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1、5.3 阶跃光纤中的线偏振模阶跃光纤中的线偏振模电场在直角坐标系下：电场在直角坐标系下：ZyxzxxHHHHEEEE可以证明在弱波导条件下，尽管光纤中传播的导波分为可以证明在弱波导条件下，尽管光纤中传播的导波分为TE、TM、TEM模，但所有这些模式的纵向分量比横向分量小得多。模，但所有这些模式的纵向分量比横向分量小得多。（1，只有几乎与光纤轴平行的光线才能满足边界上的全反射，只有几乎与光纤轴平行的光线才能满足边界上的全反射条件，此情形下的平面波，不管式垂直偏振，还是水平偏振，其条件，此情形下的平面波，不管式垂直偏振，还是水平偏振，其电场和磁场几乎与电场和磁场几乎与z轴垂直，无论子午射线，还是偏
2、射线，经反射轴垂直，无论子午射线，还是偏射线，经反射尽管有可能产生电磁场的尽管有可能产生电磁场的z向分量，但向分量，但z向分量总是很小。向分量总是很小。简化模型：简化模型：2211HEEbHEEaHEzyzxx方向线方向线偏振模偏振模y方向线方向线偏振模偏振模在直角坐标系下圆柱型光波导的纵横向分量关系：在直角坐标系下圆柱型光波导的纵横向分量关系：yzxxyzyzxxyzzxyzxyHjxEEjHjEjyEEjxHHjEjHjyHEjyHxHHjyExE000yEjEExEHyxEHxEjHyzyyxyyyz220200111zyEEE,0(5.3.1a-f)(5.3.2a-d)将将(5.3.2
3、)四个方程代入由方程四个方程代入由方程(5.5.1)式中的式中的(e)和和(f),可得：可得：0)(2222ytEnk上式略去二阶偏导。上式略去二阶偏导。由于由于 （5.5.2)近似表达式：近似表达式：21nn 010yEjEEHHxEjHzzyxyyz(5.3.3)在边界上连续在边界上连续在边界上连续xyZHEE对于模式对于模式0，Ey，Ez,Ey,Ez,Hx,Hz在边界均连续。在边界均连续。模式模式ex，0，ez同理同理当当n的变化很小，以下的变化很小，以下3种说法一致：种说法一致：（1）模式场的二阶变化趋于零。）模式场的二阶变化趋于零。（2）Ey在边界上连续，在边界上连续，Ht只有只有H
4、x分量，互相垂分量，互相垂直。电磁场为标量。直。电磁场为标量。（3）光波导为弱波导。）光波导为弱波导。5.3.1 线偏振模场解及特征方程线偏振模场解及特征方程线偏振模满足的标量波动方程：线偏振模满足的标量波动方程：0)(2222ytEnk在柱坐标系下求解方程，可得在柱坐标系下求解方程，可得zjmmxzjmmxzjmmyzjmmyemraWKWKZBnHemraUJUJZAnHemraWKWKBEemraUJUJAEcos)(cos)(sin)(sin)(02201121（5.3.4）其中，其中，Z0为介质的波阻抗为介质的波阻抗nZZHEHEcxxtt0和和（5.3.5）5.5.7 )1cos(
5、)()1cos()()(2)1cos()()1cos()()(25.5.6 )1sin()()1sin()()(2)1sin()()1sin()()(211202110011120211101zjmmmzzjmmmzzjmmmzzjmmmzemraWKmraKKWKankjBWHemraUJmraUJUJaZkjAUHemraWKmraKKWKankjBWEemraUJmraUJUJankjAUE利用芯层与包层的界面上电磁场的边界条件：利用芯层与包层的界面上电磁场的边界条件：2121yyzzEEEE（弱波导近似）（弱波导近似）将（将（5.3.4）和（）和（5.3.6）代入边界条件，和近似条件）
6、代入边界条件，和近似条件n1=n2，可，可得特征方程：得特征方程：)()()()()()()()(1111WKWKWUJUJUWKWKWUJUJUmmmmmmmm（5.3.8)作业利用贝塞耳函数的递推，不难证明上两式等价。利用贝塞耳函数的递推，不难证明上两式等价。5.3.2 线偏振模特性线偏振模特性线偏振模的特性，包括横向场分布特点（线偏振模的特性，包括横向场分布特点（U,W)和纵向场的特和纵向场的特性性 。由于特征方程为超越方程，只能数值求解。由于特征方程为超越方程，只能数值求解。1、远离截止时的特性、远离截止时的特性WV ,利用大宗量渐近方程利用大宗量渐近方程 WWKWKWUJUJUWmm
7、mm)()()()(11远离截止时特征方程远离截止时特征方程),2 ,1 ,2 ,1 ,0(0)(nmuUUJmnffm模式的分类：模式的分类：LPmnm的物理意义：是贝塞耳函数的阶数；的物理意义：是贝塞耳函数的阶数；确定场量沿确定场量沿 方向的分布规律，方向的分布规律，从从0变化一变化一周时，场量将出现周时，场量将出现2m个极大值和个极大值和2m个零点。个零点。在半径方向，纤芯中的场按在半径方向，纤芯中的场按 的规律分布，的规律分布，n反映了场量反映了场量沿半径方向取极值的个数。沿半径方向取极值的个数。例：例：LP01 Ey,Hx 沿沿 角方向不变化，呈轴对称分布角方向不变化，呈轴对称分布
