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1、1 时间序列分析模型简介时间序列分析模型简介 2 长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测【CUMCM 2005A】一、问题分析一、问题分析二、模型假设二、模型假设 三、模型建立三、模型建立四、模型预测四、模型预测五、结果分析五、结果分析 六、模型评价与改进六、模型评价与改进一、时间序列分析模型概述一、时间序列分析模型概述1、自回归模型、自回归模型2、移动平均模型、移动平均模型3、自回归移动平均模型、自回归移动平均模型二、随机时间序列的特性分析二、随机时间序列的特性分析三、模型的识别与建立三、模型的识别与建立四、模型的预测四、模型的预测时间序列的分类平稳序列平稳序列有趋势序列有趋势
2、序列复合型序列复合型序列非平稳序列非平稳序列时间序列时间序列随机性时间序列模型的特点随机性时间序列模型的特点v把时间序列数据作为由随机过程产生的样本来分析把时间序列数据作为由随机过程产生的样本来分析v多数影响时间序列的因素具有随机性质，因此时间序列的多数影响时间序列的因素具有随机性质，因此时间序列的变动具有随机性质变动具有随机性质v随机过程分为平稳随机过程和非平稳随机过程随机过程分为平稳随机过程和非平稳随机过程由平稳随机过程产生的时间序列叫做平稳性时间序列由平稳随机过程产生的时间序列叫做平稳性时间序列由非平稳随机过程产生的时间序列叫做非平稳性时间序列由非平稳随机过程产生的时间序列叫做非平稳性时
3、间序列v平稳序列平稳序列(stationary series)(stationary series)基本上不存在趋势的序列，各观察值基本上在某个固基本上不存在趋势的序列，各观察值基本上在某个固定的水平上波动定的水平上波动或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的成是随机的 v非平稳序列非平稳序列 (non-stationary series)(non-stationary series)有趋势的序列：线性的，非线性的有趋势的序列：线性的，非线性的 有趋势、季节性和周期性的复合型序列有趋势、季节性和周期性的复合型序列 序號9691868
4、1767166615651464136312621161161SCORE226022402220220021802160平稳时间序列平稳时间序列非平稳时间序列非平稳时间序列序號248235222209196183170157144131118105927966534027141STOCK424038363432302826平稳性时间序列平稳性时间序列v 由平稳随机过程产生的时间序列的性质：由平稳随机过程产生的时间序列的性质：概率分布函数不随时间的平移而变化，即：概率分布函数不随时间的平移而变化，即：P P（Y Y1 1，Y Y2 2，Y Yt t）=P=P（Y Y1+m1+m，Y Y2+m2+
5、m，Y Yt+mt+m)期望值、方差和自协方差是不依赖于时间的常数，即：期望值、方差和自协方差是不依赖于时间的常数，即：E E（Y Yt t）=E=E（Y Yt+mt+m）VarVar（Y Yt t）=Var=Var（Y Y t+mt+m）CovCov（Y Yt t，Y Y t+kt+k）=Cov=Cov（Y Y t+mt+m，Y Y t+m+kt+m+k）v 随机性时间序列模型是以时间序列的平稳性为基础建立的随机性时间序列模型是以时间序列的平稳性为基础建立的随机性时间序列模型的特点随机性时间序列模型的特点v 利用时间序列中的自相关关系进行分析和建摸利用时间序列中的自相关关系进行分析和建摸v
6、时间序列的自相关关系是指时间序列在不同时期观测值之时间序列的自相关关系是指时间序列在不同时期观测值之间的相关关系间的相关关系v 许多因素产生的影响不是瞬间的，而是持续几个时期或更许多因素产生的影响不是瞬间的，而是持续几个时期或更长时间，因此时间序列在不同时期的值往往存在较强的相长时间，因此时间序列在不同时期的值往往存在较强的相关关系关关系v 用自相关函数和偏自相关函数衡量时间序列中的自相关关用自相关函数和偏自相关函数衡量时间序列中的自相关关系系时间序列的自相关关系时间序列的自相关关系v 自相关函数自相关函数 随机过程的自相关函数随机过程的自相关函数 样本的自相关函数样本的自相关函数v 偏自相关
