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1、专题4万剑自生三角形相关性质万条杨柳拂青天，剑刃潇洒错下船.自言曲线与三角，生世纵横却惊仙.三角之美，曲线之艳，相互融合，相互成就.一曲三角总结入魂，万种方法细致入微.在焦点三角形中行走，在等腰三角形中遨游，在直角三角形中飞翔.在圆锥曲线的世界，以正余弦定理为武器，以基础知识点为盾牌，体验圆锥曲线中的三角之美.第一耕与等腰三角形有关的解题技巧在圆锥曲线当中，因为圆锥曲线的特殊对称性往往会形成很多等腰三角形.例如，关于原点对称，关于焦点对称，都可以形成等腰三角形,这些等腰三角形中的等量关系往往可以成为命题人的一个重要命题方向.我们需要通过这些等量关系来构造方程，从而得到解决题目的目的.有的时候会
2、比较隐蔽，那么我们就需要对圆锥曲线的一些基本性质进行一个熟练的掌握.接下来的这一节当中，我们会通过一些例题来进行一个详细的讲解.【例1】（河南月考）已知点A为椭圆E:+E=l（ab0）上的动点，过点A作直线x+2y=O及直线abx2y=0的平行线，且与这两条直线分别交于点B、C,若IBCI2+2A臼?IAClCOSA为定值，则椭圆E的离心率为（）A.-B.-C.-D.424222【例2】椭圆40）的一个焦点为尸，该椭圆上有一点A,满足D9A尸是等边三角一形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A.3-1B.2-3C.J2-1D.2-2【例3】（常德期末）已知人，鸟为双曲线的焦点，过K作垂直于实
3、轴的直线交双曲线于4，8两点，BFi交虚轴于点C,若IAC+%=AC-防则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2y2D.23【例4】（舟山期末）已知椭圆+/=l（60）的左、右焦点分别为耳，尸2,点P是椭圆上一点，直线6M垂直于OP且交线段4P于点M,FxM=2MP,则该椭圆的离心率的取值范围是（）A.（0,；）B.（0,亭c.（0,当）D.（1,1）【例5】（沙坪坝月考）已知8,C是椭圆5+方=1上的两个动点，A（,0）,则以A为直角顶点的等腰直角EMAC的个数为（）A. 2B. 4C. 6D.多于6个【例6】（道里三模）己知4、K分别是双曲线C:=-2=l（O,匕0）的左右焦点，P为y轴上
4、一点，Qab为左支上一点,若（Op+。6）?P瑞0,且4PKQ周长最小值为实轴长的3倍,则双曲线C的离心率为（）A.2B.3C.2D.22【例7】（成都期末）设椭圆C:二+与=I（OV力7）的左，右焦点分别为耳，居，经过点K的直线与椭圆C49b相交于M,N两点若Mg=K6,且7/K=4MN,则椭圆C的短轴长为（）A.5B.26C.10D.46【例8】（福建模拟）在直角坐标系XOy中，双曲线c：-5=l(0,b0)的右顶点为A,直线aby=2与C相交于尸，Q两点，。位于第一象限，若。Q平分NAOP,则C的离心率为（）【例9】（雅安期末）设不居分别是椭圆石：4+工=1（心60）的左，右焦点，过点的
5、直线交椭圆石ab于A,8两点，若的面积是K的三倍，cos?AF2B则椭圆上的离心率为（）a12r3n2A.B.C.D.2322= l（O,bO）的左、右焦点分别为6，F2, O为坐标原点.P为例io（宁德模拟）双曲线Uw工ab曲线C右支上的点，点“在）耳空外角平分线上，且M?PM0.若A0鸟恰为顶角为120。的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（）A.23B.C.2D.33【例II】（全国模拟）倾斜角为45。的直线与双曲线W=I交于不同的两点P,Qf且点尸、。在X轴4b上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（）A.23+2B.25+2C.3+lD.51【例12】（鹿城区月考）如图，P
6、（0,O）为X正半轴上一点.第一象限内两点A,B（XAV/）在抛物线y=4x上，满足？APBL记些=%.3IPAI（1）若XA=3,k=2,求的值：（2）若存在ZVVW,使得2=1,求的取值范围.22【例13（淇滨区月考）已知双曲线C:L=I（。0酒0）的左，右焦点分别为小F2,过尸2的直线与双曲线C的右支交于M,N两点.若IKMl=IKEI,26M+N=0,双曲线。的渐近线方程为（）143A.y=?2xB.y=?-XC.y=?-xD.y=?-x234“222【例14已知椭圆:=+与=l（80）与双曲线。,：鼻-与=1（m0,0）有相同的焦点小工，其a-bmn中耳为左焦点.点夕为两曲线在第一象