8、在半径方向场量近似按在半径方向场量近似按 分布，在分布，在 r=0时，时，场量最大值，随场量最大值，随r 增加，场量单调下降，在增加，场量单调下降，在r=a趋于零趋于零 LP02 半径方向场量近似按半径方向场量近似按 分布分布 在在 r=0场量最大值场量最大值,在在r=2.405 a/5.520=0.436 a 趋于零趋于零 在在0.436 a r a范围，场量出现另一极大值。范围，场量出现另一极大值。一些线偏振模场量的幅值沿半径方向的分布一些线偏振模场量的幅值沿半径方向的分布)(raUJm)405.2(raJm)520.5(raJm2.截止参数截止参数利用小宗量渐近公式利用小宗量渐近公式0W
9、截止时的特征方程：截止时的特征方程：0)()()()(011 WmmmmWKWKWUJUJU 0)(0 0)(11ccccUJUUJU（1）m=00)()()()()()(001011 WmmWKWKWUJUJUUJUJUm=0,Uc=Vc=0 LP01 J1(Vc)=0,3.83,7.01,LP02,LP03 0)(1cUJ 0)(1cUJ(2)m 10)(1UJm但不能取但不能取 U=0截止参数：截止参数：Vc=Uc=um-1,nLP01模截止参数和远离截止状态时和模截止参数和远离截止状态时和HE11模相同，场的分布是模相同，场的分布是相同。相同。m=0,LP0n模有两个正交的简并模模有两
10、个正交的简并模 m 1，LPmn模有四个简并模5.3.3 LP模与矢量模之间的对应关系模与矢量模之间的对应关系模式名称模式名称LP0nLPmn m 1Ucu1,n-1um-1,nUfu0,num,nLPmn模模U取值范围取值范围LP01LP11LP02LP12LP13比较比较U值的取值范围值的取值范围TE0n、TM0n 和和HE2n模模 LP1n模模HEmn、EHm-1模模 LPmn模模 ,m 2线偏振光线偏振光=左旋圆偏振光左旋圆偏振光+右旋圆偏振光右旋圆偏振光矢量模与线偏振模对应关系：矢量模与线偏振模对应关系：)2(,1,110210201mLPEHHELPTMHELPTEHELPHEmn
11、nmnmnnnnnnnn5.3.4 LPmn模的功率分布模的功率分布沿光纤轴方向横截面积中传输的电磁功率沿光纤轴方向横截面积中传输的电磁功率arWKraWKnarUJraUJnmZAHESHESmmmmxyz )()()()(cos221Re21222221202*几个低阶几个低阶LP模光斑图模光斑图(10.3.13)各模式在纤芯和包层中的传输功率：各模式在纤芯和包层中的传输功率：芯层：芯层：)()()(14212110221020*UJUJUJZAandrrdHEPmmmaxyi包层：包层：1)()()(421211022220*0WKWKWKZAandrrdHEPmmmaxy上两式中，上两
12、式中，0 10 2mm光纤中传播的总功率：光纤中传播的总功率：0PPPit(10.3.14)功率因子功率因子)()()(111222220WKWKWKWUVWPPPmmmiimn(10.3.16)上式的推导应用上式的推导应用LP模的特征方程模的特征方程（1）远离截止状态）远离截止状态1 ,0)(,22VWUJVWmnm功率主要集中在纤芯中传播。功率主要集中在纤芯中传播。（2）截止状态）截止状态)()()(,0112WKWKWKVUWmmmmnmmmmnnn11 ,20 1 ,010时，(10.3.17)5.3.5 多模光纤的模数量多模光纤的模数量由截止特征方程由截止特征方程在在Uc=V较大时，
13、利用贝塞耳函数的渐近公式较大时，利用贝塞耳函数的渐近公式0)()(11cmmUJUJ)24cos(2)(mUUUJUm 将特征方程写为将特征方程写为22)1(4nmUc当当V较大时，上式近似为较大时，上式近似为VmnUc2)2(对满足上式的对满足上式的m、n取整数，可得到截止的模式序号。取整数，可得到截止的模式序号。例：例：m=0，n 可取最大值可取最大值 n=V/n=1，m可取最大值可取最大值 m=2V/-2以以m和和n为横、纵坐标轴，作一条直线，如图为横、纵坐标轴，作一条直线，如图三角形区域的节点数表示传导模数，节点数近似等于三角形的三角形区域的节点数表示传导模数，节点数近似等于三角形的面积，即面积，即VVVV222221一对确定的一对确定的mn值，值，LP模是四重简并，总的传播模数量为模是四重简并，总的传播模数量为VVM224常用的估算式：常用的估算式：2/2VM
