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1、3.13.1平行四边形平行四边形三角形的中位线及性质三角形的中位线及性质证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(已知已知),结论结论(求证求证);(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;(3)结合图形结合图形,用符号语言写出用符号语言写出“已知已知”和和“求求证证”;(4)分析题意分析题意,探索证明思路探索证明思路(由由“因因”导导“果果”,执执“果果”索索“因因”.);(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确,完善完善.
2、回顾反思回顾反思w定理定理:平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等.w证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.BDCA四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.AB=CD,BC=DA.w定理定理:平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等.四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.A=C,B=D.u定理定理:平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分.四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.CO=AO,BO=DO.BDCAOu定理定理:夹在两条平等线间的平行线段相等夹在两条平等线间的平行线段相等.MNPQ,ABCD,AB=CD.BDCAMNPQ平行四
3、边形性质平行四边形性质w定理定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形.w定理定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.wAB=CD,AD=BC,w四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形BDCABDCAOwABCD,AB=CD,w四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.wAO=CO,BO=DO,w四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形
4、.wA=C,B=D.w四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.平行四边形判定平行四边形判定w定理定理:等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形同一底上的两个角相等.w定理定理:等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等.w在梯形在梯形ABCD中中,ADBC,wAB=DC,wAC=DB.w在梯形在梯形ABCD中中,ADBC,wAB=DC,wA=D,B=C.BDCABDCAw证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.等腰梯形性质等腰梯形性质定理定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.在梯形在梯形ABCD中中,ADBC,A=D或或B=
5、C,AB=DC.定理定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形两条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形在梯形ABCD中中,ADBC,AC=DB.AB=DC.BDCABDCAw证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.等腰梯形的判断等腰梯形的判断w你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?w连接每两边的中点连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形看看得到了什么样的图形?w四个全等的三角形四个全等的三角形.w请你设法验证请你设法验证.连接三角形两边中点的线段连接三角形两边中点的线段叫做叫做三角形的中位线三角形的中位线.猜一猜猜一猜,三角形中位线
6、有什么性质三角形中位线有什么性质?BCADEF想一想想一想w定理定理:三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半且等于第三边的一半.已知已知:如图如图,DE是是ABC的中位线的中位线.w分析分析:要证明线段的倍分关系要证明线段的倍分关系,可将可将DE加倍加倍后证明与后证明与BC相等相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系从而转化为证明平行四边形的对边的关系于是可作辅助线于是可作辅助线,利用全等三角形来利用全等三角形来证明相应的边相等证明相应的边相等.证明证明:如图如图,延长延长DE至至F,使使EF=DE,连接连接CF.AE=CE,AED=CEF,ADE CFE(
7、SAS).DEBCA.21BCDE求证求证:DEBC,F(一组对边平等且相等的四一组对边平等且相等的四边形是平行四边形边形是平行四边形.)引入新知引入新知AD=CF,ADE=F.BDCF.BD=CF.AD=BD,四边形四边形DBCF是平行四边形是平行四边形.DFBC,DF=BC.21BCDE DEBC,引入新知引入新知w利用利用定理定理“三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半且等于第三边的一半”,请你证明下面分割出请你证明下面分割出的四个小三角形全等的四个小三角形全等.w分析分析:利用三角形中位线性质利用三角形中位线性质,可可转化用转化用(SSS)来证明三角形
8、全等来证明三角形全等.已知已知:如图如图,D,E,F分别是分别是ABC各边的中点各边的中点.求证求证:ADE DBF EFC FED.证明证明:D,E,F分别是分别是ABC各边的中点各边的中点.(三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半且等于第三边的一半).ADE DBF EFC FED(SSS).BCADEF.FCBFDE.DBADEF.EACEFD三角形中位线性质三角形中位线性质w如图如图,四边形四边形ABCD四边的中点分别为四边的中点分别为E,F,G,H,四边形四边形EFGH是是怎样四边形怎样四边形?你的结论对所有的四边形你的结论对所有的四边形ABCD都成
9、立吗都成立吗?四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形,结论对所有的四边形结论对所有的四边形ABCD都成立都成立.求证求证:四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形.w分析分析:将四边形将四边形ABCD分割为三角形分割为三角形,利用三角形的中位线利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.证明证明:连接连接AC.E,F,G,H分别为各边的中点分别为各边的中点,四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形.ABCHDEFG已知已知:如图如图,在四边形在四边形ABCD中中,E,F,G,H分别为各边的中点分别为各边的中点
10、.21ACEF EFAC,HGAC,.21ACHG 三角形中位线性质三角形中位线性质已知已知:如图如图,A,B两地被池塘隔两地被池塘隔开开,在没有任何测量工具的情在没有任何测量工具的情况下况下,有通过学习方法估测出有通过学习方法估测出了了A,B两地之间的距离两地之间的距离:先在先在AB外选一点外选一点C,然后步测出然后步测出AC,BC的中点的中点M,N,并测出并测出MN的长的长,由此他就知道了由此他就知道了A,B间的间的距离距离.你能说出其中的道理吗你能说出其中的道理吗?CMBAN动手做一做动手做一做w定理定理:三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边且等于第三边的一
11、半的一半.w这个这个定理定理提供了证明线段平行提供了证明线段平行,和线和线段成倍分关系的根据段成倍分关系的根据.模型模型:连接任意四边形各边中点连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形所成的四边形是平行四边形.要重视这个要重视这个模型模型的证明过程反映出来的的证明过程反映出来的规律规律:对角线的关系是关键对角线的关系是关键.改变四边形改变四边形的形状后的形状后,对角线具有的关系对角线具有的关系(对角线相对角线相等等,对角线垂直对角线垂直,对角线相等且垂直对角线相等且垂直)决定决定了各中点所成四边形的形状了各中点所成四边形的形状.wDE是是ABC的中位的中位,DEBCA.21BCDE DEBC,ABCHDEFG三角形中位线性质三角形中位线性质