7、限的交点，6、e分别为曲线C、。2的离心率，若鸟是以P4为底边的等腰三角形，则44的取值范围为.第二饼直角三角形相关问题直角三角形是平面几何的重要内容,那么在直角三角形当中，勾股定理，斜边的中线等于斜边的一半,以及因为有一个直角的存在，很容易与一些特殊值的三角函数联系起来.这些性质在解析几何当中会为我们解题带来很好的帮助.我们接下来会通过这些高考题和高考模拟题来把这些性质加以一个充分的，淋漓尽致的阐述.22【例1】（梅河口模拟）直线人-回，+G=O经过椭圆=+与=l（abO）的左焦点尸，交椭圆于A,8两ab点，交），轴于C点，若Q=2C4,则该椭圆的离心率是（）A.3-1B.C.22-2D.2
8、-12【例2】（景德镇月考）已知点A是抛物线丁=61上位于第一象限的点，户是其焦点，AF的倾斜角为60。，以尸为圆心，A/为半径的圆交该抛物线准线于8,C两点，则AABC的面积为（）【例3】（湖北模拟）已知双曲线C：1-V=,小鸟分别为双曲线左右焦点，P（Xt）,y0）,为双曲线。上A. 18B. 3615C. 723D. 18一点，且位于第一象限，若AP尸建2为锐角三角形，则比的取值范围为（）A.吟,+?）B.（竽,+?）CS；）D.g,哈【例4】（眉山模拟）点尸为抛物线C:/=2PX（P0）的焦点，过厂的直线交抛物线。于A,B两点（点、A在第一象限），过A、8分别作抛物线。的准线的垂线段，
9、垂足分别为M、N,若尸=4,IMl=3,则直线AB的斜率为（）22【例5】（西青区期末）双曲线二-与二l（a0,力0）的左、右焦点分别为小F2,渐近线分别为,ab点P在第一象限内且在4上，若4P鸟且，2人尸白，则双曲线的离心率为（）A.5B.2C.3D.2【例6】（新疆模拟）过双曲线b0）右焦点F的直线/与C交于尸，。两点，QP=2PF,a2Ir若OP?FQ0,则。的离心率为（）A.2B.2C.7D.I0【例7】（吴忠模拟）已知直线/:ky-A=O（R?R）与抛物线Uy2=2PX（Pg）相交于A,B两点,O为坐标原点，则AOe为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定22【例8
10、】（柯城区一模）已知耳，尸2是双曲线=l（O,60）的左、右焦点，若点尸2关于双曲线渐近线的对称点A满足？石AO?AOK（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A.y=?2xB.y=?不XC.y=?3XD.j=?x【例9】（齐齐哈尔一模）已知点40,3）,抛物线。：产=23（0）的焦点为尸，射线网与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N若IEMlMNI=I:2,则P的值等于（）A.1B.2C.3D.422【例10（安阳二模）已知双曲线C:；与=l（O,b0）的左、右焦点分别为6，居，其右支上存在ab一点M,使得MK?M乃0,直线/:灰+y=O.若直线/,则双曲线C的离心率为（）A.2B.2
11、C.5D.522【例11（湖北模拟）设点耳，鸟分别为双曲线C：二-1=1（a0,0）的左、右焦点，点A,区分别在6b双曲线C的左、右支上，FiB=6FiA,AF22=AB?AF2,且则双曲线C的离心率为（）a*r13屈n65A.B.C.D.7555【例12（湖北期末）已知抛物线Ux2=2py的焦点为尸，定点MQ6，0）,若直线汽M与抛物线C相交于A,8两点（点8在尸，M中间），且与抛物线C的准线交于点N,若IBNI=7811,则AF的长为（）D.3【例131（广东期末）已知双曲线UW-E=I的右焦点为了，过点尸向双曲线的一条渐近线引垂线，垂a-b-足为交另一条渐近线于N,若2MF=FN,则双曲线的离心率（）A23r14rJ5D2AD.Cz.yJZUZ33第三稀椭圆与双曲线共焦点三角形椭圆和双曲线共焦点模型自从2014湖北高考出现选择压轴题以来，一直被命题者所青睐，经常作为圆锥曲线选填压轴题来出现.主要分为张角固定模型和与焦半径有关的模型.考点一、张角固定模型【例1】（龙凤区模拟）椭圆与双曲线共焦点K，尸2,它们的交点P对两公共焦点尸I，尸2的张角为？”用，椭圆与双曲线的离心率分别为弓，% 4 cos% sin2g ,a. +-= %C. M+4=1 cosq SirTq则（）B sin% I cos，_ . b0）与双曲线G：=-二二10）有共同的左
