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1、自动控制理论自动控制理论第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型内容提要：本章重点:a、微分方程 建立系统输入输出模式数学模型：b、传递函数c、方块图d、信号流图动态结构图的绘制,等校变换方法；各种模型表达形式之间的相互转换；梅逊公式的应用 第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型第一节 控制系统的时域数学模型第二节 控制系统的复数域数学模型第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型第三节 控制系统的结构图与信号流图问题：第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型何为数学模型?数学模型的种类?常用数学模型的种类：静态模型 动态模型 描述系统输入、输出变量以及内部各
2、变量之间关系的数学表达式就称为数学模型 数学模型描述的是各变量间的动态关系，则为动态数学模型 数学模型表示的是各阶倒数均为零的静态下各变量之间的关系，则为静态数学模型 分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。建立数学模型的方法分为解析法和实验法第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型u解析法：解析法：依据系统及元件各变量之间所遵依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。达式，并实验验证。u实验法：实验法：对系统或元件输入一定形式的信对系统或元件输入一定形式的信号
3、（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型据处理而辨识出系统的数学模型。第一节控制系统的时域数学模型第一节控制系统的时域数学模型第二章自动控制系统的数学模型（1）确定系统的输入变量和输出变量一、建立系统微分方程的一般步骤 系统通常由一些环节连接而成，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。列写系统微分方程的一般步骤：根据各环节所遵循的基本物理规律，根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程组。分别列写出相应的微分方程组。（2
4、2）建立初始微分方程建立初始微分方程组组 将与输入量有关的项写在方程式等号右将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。边，与输出量有关的项写在等号的左边。（3）消除中间变量，将式子标准化 下面举例说明常用环节和系统的微分方程的建立第一节控制系统的时域数学模型ucur1 1 RLCRLC电路电路(page 21)(page 21)输入量：输入量：输出量输出量：(1)确定输入量和输出量(2)建立初始微分方程组(3)(3)消除中间变量，使式子标准化消除中间变量，使式子标准化根据基尔霍夫定律得：微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的一些常数。RLC电路是二阶常系数线性微
5、分方程。电路是二阶常系数线性微分方程。第一节控制系统的时域数学模型+-uruc+-CLRii=CducdtLdidtur=R i+ucRCducdt+uc=ur+LCd2ucdt22机械位移系统系统组成：系统组成：质量弹簧弹簧阻尼器输入量输入量弹簧系数弹簧系数km阻尼系数阻尼系数fF(t)输出量输出量x(t)(2)初始微分方程组F=ma根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律系统工作过程：(1)确定输入和输出F(t)F1(t)F2(t)=ma中间变量关系式:F1(t)=fdx(t)dtF2(t)=k x(t)a=d2x(t)dt2md2x(t)dt2fdx(t)dt+kx(t)=F(t)+消除中间 变
6、量得:第一节控制系统的时域数学模型3电枢控制直流电动机(page 21)Ua系统组成：系统组成：直流电机直流电机负载负载输入:电枢电压励磁电流励磁电流Ia电磁转矩电磁转矩Mm负载转矩负载转矩Mc摩擦转矩摩擦转矩Tf工作原理：工作原理：电枢电压作用下产生电枢电流，从而产生电磁转矩使电动机转动.输出:电动机速度第一节控制系统的时域数学模型)(tm第一节控制系统的时域数学模型由图，直流电动机的运动方程由三部分组成：1、电枢回路电压平衡方程：()()()aaaa aaaemdi tu tLR iEdtECt2、电磁转矩方程：()()mm aMtC i t3、电动机轴上的转矩平衡方程()()()()mm
7、mmmcdtJftMtMtdt第一节控制系统的时域数学模型消除中间变量得到直流电动机的微分方程)()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma第一节控制系统的时域数学模型 由于电枢电感由于电枢电感 较小，通常可忽略不计，上较小，通常可忽略不计，上式可简化式可简化为：为：(page 22 2-6page 22 2-6)aL)()()()(21tMKtuKtdttdTcammm式中：式中：如果忽略如果忽略 和和 ，上式可进一步简化为：，上式可进一步简化为：)/(emmamamCCfRJRT)/(1emmamCC
8、fRCK)/(2emmaaCCfRRKaRmJ)()(tutCame第一节控制系统的时域数学模型)()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC)()()()(22tFtKxdttdxfdttxdm 比较比较:R-L-C:R-L-C电路运动方程与电路运动方程与 M-S-DM-S-D机械系统机械系统 运动方程运动方程 相似系统相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。：揭示了不同物理现象之间的相似关系。便于用简单系统去研究相似的复杂系统。便于用简单系统去研究相似的复杂系统。四、线性微分方程式的求解 工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
