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1、专题16三点共线问题在处理三点一线问题时，设点法往往比设线法有更大的优势三点共线问题设点法：一般来说有两点是在圆推曲线上，另一点在坐标轴上，这样问题的核心就是要找到圆锥曲线上两点X+W与之间的联系，把两者之间的联系建立起来.那么用点参法如何解决这一问题呢?我们来看一个具体的例子22假设A(,y),B(x2,%)是椭圆*+方=13。0)上不同的两点，且直线AB经过点M(,，则-二U，交叉相乘可得：y(马-)=%(%-，)，我们可以将两边同时平方然后将)加以替换，整xl-mx2-m理，具体过程如下口诀：积加4方的双倍，和与双勾来相对，”的平方太积极，左右都在不缺位.备注：.21当直线AA经过纵轴上
2、定点M(O,M时=2(X%+从)=d-+M(+%)m22在双曲线中有类似的结论.直线AB经过点”(，0)时，2(x1x,+a2)=(-+n)(x1+xJ(和椭圆一致)，m当直线AB经过纵轴上定点M(0,。时2(VM-62)=(WI_)(y+%)(和椭圆有区别)，推导过程与椭圆类m似，在这里就不重复了.第一年平方重构法【例I】如图431所示，已知椭圆工+二=1的左、右顶点分别为P,Q,弦Ae经过椭圆C的右焦点产，84且直线B的斜率不为零，记直线以，QB的斜率分别为人，网,试问是否存在常数2，使得占=丸包在AB绕点F旋转的过程中始终成立？图431第二稀截距点差法我们学过，过不同两点A(%,y1),
3、仇心，必)的直线方程可表示为L，但是这种形式都有Ji-J2Xl-W一定的局限性，不能表示斜率不存在或斜率为零，为了克服它们的局限性，我们将其化为整式，得到(XI-A12)y+(%-)。工=百-WX上式将会是我们在本节中经常见到的一个式子，分别令E=O和,y=0,就能b_y2-x2y,得到直线AB的)，轴截距b和.V轴截距。的计算公式芭22f(.r1，,l)MX2，为)是椭圆=+与=1上的两点，则以下式子必然成立.、*-ab(x1y2-2jl)y2+2y)=2(l2-22)=2(j2-y2),这个式子里X和y处于交叉状态，又出现了平方差，我们不妨称之为“交叉平方差式”进一步与两点式结合，我们可以
4、得到以下两个结论22【例2】(2016山东)已知椭圆C:=+与=l(b0)的长轴长为4,焦距为2.ab(1)求椭圆C的方程；(2)过动点M(0,2)(70)的直线交工轴于点,交。于点A,P(P在第一象限)，且M是线段ZW的中点.过点P作X轴的垂线交。于另一点Q,延长QM交。于点B.(i)设直线QW,QM的斜率分别为勺，k,证明勺为定值；(ii)求直线AB的斜率的最小值.2【例3】椭圆+丁=1的左右端点分别为a、B,尸为右焦点，C,O为椭圆上两个动点，且CFD三点4共线，求AD与BC交点轨迹方程-必2在抛物线中，在斜率表达式“为一七”中本身就可以约分变成M+必(开口朝右时)，在三点一线时两两组合
5、很方便列出一个等式，从而得到各点之间的等量关系，所以处理起来会更加方便，我们接下来看下抛物线中的处理方法，【例4】如图433所示，已知点M(l,l),NQ,1),Q(4,1)抛物线V=2px过点M,过点。的直线与抛物线交于A,B两点,直线4V,8N与抛物线的另一交点分别为C,D,记ABN,ACDV的面积分别为S,S2.(I)求抛物线的方程；(2)区是否为定值？并说明理由.S2我们还可以推广到更一般的结论：222对于抛物线V=2px(p0),&九，%)是抛物线上一点以至+，%)。(生+c,%)是平面内两点(8,22p2pC不在抛物线上)且8,C,A三点共同位于一条与X轴平行的直线上.图4-34M
6、N为过C的一条弦，MB交抛物线于另一点0,M5交抛物线于另一点?，则必有(1)妙=*(2)PQ过S种Qb定点（+生，）2pc【例5】(湖北十一校第一次联考)：已知直线y=x-2与抛物线f=2px相交于48两点，满足。4_1。8.定点C(4,2),D(Y,0),M是抛物线上动点，设直线CM,ZW与抛物线的另一个交点分别是E、F.(1)求抛物线的方程；(2)求证：当M点在抛物线上变动时(只要点上、F存在且不重合)，直线所恒过一个定点；并求出这个定点的坐标.例6已知抛物线:y2=2px(p0)的焦点为尸，P是抛物线上一点,且在第一象限,满足Fp=(2,23).(1)求抛物线的方程.(2)已知经过点A
7、(3,-2)的直线交抛物线于M、N两点,经过定点8(3,-6)和M的直线与抛物线交于另一点L,问直线NL是否恒过定点？如果过定点，求出该定点，否则说明理由.【例7】已知抛物线E：f=2Np0)的焦点尸，A(2,%)是上上一点，且IAFl=2.(1)求E的方程：(2)设点8是七上异于点4的一点，直线AB与直线y=x-3交于点P,过点尸作X轴的垂线交E于点/,证明：直线过定点。【例8】己知抛物线C：y2=2p(p0)的焦点产，若平面上一点A(2,3)到焦点F与到准线/：x=-的距离之和等于7.(1)求抛物线C的方程(2)又已知点?为抛物线。上任一点，直线AA交抛物线C于另一点何，过M作斜率为女=的
8、直线MN交抛物线C于另一点N,连接尸N.同直线PN是否过定点，如果经过定点，则求出该定点，否则说明理由.此类题目通法：（1）此类型必然会涉及两组三点一线（有可能是一组三点一线与一条斜率已知的直线）一组已知，另一组要证明过定点，这两条直线必交于一点A,设出A点坐标（.，）.（2）把两条直线上各自另外两点8,C分别设为（9，/），（为，为），注意A，B,C三点均在抛物线上.（3）根据三点一线，将X2与和%与以均用百或V1表示.（4）利用两点式列出AC的方程，只含有一个未知数或X，即可证明过定点，最后一步计算往往较复杂，可以直接利用极点极线中的自极三角形或四线平行模型得出结论.整套系列资料分17讲见
9、：最新版圆锥曲线专题17之1基础知识最新版圆锥曲线专题17之2焦长焦比体系最新版圆锥曲线专题17之3轨迹方程求法最新版圆锥曲线专题17之4三角形相关性质最新版圆锥曲线专题17之5四边形相关性质最新版圆锥曲线专题17之6圆锥曲线与圆综合最新版圆锥曲线专题17之7抛物线的综合问题最新版圆锥曲线专题17之8齐次化问题最新版圆锥曲线专题17之9曲线系方程最新版圆锥曲线专题17之10切线与切点弦的应用最新版圆锥曲线专题17之11极点极线与定点定值最新版圆锥曲线专题17之12阿基米德三角形最新版圆锥曲线专题17之13定比点差体系最新版圆锥曲线专题17之14不联立体系第一讲一单动点问题最新版圆锥曲线专题17之15不联立体系第二讲一双动点问题最新版圆锥曲线专题17之16不联立体系第三讲一三点共线问题最新版圆锥曲线专题17之17不联立体系第四讲一设点与比例问题
