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1、3.4基本不等式习题课【基础训练】【基础训练】1.下列函数中，最小值为下列函数中，最小值为4的是的是_.xxxy0sin4sin-xxeey 4103loglog3xxyxxxy42.若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_.9,+)解：ab=a+b+332ab032abab)(13舍去或abab9ab3.如果log3m+log3n4,那么m+n的最小值为_.18解：由题意log3mn 4从而mn 81188122mnnm4.已知 ，则 的最小值_.0,0yx)41)(yxyx9解：942545xyyx原式例例1：已知已知 ，,求求x+y的最小值。的最小值。0,0yx152yx取
2、等条取等条件不同件不同102xy1042xyyx误解误解：由：由得得 而而xyyxyx102522152【典例解析】【典例解析】题型一：利用不等式求最值题型一：利用不等式求最值正解正解：当且仅当当且仅当 时取等号时取等号yxxy525522yxxy1027 yxxy 5227)52)(1)(yxyxyx变式变式1：x0,y0 且且2x-8y-xy=0,求求x+y的最小值。的最小值。解法一解法一：由题意得：由题意得2x+8y=xy)82)(xyyxyx则1082xyyx1816210182xy0,0 yx例2：已知x1，求x 的最小值以及取得最小值时x的值。11x当且仅当x1 时取“”号。于是x
3、2或者x0（舍去）11x构造积为定值构造积为定值解解：x1 x10 x （x1）1 )1(1x11x311112xx变式变式1：x0,y0 且且2x-8y-xy=0,求求x+y的最小值。的最小值。解法二解法二：由题意得：由题意得8082xyxxy82xxxyx则816)8(2xxx181621010816)8(xx变式2：设函数 ，则函数f(x)的最大值为_)0(112)(xxxxf解解：,22)1()2(,0 xxx,2212xx.122112)(xxxf时取等号。即当且仅当2212xxx负变正负变正题型二：利用不等式解应用题题型二：利用不等式解应用题（）解解：（1）xxxy)2642(5.
4、0100L5.1100 xxy即即0 x探究拓展：探究拓展：（1）解应用题时，一定要注意变量的实际）解应用题时，一定要注意变量的实际意义，也就是其取值范围。意义，也就是其取值范围。（2）在求函数最值时，除应用基本不等式）在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到外，有时会出现基本不等式取不到“=”，此时应考虑函数的单调性。此时应考虑函数的单调性。（2）由均值不等式得5.215.110025.1100 xxxxy当且仅当 ，即x=10时取等号xx100题型三：不等式的证明题型三：不等式的证明 例例4：已知：已知 求证：求证：1,0,0baba9)11)(11(ba思维点拨：思
5、维点拨：由于不等式左边含字母由于不等式左边含字母a,b右边无字母，直接使用基本不等右边无字母，直接使用基本不等式既无法约掉字母，不等号方向又式既无法约掉字母，不等号方向又不对，因不对，因a+b=1，能否把左边展开，能否把左边展开，实行实行“1”的代换。的代换。证：证：abba21由4141abab从而得abbaba1111)11)(11(ababba11921ab当且仅当当且仅当 时取等号时取等号21 ba变式变式3：已知已知 ，求证：，求证：1,0,0,0cbacba9111cba证：证：当且仅当时当且仅当时 取等号取等号31cbaccbabcbaacbacba111111cbcabcbaa
6、cab92223cbbccaacbaab【走近高考走近高考】1.（08年江苏卷）设年江苏卷）设x,y,z为正实数，满为正实数，满足足 ，则，则 的最小值是的最小值是_ 032zyxxzy2 解解：由由 得得代入代入 得得当且仅当当且仅当x=3z时取等号时取等号032zyx23zxy346646922xzxzxzxzxzzxxzy22.（06年上海卷年上海卷）若若a,b,c0且且a(a+b+c)+bc=,则则2a+b+c的最的最小值为小值为_324解解：)13(22)13(2)13(23242)(2)()(2)()(22cbacabacabacbacababcacababccbaa4.（08年重庆卷）若a是1+2b与1-2b的等比中项，则 的最大值为_|2|2baab解解：a是是1+2b与与1-2b的等比中项，的等比中项，则则 22221 4414|.ababab 1|.4ab2224(|2|)4|1.ababab2222|4()|2|14|14|14|abababababababab2244411()(2)4|ababab11|4,4|abab242max.|2|324abab
