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1、空间空间“综合综合”问题问题复习引入复习引入如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余所成的角的余弦值弦值(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值OABCSxyz【课后作业】【课后作业】zxyF1 1F2 2F3 3ACBO500kg例例1、如图、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 ，在它的顶点处分别受力在它的顶点处分别受力 、，每个力与同它相邻的，每个力
2、与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是三角形的两边之间的夹角都是 ，且，且 .这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？为多大时，才能提起这块钢板？500kg1F 2F 3F 60 123200FFFkg F1 1F3 3F2 2F1 1F2 2F3 3ACBO500kgF1 1F3 3F2 2例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形，侧棱形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的中点，的中点，作作EFPB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA/平
3、面平面EDB(2)求证：求证：PB平面平面EFD(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF FABCDP PE EF FXYZG解：如图所示建立空间直角坐标系，点解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，为坐标原点，设设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0,)2 2APE依依题题意意得得)021,21(，的坐标为故点是此正方形的中心，所以点是正方形，因为底面GGABCDABCDP PE EF FXYZG)21,0,21(),1,0,1(EGPA且EGPAEGPA/2，即所以ED
4、BPAEDBEG平面且平面而,EDBPA 平面所以，/(2)求证：求证：PB平面平面EFDABCDP PE EF FXYZ)1,1,1(),0,1,1(2PBB）证明：依题意得（021210),21,21,0(DEPBDE故又DEPB 所以,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF FXYZ的平面角。是二面角故）可知由（）解：已知（DPBCEFDDFPBEFPB,2,3)1,(),(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF 因为(,1)(1,1,1)(,)x y zkk kk所所以以kzkykx1,即0DFPB因为0
5、131)1,()1,1,1(kkkkkkk所以31k所以)323131(，的坐标为点F)21,21,0(的坐标为又点E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因为.60,60的大小为即二面角所以DPBCEFD 1如图 3-5，已知两条异面直线所成的角为，在直线 a、b 上分别取 E、F，已知 AE=m，AF=n，EF=l，求公垂线 A A的长 d.EFEAA AAF 解：22()EFEAA AAF 2222()EAA AAFEA A AEA AFA A AF 当当E,F在公垂线同一侧时取负号在公垂线同一侧时取负号当当d
6、等于等于0是即为是即为“余弦定理余弦定理”,AAEA AAAF =（或（或），），AFEA,22222lEAA AAFEA AF 2222cosmdnmn 2222cosdlmnmn nabCDABCD为为a,b的公垂线的公垂线则则|nABnCD A，B分别在直线分别在直线a,b上上已知已知a,b是异面直线，是异面直线，n为为 的的法向量法向量异面直线间的距离异面直线间的距离 即即 间的距离可转化为向量间的距离可转化为向量 在在n上的射影长，上的射影长，21,llCD111101.4,2,90,ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB例已知：直三棱柱的侧棱底面中为的中点。求与的距离。
7、zxyABCC1).4,2,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,0,0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系),4,2,2(),0,1,1(1BAEC则的公垂线的方向向量为设).,(,1zyxnBAEC001BAnECn即即04220zyxyx取x=1,则y=-1,z=1,所以)1,1,1(n).0,0,1(,ACAC在两直线上各取点.332|1nACndBAEC的距离与EA1B1xyzABCDE2、如图，四面体、如图，四面体DABC中，中，AB，BC，BD两两垂直，两两垂直，且且AB=BC=2，点，点E是是AC中点；异面直线中点；异面直线AD与与BE所成所成角为角为 ，且，且 ，
8、求四面体，求四面体DABC的体积。的体积。10cos103、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面且平面ABCD与平面与平面ABEF互相垂直。活动弹子互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线分别在正方形对角线AC和和BF上移动，且上移动，且CM和和BN的的长度保持相等，记长度保持相等，记CM=BN=（1）求）求MN的长；的长；（2）a 为何值时？为何值时？MN的长最小？的长最小？（3）当）当MN的长最小时，的长最小时，求面求面MNA与面与面MNB所成所成二面角的余弦值。二面角的余弦值。(02).aaABCDEFMNa 4、如图、如图6，在
9、棱长为，在棱长为 的正方体的正方体 中，中，分别是棱分别是棱AB,BC上的动点，且上的动点，且 。（1）求证：）求证：；（2）当三棱锥）当三棱锥 的体积取最大值时，求二的体积取最大值时，求二面角面角 的正切值。的正切值。CBAOOABC BFAE ECFA BEFB BEFB FE、OCBAOAB CEF图图6OCBAOAB CEF图图65、如图，平行六面体、如图，平行六面体 中，底面中，底面ABCD是边长是边长为为a的正方形，侧棱的正方形，侧棱 的长为的长为b,且且求求（1）的长；的长；（2）直线）直线 与与AC夹角的余弦值。夹角的余弦值。ABCDA B C D AA0120.A ABA AD ACBDABCDABCD