7、函数偏自相关函数 随机过程的偏自相关函数随机过程的偏自相关函数 样本的偏自相关函数样本的偏自相关函数自相关函数自相关函数v 对于平稳随机过程，滞后期为对于平稳随机过程，滞后期为 K K 的自相关函数定义为的自相关函数定义为滞后期为滞后期为 K K 的自协方差与方差之比的自协方差与方差之比0120110000kk;)(),(tkttYVarYYCov样本自相关函数样本自相关函数211k2_1_k11)(1)(1TttKTtktttKTtkttYYYYYYTKTYYTYYYYKT）（）（，上式可简化为：近似如果样本较大，样本自相关函数的性质样本自相关函数的性质v 可以用来判断时间序列的平稳性可以用
8、来判断时间序列的平稳性 平稳性时间序列的样本自相关函数值随滞后期的延长很快趋平稳性时间序列的样本自相关函数值随滞后期的延长很快趋近于零近于零v 可以较好描述季节性变动或其他周期性波动的规律可以较好描述季节性变动或其他周期性波动的规律 如果季节变化的周期是如果季节变化的周期是 12 12 期，观测值期，观测值 Yt Yt 与与 Yt+12Yt+12，Yt+24Yt+24，Yt+36Yt+36之间存在较强自相关关系之间存在较强自相关关系 因此，当因此，当 K=12K=12，2424，3636，48,48,时，样本自相关函数值在时，样本自相关函数值在绝对值上大于它周围的值绝对值上大于它周围的值偏自相
9、关函数值偏自相关函数值v 滞后期为滞后期为 K 的偏自相关函数值是指去掉的偏自相关函数值是指去掉 Y t+1，Y t+2，Y t+3，Y t+k-2，Y t+k-1 的影响之后，反映观测值的影响之后，反映观测值Yt和和Y t+k之间相之间相关关系的数值关关系的数值随机性时间序列模型的特点随机性时间序列模型的特点v 建摸过程是一个反复实验的过程建摸过程是一个反复实验的过程v 借助自相关函数值和偏自相关函数值确定模型的类型借助自相关函数值和偏自相关函数值确定模型的类型v 借助诊断性检验判断模型的实用性借助诊断性检验判断模型的实用性时间序列最佳模型的确定时间序列最佳模型的确定出发点：模型总类出发点：
10、模型总类选择暂时试用的模型选择暂时试用的模型估计模型中的参数估计模型中的参数诊断检验：模型是否适用诊断检验：模型是否适用运用模型分析和预测运用模型分析和预测模型分类模型分类v 总类模型总类模型v 移动平均模型移动平均模型 MA(q)(Moving Average)MA(q)(Moving Average)v 自回归模型自回归模型 AR(p)(Autoregression)AR(p)(Autoregression)v 混合自回归移动平均模型混合自回归移动平均模型 ARMA(pARMA(p，q q）v 差分自回归差分自回归-移动平均模型移动平均模型 ARIMA(pARIMA(p，d d，q q）A
11、RMA模型是一类常用的随机时间序列模型，模型是一类常用的随机时间序列模型，是一种精度较高的时间序列短期预测方法，其基本是一种精度较高的时间序列短期预测方法，其基本思想是：某些时间序列是依赖于时间思想是：某些时间序列是依赖于时间 的一族随机的一族随机变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变化却有一定的规律性，可以定性，但整个序列的变化却有一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描述用相应的数学模型近似描述.通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认识时间序列的结构与特征，达到最小方差意义下认
