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1、时间序列分析方法第04章预测在本章当中我们讨论预测的通常概念与方法，然后分折利用A三4(p,q)模型进行预测的问题。4.1 预期原理利用各类条件对某个变量下一个时点或者者时间阶段内取值的推断是预测的重要情形。为此，需要熟悉如何确定预测值与度量预测的精度。4.1.1 基于条件预期的预测假设我们能够观察到一组随机变量X,的样本值，然后利用这些数据预测随机变量工“的值。特别地，一个最为简单的情形就是利用匕的前加个样本值预测匕+如今X,能够描述为：XL匕片T，.J)假设匕:山表示根据X,关于匕7做出的预测。那么如何度量预测效果呢？通常情况下，我们利用缺失函数来度量预测效果的优劣。假设预测值与真实值之间
2、的偏离作为缺失，则简单的二次缺失函数能够表示为(该度量也称之预测的均方误差)：三%)=E(KU)2定理4.1使得预测均方误差达到最小的预测是给定X,时，对匕X的条件数学期望，即：=EX,)证明：假设基于X,对匕+1的任意预测值为：=g(X,)则此预测的均方误差为：MSEa)=EIL-g(X,)2对上式均方误差进行分解，能够得到：MSE(ZM)=R匕.|一E(LJXJ+EXl)-g(Xl)2=EaMlf)i2+E,)-(r)i2+2司%-E(Yt+lIX,)EX,)-5(X,)其中交叉项的数学期望为(利用数学期望的叠代法则)：EYl+l-E(LlXf)EX,)-g(Xf)=O因此均方误差为：MS
3、E,)=EYl+i-E(Yl+lIXr)J2+阳LlXJ-g(X,)2为了使得均方误差达到最小，则有：g(Xl)EX,)如今最优预测的均方误差为：MSE(Y111)=El心一E(LJX,)J2End我们以后经常使用条件数学期望作为随机变量的预测值。4.1.2 基于线性投影的预测由于上述条件数学期望比较难以确定，因此将预测函数的范围限制在线性函数当中，我们考虑下述线性预测：匕M=aX,如此预测的选取是所有预测变量的线性组合，预测的优劣则表达在系数向量的选择上。定义4.1假如我们能够求出一个系数向量值2,使得预测误差(-aX,)与看不有关：E1-,Xz)XJ=O则称预测cr,Xf为匕.1基于X,的
4、线性投影。定理4.2在所有线性预测当中，线性投影预测具有最小的均方误差。证明：假设gXf是任意一个线性预测，则对应的均方误差能够分解为：MSE=EYl+l-g,Xl2=EYt+l-afX,+a,Xl-g,Xt2=E-a,Xl)2+E(a,Xl-g,X1)2+2E(Yt.l-a,Xl)(a,Xl-g,Xl)由因此X,线性投影，则有：ei-a,Xl)(a,Xl-g,X,)=fl(+1-a,Xt)Xa-fi)O因此均方误差为：MSE=E(Y小一aX尸+E(aX,-gX尸为了使得均方误差达到最小，线性预测满足：gX,=at,这是一个线性投影。End我们将线性投影预测表示为：P(YlXl)=afX,或者
5、者简化为：“=aX,显然线性投影的预测误差仍然不小于条件期望预测，因此有：MSEP1X,)MSEE(Y,+iIXt)当条件中包含常数的时候，如今线性投影当中就含有常数，为此使用E表示含有常数项的线性投影预测，即：EXf)=Pl,X,)4.1.3 线性投影的性质根据线性投影的定义，我们能够求出投影的系数向量：E(XEX；)=aE(X,X；)假如E(X,X：)是可逆的，则有：al=E(Yt)E(X,X;)命题4.1线性预测满足下述性质：(I)最优线性预测的均方误差为：MSE=E(Yl+l)2-E(Yl+lX；)(X,X；)-E(X,Y,+l)(2)线性投影满足线性平移性质：P(aYl+bXl)=a
6、P(YlXl)+b证明：(1)根据投影向量的表达式，能够得到：MSE=E(Yl+l-a,Xl)2=E(Yl+l)2-2E(Yt+lXME(X,X；)-E(XlYl+l)+凤匕+X；)E(X,X；)TE(X,X；)E(XjT)化筒就能够得到命题表达式。(2)需要证明户(匕+JX,)+。是。匕+1+6的线性投影。显然，它是线性函数，其次，能够证明它满足正交性质。End4.1.4 线性投影与普通最小二乘回归线性投影与最小二乘估计紧密有关，这两种概念之间存在联系。比如，将Xx基于覆建立线性回归方程，得到：+=xt+关于给定Kx与再的7个样本，样本残差平方与定义为：(H+1-夕天)2r三l使得残差平方与
