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1、1 我们前面已经知道我们前面已经知道:解析函数的实部和虚部解析函数的实部和虚部不是互相独立的；解析函数有任意阶导数不是互相独立的；解析函数有任意阶导数.本节利用这些重要结论研究解析函数与调和本节利用这些重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系函数之间的关系.),(0:),(2222内内的的调调和和函函数数为为区区域域则则称称方方程程续续偏偏导导数数且且满满足足内内具具有有二二阶阶连连在在若若二二元元实实变变函函数数DyxyxLaplaceDyx 定义定义22、解析与调和的关系解析与调和的关系.93),(123的的调调和和函函数数平平面面上上是是验验证证例例zxyxyxu .93),(23有有二
2、二阶阶连连续续偏偏导导数数平平面面上上在在显显然然解解：zxyxyxu ;6,6,6,3322xuxuxyuyxuyyxxyx 又又.),(平平面面上上的的调调和和函函数数是是所所以以zyxu.,),(),()(内内的的调调和和函函数数是是，则则内内解解析析在在区区域域若若DvuDyxivyxuzf 定理定理3证明：证明：设设f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则,xvyuyvxuRC 方方程程由由.,222222yxvyuxyvxu 从从而而有有.),(),(,22xyvyxvyxvyxu ，从从而而具具有有任任意意阶阶的的连连续续导导数数于于是是理理由由
3、解解析析函函数数高高阶阶导导数数定定,0 D2222 yuxu内有内有故在故在.02222 yvxv 同理有同理有4.内内的的调调和和函函数数是是，Dvu内内解解析析吗吗？在在问问内内的的调调和和函函数数，是是，一一个个有有趣趣的的问问题题是是：DivuzfDvu )(处处处处不不解解析析！平平面面上上在在调调和和函函数数，但但是是平平面面上上的的它它们们是是，例例如如，令令zivuzfzyvxu )(,.),(),(D,),(的的共共轭轭调调和和函函数数为为函函数数内内构构成成解解析析函函数数的的调调和和在在称称使使得得内内的的调调和和函函数数为为设设yxuyxvivuDyxu 定义定义5.
4、),(),(),(),()(的的共共轭轭调调和和函函数数必必为为内内在在内内解解析析在在yxuuyxvDDyxivyxuzf .,),(),()(成成立立且且满满足足为为调调和和函函数数内内在在内内解解析析在在RCvuDDyxivyxuzf 3、构造解析函数构造解析函数.)(),(),(ivuzfyxvRCyxu 解解析析函函数数从从而而构构成成程程可可求求得得共共轭轭调调和和函函数数方方利利用用已已知知一一个个调调和和函函数数),(yxv),(yxu6,0,),(,2222 yuxuDyxuD则则函函数数内内的的调调和和是是区区域域一一单单连连通通区区域域设设.内内有有连连续续一一阶阶偏偏导
5、导数数在在、即即Dxuyu dyxudxyudyyvdxxvxuxyuy ),()(且且),(yxdvv )1(.),(),(),(00cdyxudxyuyxvyxyx 7.,内内解解析析在在方方程程满满足足DivuRCxuyvyuxv .)(,)1(,内内解解析析在在使使得得求求可可以以利利用用公公式式这这样样，已已知知调调和和函函数数Divuzfvu .)(,)2(,内内解解析析在在使使得得求求可可用用下下面面公公式式类类似似地地，已已知知调调和和函函数数Divuzfuv )2(.),(),(),(00cdyxvdxyvyxuyxyx 8).(,222zfuyxyxu解解析析函函数数为为实
6、实部部的的求求以以设设 例例2,)22()22(,22,22dyyxdxxydyvdxvdvyxuvyxuvyxxyyx 解解.2)22(2)22()22(),(220),()0,0(cyxyxcdyyxxdxcdyyxdxxyyxvyxoyx 9.)1()2()2()(22222iczicyxyxixyyxzf 故故),(2222xyxyvyxvy .)1()(2cziivuzf 另解另解,22)(2xyxyvx 又又.)(2cxx .2),(22cyxyxyxv ,2)(xx 10)22()22()(yxiyxiuuivuzfyxxx 另解另解 .12zi .)1()(2czizf .0)
7、0(,)(,236)1(3223 fivuzfyxyyxxu使使得得求求解解析析函函数数设设练练习习题题：.)(,2)2(22ivuzfvuxyyxvu 并并求求解解析析函函数数，和和求求设设.)()2(2Czzf 提提示示：11 本章内容小结：本章内容小结：1 1、复积分的概念、性质及基本计算方法、复积分的概念、性质及基本计算方法 参数方程法参数方程法.3 3、调和函数，解析与调和的关系，共轭调和函数的、调和函数，解析与调和的关系，共轭调和函数的 求法求法.2 2、柯西、柯西-古萨基本定理，闭路变形原理，复合闭古萨基本定理，闭路变形原理，复合闭 路定理，柯西积分公式，高阶导数公式路定理，柯西积分公式，高阶导数公式.
