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1、第三章 线性方程组 线性方程组的理论是线性代数的基本内容之线性方程组的理论是线性代数的基本内容之一前面的定理中一前面的定理中(克菜姆规则克菜姆规则)仅对线性方程组的一仅对线性方程组的一种重要情形给出了结沦本章将对一般线性方程组有种重要情形给出了结沦本章将对一般线性方程组有解的条件求解的方法以及解之间的关系进行讨论解的条件求解的方法以及解之间的关系进行讨论 由于线性方程组与矩阵、由于线性方程组与矩阵、n维向量组之间的联系维向量组之间的联系(前前面已经讨论面已经讨论)，我们从讨论，我们从讨论n维维(m维维)向量之间的线性向量之间的线性关系开始关系开始第一节 向量组与矩阵的秩1、n 维向量的概念维向
2、量的概念1.定义定义1:维向量，简称为向量。组成的有序数组，称为由数naaan,2,1等表示。母向量通常用斜体希腊字,),(21naaa行向量行向量Tnnaaaaaa),(2121列向量列向量ia第第i个分量个分量一、向量组的秩一、向量组的秩向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、线性相关性一、线性相关性1.定义定义1:使，若存在一组数设向量mmkkk,2121mmkkk2211线性表示，可由向量则称向量m,21的线性组合。是向量或称向量m,21nnneaeaeaaaa221121),(2.定义定义2:使，零的数，若存在一组不全为设向量组mmkkk,2121mmkkk22110线性相关。则称向
3、量组m,21线性无关。称向量组m,21否则(1)当向量组只含一个向量时当向量组只含一个向量时,若该向量是零向量若该向量是零向量,则它线则它线 性相关性相关;若该向量是非零向量若该向量是非零向量,则它线性无关则它线性无关.(2)两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.(3)任一含有零向量的向量组线性相关任一含有零向量的向量组线性相关.3.讨论向量组的相关性：讨论向量组的相关性：。线性表示且表示式惟一，可由线性相关，则，线性无关，而向量组，例：设向量组mmm212121证：使，全为零的数一组不线性相关，则一定存在，向量组,2121mmkkkkmmk
4、kkk22110，否则，有这里必有0kmmkkk22110线性无关知：，由向量组m21021mkkk线性表示。，可由故m21mmkkk2211设mmlll2211mmmlklklk)()()(222111O O线性无关知：，由向量组m21.,2,1,milkii所以表示式惟一。下面我们来讨论行列式与线性相关的关系：定理：。行（列）向量线性相关它的的充要条件是：阶行列式n0)det(ijaAn 定义：若向量组的一个子组线性无关，但将向量组中任何一个向量添到这个线性无关子组中去，得到的都是线性相关的子组，则称该线性无关子组为向最组的极大线性无关组 定理：对于一个给定的向量组，它的一切极大线性无关组
5、所含向量的个数相同 定义：一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩 仅含零向量的向量组，规定它的秩等于零 推论 秩为 r 的向量组中，任何 r十1 个向量必线性相关。二、矩阵的秩二、矩阵的秩初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式秩，并求秩，并求的的求矩阵求矩阵设设AAA,41461351021632305023 阶梯形矩阵：阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行作初等行变换，变成行对对A解解 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 41461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 84000840001134041461 00000840001134041461 由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知.3)(AR233rr 244rr 34rr
