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1、3.1.33.1.3空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算平面向量数量积的相关知识平面向量数量积的相关知识复习：复习：平面向量的夹角：平面向量的夹角：AOBAB叫做向量叫做向量 a与与 b的夹角。的夹角。已知两个非零向量已知两个非零向量 a 和和 b，在平面上取一点在平面上取一点O，作作OA=a,OB=b,则则AOB平面向量的数量积的定义：平面向量的数量积的定义：平面向量的数量积平面向量的数量积已知两个非零向量已知两个非零向量a,b，则，则|a|b|cos叫做向量叫做向量a,b的数量积，记作的数量积，记作ba即即cos|baba并规定并规定 0 0a你能类比平面向量的数量积的有关概你能类比平
2、面向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律推导出空间向念、计算方法和运算律推导出空间向量的数量积的有关概念、计算方法和量的数量积的有关概念、计算方法和运算律运算律概念概念1 1）两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义abbaba,0被唯一确定了，并且量的夹角就在这个规定下，两个向范围：bababa互相垂直，并记作：与则称如果,2,babaAOBbOBaOAOba,.,记作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向O OA AB Baabb2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注意：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任
3、意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。babababababababaaaOAaOA,cos,cos,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个向量记作：的长度或模的长度叫做向量则有向线段设3)3)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 aaababaeaaea2)30)2,cos)1注意：注意：性质性质2 2）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；性质性质3 3）是求向量的长度（模）的依据；）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：,ab4)4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 注意：注意：分配律）交换律）()(
4、3()2)()()1cabacbaabbababa数量积不满足结合律数量积不满足结合律)()cbacba（思考思考1.下列命题成立吗?若 ,则若 ,则a ba c bc kab a bk ()()a bcab c 135 应用由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借助向量的数量积运算来解决助向量的数量积运算来解决.(1)空间中的两条直线空间中的两条直线(特别是异面直线特别是异面直线)的夹角的夹角,可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的可以通过求出这两条直线所对应的两个向量
5、的夹角而获得夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便对于两条直线的判断更为方便.(2)空间中的距离空间中的距离,即两点所对应的向量的模即两点所对应的向量的模.因因此空间中的两点间的距离或线段的长度此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以可以通过求向量的模得到通过求向量的模得到.典型例题典型例题例例1 在平面内的一条直线在平面内的一条直线,如果和这个平面的一如果和这个平面的一条斜线的射影垂直条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直那么它也和这条斜线垂直.P O A la 分析分析：用向量来证明：用向量来证明两直线垂直，只需证两直线垂直，只需证明两直线的方向向量明两直线的方向向量的数量积为零即可！的
6、数量积为零即可！证明：证明：如图如图,已知已知:,POAOllOA射射影影且且求证：求证：lPA 在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl 即即PA.PA.为为 P O A la 0,0a POa OA 逆命题成立吗?P O A la 分析分析:同样可用向量同样可用向量,证明思路几乎一样证明思路几乎一样,只只不过其中的加法运算不过其中的加法运算用减法运算来分析用减法运算来分析.变式变式设设A、B、C、D是空间不共面的四点是空间不共面的四点,且满足且满足则则BCD是是 ()A.钝角三角形钝角三角形 B.直角三角形直角三角形
7、C.锐角三角形锐角三角形 D.不确定不确定0,0,0AB ACAB ADAC AD C C分析：分析：要证明一条直线与一个平面要证明一条直线与一个平面垂直垂直,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直.例例2:(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.lll lmngm g m l 取已知平面内的任一条直线取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的
8、方拿相关直线的方向向量来分析向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件看条件可以转化为向量的什么条件?要要证的目标可以转化为向量的什么目标证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量怎样建立向量的条件与向量的目标的联系的条件与向量的目标的联系?共面向量定理共面向量定理lmngn g m l,gxmyn ,l gxl myl n 0,0,l ml m 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线.解解:在在 内作不与内作不与m,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m,n,l
9、 m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 (,)x y例例2:已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.lll 例例3 如图，已知线段在平面如图，已知线段在平面 内，线段内，线段，线段，线段，线段，线段，如，如果，求、之间的距离。果，求、之间的距离。AC BDAB DD 30DBD,ABaACBDbCDAB 解：由，可知解：由，可知.由由 知知 .AC ACAB 30DBD,120CABD 22222222222|()|2222cos120CDCD CDCAABBDCAABBDCA AB
10、CA BDAB BDbabbab 22CDabbab CABDD课堂练习ABA1C1B1C1.如图如图,在正三棱柱在正三棱柱ABC-A1B1C1中中,若若AB=BB1,则则AB1与与C1B所成角所成角的大小为的大小为()A.B.C.D.2105 75 90 60 2.已知在平行六面体中，已知在平行六面体中，,求对角线的长。求对角线的长。ABCDABCD 4AB 3,5,90,60ADAABADBAADAA AC DCBDABCAB|85AC 小小 结：结：通过学习通过学习,我们可以利用向量数量积解决立体几何中我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：的以下问题：1 1、证明两直线垂直、证明两直线垂直;2 2、求两点之间的距离或线段长度、求两点之间的距离或线段长度;3 3、求两直线所成角、求两直线所成角.作业P98 A组 3 4 5 B组 1 2