7、达到最小的系数最小二乘估计为：=xf)-,lx,y,+1)r=lr=l假如过程是协方差平稳过程且关于二阶矩是遍历的，则有：；+X,X；-jE(X,X；)/-1占“一LE(,L)1/-I因此上述OLS估计按概率收敛到线性投膨系数：b-a4.1.5 向量预测上述结果能够推广到利用1X1维向量Xr预测Xl维向量匕+记为：AX,)=X三口，其中优为投影系数的个X，阶矩阵，满足正交条件：E(aX,)XJ=0上式说明预测误差(Yt+l-Y,+lu)的每一个分量与条件变量X,的每一个分量都无关。命题4.2假设着W是y川的最小均方误差线性预测，则对任意LI的线性组合Z-=L+,它的最小均方误差线性预测为：即=
8、*+lr证明：只需证明是线性投影即可，这时需要验证相应的正交性。End类似地，投影矩阵为：a=E(YX)EX,Xt,)与此对应的均方误差矩阵为：MSE三EY,-a,XlYl-a,Xl,=E%.占G-E(X+H；)E(X,X；)TE(XX+l)4.2 基于无限个观测值的预测不管是条件期望预测还是正交线性预测，都是基于有限个条件变量的，下面我们分析基于无限个观测值情形下的预测。4.2.1 基于滞后误差的预测考察一个无限阶移动平均过程AM(QO)：Y1=+(L)t,(D=q+xL-v2L+,Zl匕|-o假设已经明白过去所有的时候间阶段的残差观测值,-2,，也明白模型中各类参数的值。现在我们要预测S个
9、阶段以后的匕+$,根据模型它应该是：匕+$=+%+7+7+%+WgET+-对此最优线性预测形式为：百匕“，小,=+%,+%“*+a+2l-2+这个预测值的对应误差为：ZX-瓦匕J%，/T，=+遇+%T%这个预测值的均方误差为：EY,+s-EY,+te,tt,i，-2三(l+r2+j+)2例4.1试求MA(g)过程的坡优线性预测。解：M4(q)过程为：Yl=+0(L)l,(L)=0o+OiL+2l+qV则它的最优线性预测为：百匕+,=+仇+Rt+-+，s=12,q，s=g+l,q+2,对应的均方误差为：2,S=IMSE=(I+”+呢+*炉，s=2,3,q(1+纤+毋+)2,S=g+l,g+2,上
10、述预测具有清晰的含义，在时间间隔夕以后，使用过程的均值进行预测，而方差是过程的无条件方差。4.2.2 基于滞后V的预测通常情况下，我们仅仅能够观察到Y的值，为此假设移动平均过程具有可逆表示:-匕-)=l其中：400=%+7L+%U+，0=1,7-/)-最后，能够得到给定匕，Zt,条件下的预测公式为:瓦匕,I匕匕T】=+*3)(匕-M;批注微软用户H: w-k公式或者者：百匕+/，九,=+上述公式也被称之Wiener-Kolmogorov预测公it上述公式当中的算子是截断形式的算子表达式，算子表达式中将滞后算子的负指数项省略。4.2.3预测一个4?过程关于一个平稳的4?(1)过程，能够将算子多项
11、式表示成为:(L)=-；+L+2L7+3L3+-L1=+L+212+.=_利用上述公式，能够得到S阶段后的最优线性预测为：自匕+,Z,=4+770lx匕一)1 -L=+夕(匕-)上述预测公式说明，随着预测阶段的增加，预测值将趋于长期均值。对应的预测误差为：MSE=+2+4+2fl-2随着预测阶段的增加，预测误差也趋于无条件方差2(l-。2)。1.4.4 预测一个用?()过程关于一个平稳的AR(P)过程，能够利用WiCnCr-KolmOgOroV预测公式进行预测。该公式的要紧特点在于：它能够利用过去的过程观测值与未来的残差值表示预测值，然后未来的残差值利用期望去掉。Z+s-=.守(匕一)+7(匕
12、-1-)+力；(Z-M-M+，+,+VG%+Z+材2号+.2+.+%,-1与+1其中67表示矩阵?中第，行、第/列元素，矩阵尸为：。2内p-p100-O0F=Olo0000010这时S阶段的最优预测为：Z+巾=+F(Z-M+)(ZT-M+力7(匕-川-M显然上述预测是均值基础上加上观测值的一个线性组合，是观测值的线性函数。相应的预测误差为：匕+s-匕+小=与+向+I+%J+a2+.+%-向+1下面我们给出具体的预测推导过程：(1)进行1个时期的预测，它满足：Z+1U-=优(Z-)+。式匕-1-)+%(Z-p+l-)(2)将时间开始阶段换为f+l,得到：Z+2,+l-4=0(Z+l-)+。2(匕+%(Z-p+2根据多重投影定理断言，假如匕+2的，+1期预测是，期信息的投影，则该预测也是r期进行的最优线性预测，则有：+2-P(Z+W-M+。2(匕-M+如Xt-p+2-)将1期预测代入得到：Z+2,-=知血化-)+。2(K-1-M+。P(Z3-)+。式匕-)+%(匕-p+2-M=(12+lX匕一)+S-+我XZT-M+p-+。P)(Z-P+2)+血外(Z-*)(3)加?(P)过程的前S期预