12、识时间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测的最优预测.t tX自回归序列 ：tX1122tttptptXXXXu如果时间序列 是它的前期值和随机项的线性函数，即可表示为【1】pp【1】式称为 阶自回归模型，记为AR（）注注1：实参数：实参数 称为自回归系数，是待估参数称为自回归系数，是待估参数.随机项随机项 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、方差为方差为 的正态分布的正态分布.随机项与滞后变量不相关。随机项与滞后变量不相关。12,p tu2注注2：一般假定：一般假定 均值为均值为0，否则令，否则令 tXttXX kBkktt kB XX212
13、ptttpttXBXB XB Xu记 为 步滞后算子，即 ，则模型【1】可表示为212()1ppBBBB 令 ，模型可简写为()ttB XuAR（）过程平稳的条件是滞后多项式 p()B的根均在单位圆外，即()0B的根大于1【2】tXtX1122ttttqt qXuuuu 如果时间序列 是它的当期和前期的随机误差项的线性函数，即可表示为 【3】qq式【3】称为阶移动平均模型，记为MA（）注：实参数12,q 为移动平均系数，是待估参数 引入滞后算子，并令212()1qqBBBB 则模型【3】可简写为()ttXB u注1：移动平均过程无条件平稳 注2：滞后多项式()B的根都在单位圆外时，AR过程与M
14、A过程能相互表出，即过程可逆，【4】21201itittiw Bw BXwBXu 即为MA过程的逆转形式，也就是MA过程等价于无穷阶的AR过程注3：【2】满足平稳条件时，AR过程等价于无穷阶的MA 过程，即21201jttjtjXv Bv Buv Bu 自回归移动平均序列自回归移动平均序列 ：tXtX11221122tttpt ptttq t qXXXXuuuu 如果时间序列是它的当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数，即可表示为【5】(,)p q式【5】称为阶的自回归移动平均模型，记为ARMA(,)p q12,p 12,q 注1：实参数称为自回归系数，为移动平均系数，都是模型的待估参数注
15、2：【1】和【3】是【5】的特殊情形注3：引入滞后算子，模型【5】可简记为()()ttB XB u【6】注4：ARMA过程的平稳条件是滞后多项式()B的根均在单位圆外 可逆条件是滞后多项式()B的根都在单位圆外 12,tttt kXXXXkk构成时间序列的每个序列值构成时间序列的每个序列值相关关系称为自相关。自相关程度由自相关系数相关关系称为自相关。自相关程度由自相关系数表示时间序列中相隔表示时间序列中相隔期的观测值之间的相关程度。期的观测值之间的相关程度。之间的简单之间的简单度量，度量，121()()()n ktt ktknttXXXXXX注1：nkX是样本量，为滞后期，代表样本数据的算术平
16、均值 注2：自相关系数 k的取值范围是 1,1 且|k越接近1，自相关程度越高 tX121,ttt kXXX tXt kX偏自相关是指对于时间序列，在给定的条件下，与之间的条件相关关系。kk11kk 其相关程度用度量，有 偏自相关系数111,111,112,3,1kkkjkjjkkkkjjjkkkk其中是滞后期的自相关系数，1,1,1,2,1kjkjkkkkjjk 如果一个时间序列是纯随机序列，意味着序列没有任何规律性，序列诸项之间不存在相关，即序列是白噪声序列，其自相关系数应该与0没有显著差异。可以利用置信区间理论进行判定。在B-J方法中，测定序列的随机性，多用于模型残差以及评价模型的优劣。若时间序列 tX满足 1）对任意时间t，其均值恒为常数；2）对任意时间t和s，其自相关系数只与时间间隔 ts有关，而与 的起始点无关。那么，这个时间序列就称为平稳时间序列。和st 序列的平稳性也可以利用置信区间理论进行判定.需要注意的是，在B-J方法中，只有平稳时间序列才能直接建立ARMA模型，否则必须经过适当处理使序列满足平稳性要求 在实际中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序列通过差分可以
