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1、专题8小夜叉棍法齐次化探究第一讲斜率和积与定值定点问题已知点P(X(),见)是平面内一个定点，椭圆C：3+=l(400)上有两动点A、B(1)若直线ZPA+2依=4(几工0)，则直线AB过定点.(2)若直线MA%p8=%h0),则直线AB过定点.(3)若直线Z外+Zw,=0，则直线A3的斜率为定值km=义4%。【例1】(下城期中)如图，椭圆七:+=13力0)经过点A(0,-l),且离心率为等.(1)求椭圆E的方程；(2)若M点为右准线上一点，B为左顶点,连接8W交椭圆于N,求”的取值范围；NB(3)经过点(1,1),且斜率为2的直线与椭圆E交于不同两点P,Q(均异于点A)证明：直线”与AQ的斜
2、率之和为定值.【例2】(茂名T)已知椭圆c：。Q3”。)离心率为小冬以原点为圆心，以椭圆。的短半轴长为半径的圆O与直线/：y=x+相切.(I)求椭圆。的方程;(2)设不过原点O的直线I?与该椭圆交于P、Q两点，满足直线QP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列,求AOPQ面积的取值范围.【例3】(成都模拟)椭圆E:上+工321的左右顶点分别为A,3,点P为椭圆上异于A,3的任意一点.(1)求直线PA与尸8的斜率之积；(2)过点。(-,0)作与X轴不重合的任意直线交椭圆E于M,N两点.证明：以MN为直径的圆恒过点A.22结论1若直线/与曲线C:=+5=l(a0,0)交于M、N两点，P(%,先)为曲线。
3、上一点，且a-bPMlPN ,则直线/必过定点(a1-h1a2-b2k77brx,77P-y0特别地，当户点位于椭圆的顶点3,0)时，直线/必过定点卜“一”“，0I+b-结论2若直线/与双曲线Um-g=l(O,0)交于M、N两点，PC%,%)为双曲线。上一点，且ab，24.序2,t2PM工PN,则直线/必过定点-Tx0-Ty0.q.Zr(T-b)特别地，当月点位于双曲线实轴顶点m，0)时，直线/必过定点卜+F,o.【例4】(2013江西)如图，椭圆uEg=13b0)经过点P(l,3),离心率G=L宜线/的方程为ab22x=4.(1)求椭圆。的方程；(2)AB是经过右焦点厂的任一弦(不经过点尸)
4、，设直线AB与直线/相交于点M,记Q4,PB,PM的斜率分别为&1，Q4问：是否存在常数4，使得4+七=4七?若存在，求几的值；若不存在，说明理【例5】(泰州模拟)已知A(0,3),B,C为圆0:/+),2=/(/0)上三点.(1)求的值；(2)若直线8C过点(0,2),求AABC面积的最大值；(3)若。为曲线x2+(y+l)2=4(y-3)上的动点，MAD=AB+AC,试问直线AB和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【例6】(2020山东)已知椭圆C:+=l(”O)的离心率为也，且过点A(2,l).ab2(1)求。的方程；(2)点M,N在C上，且AMJ.4V,
5、ADLMN,。为垂足.证明：存在定点。，使得|OQ为定值.【例6】(2022新高考I卷)上，直线/交C于尸，。两点，直线ARAQ的斜率之和为0.(1)求/的斜率；(2)若tanPAQ=2j,求APAQ的面积.第二饼先求轨迹再齐次化动态弦中点问题涉及到斜率问题都可以采用先求轨迹再其次化的方法，具体方法如下：I.先设出中点坐标利用中点弦的乘积公式k&=(ki和k,都可以用中点坐标表示具体证明见第三定义)可a以求出动点弦的轨迹方程(得到的形状和原来的圆锥曲线形状一致)2.再把坐标原点平移到动态弦经过的定点，后续处理等同于齐次化处理定值定点问题【例6】(镇江期末)已知椭圆W+=l(a60)的右焦点厂(
6、1,0),离心率为立，过尸作两条互相垂ab2直的弦A,CD,设AB,CZ)的中点分别为M,N.(1)求椭圆的方程：(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；(3)若弦AB,CD的斜率均存在，求朋N面积的最大值.【例7】(丹阳月考)已知左焦点为耳(-1,0)的椭圆过点E(l,手)，过右焦点户2分别作斜率为匕，&的椭圆的动弦48,CD.设点M,N分别为线段AB,CD的中点.(1)求椭圆的标准方程；(2)求三角形OAB面积的最大值；(3)若Qk2=1,求证：直线MN经过定点T,并求出定点了的坐标.求证：点/到直线AB,8的距离的平方和为定值.【例8】已知椭圆u+E=l(hO)过点(0,),离心
7、率为避.Cb-3(1)求椭圆。的方程；(2)过点P(l,1)分别作斜率为人、玲的椭圆的动弦48、CD,设何、N分别为线段AH、CD的中点,若k+k=l,是否存在一个定点Q,使得其在直线用N上，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.第三稀非常规齐次化【例9】(武汉检测)已知椭圆C：三十.=1(。人0)的左右顶点分别为A,8,过椭圆内点拉(1,0)且不与X轴重合的动直线交椭圆C于尸，Q两点，当直线PQ与K轴垂直时，|尸。|=忸。=*(I)求椭圆C的标准方程；（三）设直线AP,AQ和直线/：X=E分别交于点“，N,若MDtND恒成立,求/的值.【例10】为圆4。+2)2+/=36上一动点，
8、点8的坐标为(2,0),线段PB的垂直平分线交直线AP于点Q.(1)求点。的轨迹方程G(2)如图，(1)中曲线C与X轴的两个交点分别为4和A2,M、N为曲线C上异于Ai、Az的两点，直线MN不过坐标原点,且不与坐标轴平行.点M关于原点O的对称点为S,若直线15与直线A?N相交于点T,直线。T与直线WN相交于点R,证明：在曲线C上存在定点使得石的面积为定值，并求该定值.整套系列资料分”讲见：最新版圆锥曲线专题17之1基础知识最新版圆锥曲线专题17之2焦长焦比体系最新版圆锥曲线专题17之3轨迹方程求法最新版圆锥曲线专题17之4三角形相关性质最新版圆锥曲线专题17之5四边形相关性质最新版圆锥曲线专题17之6圆锥曲线与圆综合最新版圆锥曲线专题17之7抛物线的综合问题最新版圆锥曲线专题17之8齐次化问题最新版圆锥曲线专题17之9曲线系方程最新版圆锥曲线专题17之10切线与切点弦的应用最新版圆锥曲线专题17之11极点极线与定点定值最新版圆锥曲线专题17之12阿基米德三角形最新版圆锥曲线专题17之13定比点差体系最新版圆锥曲线专题17之14不联立体系第一讲一单动点问题最新版圆锥曲线专题17之15不联立体系第二讲一双动点问题最新版圆锥曲线专题17之16不联立体系第三讲一三点共线问题最新版圆锥曲线专题17之17不联立体系第四讲一设点与比例问题