9、拉氏变换法求解微分方程的基本思路：线性微分方程时域t拉氏变换代数方程复数域s代数方程的解求求解解拉氏反变换微分方程的解第一节控制系统的时域数学模型1 1拉氏变换的定义如果有一函数满足下列条件：如果有一函数满足下列条件：(1)t 0 时时 f(t)=0(2)t0 时时 f(t)是分段连续的是分段连续的 0(3)f(t)e dt=mG(s)=K0(s z1)(s z2)(s zm)(s p1)(s p2)(s pn)根轨迹增益传递函数的极点传递函数的零点第二节控制系统的复数域数学模型二、传递函数的零点和极点及其对输出的影响第二节控制系统的复数域数学模型 将传递函数的零、将传递函数的零、极点表示在复
10、平面极点表示在复平面上的图形称系统的上的图形称系统的零、极点图零、极点图。零点用零点用“O O”表示表示极点用极点用“”表示表示零、极点分布图（零、极点图）零、极点分布图（零、极点图）第二节控制系统的复数域数学模型传递函数另一种表示形式为：传递函数另一种表示形式为：式中，式中，、称为时间常数；称为时间常数；为传递系数或增益。为传递系数或增益。10111011221222221222()()()(1)(21)(1)(1)(21)(1)mmmmnnnnminjb sbsbsbC sG sR sa sa sasabssssa TsT sT sT s ijT njjmiinmpzKabK1*)()(不
11、同的物理系统，其结构差别很大。但若从系统的数学模型来看，一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。三、典型环节的传递函数第二节控制系统的复数域数学模型c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)放大倍数放大倍数取拉氏变换取拉氏变换:得传递函数得传递函数:1比例环节微分方程微分方程:R(s)C(s)G(s)=K 比例环节方框图比例环节方框图 KR(S)C(S)K1SC(s)=R(s)=1S单位阶跃响应：单位阶跃响应：拉氏反变换得:c(t)=K 单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)1r(t)Kc(t)第二节控制系统的复数域数学模型K
12、=-R1R2 比例环节实例(page 33)(a)uruc-+R1R2运算放大器(b)线性电位器uc(t)+-R1R2+-ur(t)K=R2+R1R2传动齿轮(c)r(t)c(t)iK=i第二节控制系统的复数域数学模型单位阶跃信号作用下的响应单位阶跃信号作用下的响应:KTs+11sC(s)=Ks+1/TKs+=R(s)=1s2惯性环节微分方程微分方程:+c(t)=Kr(t)dc(t)dtT时间常数比例系数拉氏变换：拉氏变换：TsC(s)+C(s)=KR(s)惯性环节的传递函数惯性环节的传递函数:R(s)C(s)G(s)=KTs+1=惯性环节方框图惯性环节方框图 R(S)C(S)1+Ts1拉氏反
13、变换得:c(t)=K(1 e tT-)单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线设设 K=1r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.632第二节控制系统的复数域数学模型uruc-+R2R1C 惯性环节实例(a)运算放大器R2Cs+1R2/R1G(s)=(b)RL电路+-u(t)RLuL(t)1/R(L/R)s+1G(s)=第二节控制系统的复数域数学模型R(s)C(s)G(s)=1TsTsC(s)=R(s)=r(t)dc(t)dtT微分方程：微分方程：时间常数时间常数3积分环节传递函数：传递函数：拉氏变换：拉氏变换：积分环节方框图积分环节方框图 R(S)C(S)Ts1单位阶跃响应：单位阶跃响应：1TS
14、1SC(s)=R(s)=1S1TS2=1Tc(t)=t 单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T拉氏反变换得:第二节控制系统的复数域数学模型第二节控制系统的复数域数学模型AtTAdtTtxt11)(00！具有明显的滞后作用！具有明显的滞后作用 积分环节实例积分环节实例(a)运算放大器运算放大器uc-+RCur1RCsG(s)=(b)直流伺服电机直流伺服电机+-UdMsKG(s)=第二节控制系统的复数域数学模型4微分环节R(S)C(S)Ts理想微分环节微分方程：理想微分环节微分方程：微分时间常数微分时间常数 微分环节方框图微分环节方框图 单位阶跃响应：单位阶跃响应：c(t)=Td
15、r(t)dtR(s)C(s)G(s)=TsTS1SC(s)=R(s)=1S拉氏反变换得拉氏反变换得:c(t)=T(t)单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)c(t)r(t)运算放大器构运算放大器构成的微分环节成的微分环节-+RucCurG(s)=RC s第二节控制系统的复数域数学模型+-uc+-CRurRC电路构成的实用微分环节电路构成的实用微分环节RCsRCS+1 G(s)=TsTs+1=理想微分环节实际中是难以实现的，理想微分环节实际中是难以实现的，实际中常用含有惯性的实用微分环节。实际中常用含有惯性的实用微分环节。传递函数传递函数:单位阶跃响应单位阶跃响应:1sTsTs+1
16、G(s)=1s+1/T c(t)=e tT-单位阶跃响应曲线r(t)r(t)t0c(t)c(t)1 由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，不能反映输入量本身的大小，故常采用比例微分环节。第二节控制系统的复数域数学模型采用运算放大器构成的比例微分环节：采用运算放大器构成的比例微分环节：R1ucC1R2ur-+传递函数：传递函数：单位阶跃响应：单位阶跃响应：c(t)=KT(t)+K R(s)C(s)G(s)=K(Ts+1)单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第二节控制系统的复数域数学模型5.振荡环节 微分方程：微分方程：+c(t)=r(t)+2T d2c(t)dt2dc(t)dtT 2 时间常数时间常数 阻尼比阻尼比T传递函数：传递函数：1T2S2+2T S+1=R(s)C(s)G(s)=G(s)=T 21T 21T 2S2+S+n2n2n S2+2 S+=T1n=无阻尼自然振荡频率无阻尼自然振荡频率 振荡环节方框图振荡环节方框图 S2+2nS+n2n2R(S)C(S)单位阶跃响应：单位阶跃响应：c(t)=1-1-2Sin(dt+)etn 单位阶跃
