所有xl都有f(x)a-l,求a的取值范围.5 .已知函数f(x)=x2-lnx,其中a为大于零的常数.2a(1)当a=l时，求函数f(x)的单调区间和极值(2)当x1,2时，不等式/(幻2恒成立，求a的取值范围.5,已
8、知函数/*)=V+Gj+瓜+G过曲线y=f(x)上的点P(IJ)的切线方程为y=3+(I)若函数/(幻祗=一2处有极值，求/3的表达式；（三）在()的条件下，求函数)=/()在3,1上的最大值；(11d若函数y=)在区间2,1上单调递增，求实数b的取值范围解.由/(x)=丁+OK?+H+.求导数得r(X)=3/+20r+b.过y=/(X)上点P(IJ(I)的切线方程为：y-/(1)=,(ix-1),即y(+6+c+1)=(3+2+b)(x-1).而过y=/)上AL/的切线方程为y=3.3+24+h=3an(2a+b=0i即故3c=-3vy=/(x)x=一2时有极值,故广(-2)=O,.-4。+
9、方=一12由得a=2,b=-4,c=5/U)=x3+2-4x+5.fM=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2).2-3xv-2W,rtx)0;当一2x一时,/(x)0;当32当；，/(x)极大=/(2)=13r_.f(3又J_4,一J(X)在_3,1上最大值是3。(3) y=f(x)在一2,1上单调递增，又r(x)=32+2ax+b,由知2a+b=0。依题意广在一2,1上恒有/20,即32-辰+b0.x=M(x)min=,(1)=3-b+b0ib6当6.X=-2f%)min=/(2)=12+2匕+80,.b。当6；-21时,/(x)min=0,则0z,6.当b12综上所述，参数b的取值范围是
10、1，+00)6.已知三次函数/(x)=3+r2+”r+c在x=l和X=T时取极值，且f(-2)=T.（1）求函数y=幻的表达式;(2)求函数y=)的单调区间和极值；(3)若函数8(尤)=/3_6)+4，()在区间即一3，网上的值域为-4，16,试求加、应满足的条件.解：r*)=3d+20r+由题意得，LT是3f+2r+匕=的两个根，解得，=0,6=-3.再由f(-2)=4可得c=-2./()=-3x-2(2),(x)=3x2-3=3(x+l)(x-l)j当.当X=-I时，f()=.当一lxvl时，f)时，r).函数/W在区间(,上是增函数；在区间T上是减函数；在区间必+8)上是增函数函数/(X
11、)的极大值是/(T)=O,极小值是了=Y.(3)函数g(x)的图象是由八外的图象向右平移?个单位，向上平移4?个单位得到的，所以，函数F3在区间-3，一洞上的值域为-4-4肛16-4词(心0)而/(-3)=-20,.-4zn=-20,即z=4.于是，函数/(%)在区间一上-4上的值域为-20,0.令/(x)=得X=T或x=2.由/3的单调性知，T加-42,即3加6综上所述，加、应满足的条件是：机=4,且3领k67.已知函数/(x)=x-lnx,g()=-上?，(R).X(II)设函数MO=)-g(x),求函数为(X)的单调区间;(HI)若在l,e上存在一点/,使得/(0)四，即a-1时，在(0
12、,1*a)hCx)0,所以h(x)在(0,1*a)上单调递减，在(1+a+8)上单调通增；(7分)当1*a(0,即al时，在(0,*oo)h,Cx)0,所以，函数Mx)在(0,+8)上单调递增.(8分)(III)(1，e上存在1点)，使律f()g()成立，即1 +a总2+1由h(e)=e+-a,ee-1e2+1因为-e-1,e-1e2+i所以a-;(10分)e-1当1+a3即a0时,h(x)在1,即上单调递增,所以h(x)最小值为h(1),由h(1)=1+1+a。可得a2；(当11+ae,即0ae-1时，可得h(x)最小值为h(1+a)因为。ln(1+a)1,所以，0aln(1+a)2此时，h(1+a)-1或a
