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1、3.4.2基本不等式的应用基本不等式的应用 学问是苦根上长出来的甜果学问是苦根上长出来的甜果abba21.定理定理 如果a,b是正数,那么(当且仅当ba 时取“=”).P(当且仅当ba 时取“=”).ba 时取“=”).(当且仅当ba 时取“=”).ba 时取“=”).(当且仅当ba 时取“=”).abba2(当且仅当ba 时取“=”).1.定理定理 如果a,b是正数,那么abba2(当且仅当ba 时取“=”).复复习习214S214S例例1 1、已知：已知：0 0 x x31，求函数求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值利用二次函数求某一区间的最值利用二次函数求某一区间的最
2、值分析一、分析一、原函数式可化为：原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、分析二、挖掘隐含条件挖掘隐含条件即即x=x=61时时 y ymaxmax=1213x+1-3x=13x+1-3x=1为定值，且为定值，且0 0 x x31则则1-3x1-3x0 0；0 0 x x31，1-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x）2)2313(31xx121当且仅当当且仅当 3x=1-3x3x=1-3x 可用均值不等式法可用均值不等式法:解解:已知：已知：0 0 x x81 ，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值解：解：1210 0
3、 xx811-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x）2)2313(31xx121maxy如此解答行吗？如此解答行吗？上题中只将条件改为上题中只将条件改为0 x 0，y 0，191xy求求x+y的最小值。的最小值。1下列结论中，错用算术平均值与几何下列结论中，错用算术平均值与几何平均值不等式作依据的是（平均值不等式作依据的是（）（A）x，y均为正数，则均为正数，则 （B）a为正数，则为正数，则 （C）lgx+logx102，其中，其中x1 （D）2xyyx21()()42aaaa22221xxB2若若ab0，则下列不等式正确的是（，则下列不等式正确的
4、是（）（A）（B）（C）（D）22abababab22abababab22abababab22ababababC3若若a，bR，且，且ab，在下列式子中，在下列式子中，恒成立的个数是（恒成立的个数是（）a2+3ab2b2；a5+b5a3b2+a2b3；a2+b22(ab1)；（A）4 （B）3 （C）2 （D）12abbaD4设设a，b，c是区间是区间(0，1)内三个互不相等内三个互不相等的实数，且满足的实数，且满足 ，,，则，则p，q，r的大小关系是（的大小关系是（）（A）qpr （B）qpr （C）rqp （D）qrb0，则，则 为（为（）（A）（B）（C）（D）(,)2abMb(,)Na
5、b aUMN(,bab(,)2abab(,)(,)2aba(,)2abbA6在下列函数中，最小值是在下列函数中，最小值是2的函数为的函数为（）（A）（B）（C）（D）5,(,0)5xyxRxx且1lg(110)lgyxxx33()xxyxR1sin(0)sin2yxxxC7 设设x，yR，且，且x+y=5，则，则3x+3y的最的最小值是（小值是（）（A）10 （B）6 （C）4 （D）18336D8已知已知x1，y1，且，且lgx+lgy=4，那么，那么lgxlgy的最大值是（的最大值是（）（A）2 （B）（C）（D）42141D例题例题3:.21,:2dd这个正方形的面积等于大的为正方形面积
6、最的圆的内接矩形中在直径为求证dx22,xdx则另一边长为设矩形的一边长为如图证明一证明一)(22222xdxxdxS面积2222221)2(dxdx.22,222时等号成立当且仅当dxxdx.21,2d其最大面积为时即当这个矩形为正方形.21,:2dd这个正方形的面积等于大的为正方形面积最的圆的内接矩形中在直径为求证证法二证法二dcossin,dd和则矩形的两边分别为角为设矩形一边与直径的夹如图cossinddS矩形的面积,2sin21cossin22122dd2max21,4,12sindS时当且仅当.21,2d其最大面积为时即当这个矩形为正方形.21,:2dd这个正方形的面积等于大的为正
7、方形面积最的圆的内接矩形中在直径为求证.,222xySdyxyx面积则设矩形的边长为如图证法三证法三2max21,dSyx 时当且仅当.21,2d其最大面积为时即当这个矩形为正方形dxy,222xyyx222212dyxxyS 3.某种汽车，购车费用是某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是万元，年维修费第一年是0.2万万元元,以后逐年增加以后逐年增加0.2万元，问这汽车使用多少年时，它万元，问这汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？的年平均费用最少？1 1、设、设 且且a+b=3,a+b=3,求求a ab b的最小值的最小值_。Rba,242、求函数、求函数f(x)=x2(4-x2)(0 x0)的最大值为的最大值为 .2、建造一个容积为、建造一个容积为18m3,深为深为2m的长方形无盖的长方形无盖水池，如果池底和池壁每水池，如果池底和池壁每m2 的造价为的造价为200元和元和150元，那么池的最低造价为元，那么池的最低造价为 元元.3、教材习题、教材习题3.4 P100 B1、221y xx作业作业
