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1、1.5 1.5 独立试验概型独立试验概型 二项概率公式二项概率公式1.5 1.5 独立试验概型独立试验概型 二项概率公式二项概率公式 在随机试验中，经常会碰到这样一类试验，每次试验的可能结果为有限个，且各次试验的就是在相同条件下重复进行 次的试验，n结果互不影响，此 次试验显然是相互独立.n这种概率模型称作 重独立试验。特别地，n当每次试验只有两次结果 和 ，且AApAP)(时，称为 重伯努利试验，)10(1)(ppAPn每次摸出一个，观察摸出球的颜色后再放回回的摸球，而且每次摸到的球或为红色或为努利概型.也可称为 重伯努利概型，它是一种很重要n的具有广泛应用的概率模型.比如从装有 3个红球、
2、个白球的口袋中有放回的摸球，4口袋重新摸球.如此重复 次，因为是有放n白色，只有两种可能的结果，显然为 重伯n恰好发生 次的概率可归结为以下定理.k 一般地，在 重伯努利试验中，事件 nA 定理定理 1 1 在伯努利试验中，事件 在 nA次试验中恰好发生 次的概率为k,)1(),;(knkknppCpnkb.,2,1,0nk件 发生，而其余 次试验中事件 不发AAkn生”，表示事件“在第 次试验中 发生”，则iAAi 证明证明 设 表示事件“在前 次试验中事kB,11nkkAAAAB事件 的概率为BknknkkppAAAAPBP)1()()(11易见，次试验中“在某 次 发生，而其余knA 次
3、 未发生”的概率与到底在哪 次发knAk生无关，都等于 ，而事件 发生knkpp)1(A在某 次共有 种不同的选择，故 次试验knknC中事件 恰好发生 次的概率为Ak,)1(),;(knkKnppCpnkb.,2,1,0nk该公式正好与 的二项展开式中第 npp)1(发生 次的概率为k 类似可得 重伯努利试验中事件 至少nAnkiiniinppC)1(项完全相同，故有时又称之为参数为 1kn和 的二项概率公式.p样品中恰好有三件次品及至多有三件次品的重复抽样，共抽取五件样品，分别计算这五件概率.由已知，利用二项概率公式可得恰好有三件中恰好由零件、一件、两件、三件次品事件，次品的概率 解解 设
4、 、分别表示五件样品0A1A2A3A 例例1 1 一批产品中有 的次品，现进行%20至多有三件次品的概率为 定理定理2 2（二项分布的Poisson逼近）在 ,0512.0)2.01()2.0()(23353 CAP305530,9933.0)8.0()2.0(iiiiiiCAP验中发生的概率，它与 有关，如果n重伯努利试验中，以 代表事件 在一次试Anp则)0(limnnnp证明过程用到微积分学中重要极限公式.在.!)1(limekppCkknnknknn 证明证明 记,nnnpknnknknnknknnnkknnnppC1!)1()1(1)(knnknnnknk11111!,!ekk.n以
5、利用下面的近似公式：例例2 2 自某工厂的产品中进行重复抽样检件废品，问能否相信该工厂产品废品率不超实际问题中当 相当小，而 比较大时，可np.!)()1()(npkknkkneknpppC查，共取 件样品，检查结果发现其中有2004过？005.0 根据人们在长期实践中总结出来的一条概率的实际不可能原理）.现在，可以认为几乎是不可能发生的（概率论中称之为小原理：概率很小的事件在一次试验中实际上易算得 件产品中出现 件废品的概率为2004 解解 假设该工厂产品废品率为 ，容005.0.015.0995.0005.0)005.0,200;4(19644200 Cb当工厂产品废品率为 时，抽检 件产200005.0在一次试验中就发生了，因此有理由怀疑假是不可信的.利用Poisson逼近可见与前面计算结果符合的比较好.品出现 件废品是一概率很小的事件，而它4定的正确性，即工厂产品废品率不超过005.0 由于 相当小,而 比较大，005.0p200n.0153.0!4!995.0005.0119644200eeknpCnpk
