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1、13 本征矢量和本征值本征矢量和本征值3.1 定义定义一、本征矢量和本征值一、本征矢量和本征值对于算符对于算符A，若有非零矢量，若有非零矢量 满足下式满足下式|aA 式中式中a为常数。则为常数。则 称为算符称为算符A的本征矢量，的本征矢量，而而a为相应的本征值。为相应的本征值。|上式称为本征值方程。上式称为本征值方程。本征值一般是复数，但也可以为本征值一般是复数，但也可以为0.0.算符算符A虽然可以不加限制，但是量子力学中用虽然可以不加限制，但是量子力学中用到的主要是厄米算符的本征值问题。到的主要是厄米算符的本征值问题。2二、厄米算符本征值问题的两个重要性质二、厄米算符本征值问题的两个重要性质
2、1.1.在复空间中，厄米算符的本征值都是实数在复空间中，厄米算符的本征值都是实数|aA 证证 若若A是厄米算符，用是厄米算符，用 左乘式左乘式|aA|两边，有两边，有已经知道已经知道 是实数是实数|A所以所以a必为实数。必为实数。2.2.厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互 正交正交 证证 设设222111|,|aAaA但但21aa 3则则12112|aA又又1212|AA12*2|a122|a122|a由此得由此得122121|aa即即0|)(1221aa但但21aa 所以所以0|12即厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互正交。即厄米算符属于不同本征值的本
3、征矢量相互正交。4 若若 是是A A的一个本征矢量，则的一个本征矢量，则 也是属于同一个也是属于同一个本征值的本征矢量；本征值的本征矢量；|c|若若 都是都是 A 的本征矢量且本征值相同，则的本征矢量且本征值相同，则它们的线性叠加它们的线性叠加 也是也是A 的属于同一本的属于同一本征值的本征矢量。征值的本征矢量。21|,|2211|cc三、本征矢量问题三、本征矢量问题简并性简并性厄米算符厄米算符A属于本征值属于本征值a的本征矢量有多少个？的本征矢量有多少个？这实际上是一个简并度的问题。这实际上是一个简并度的问题。1.1.问题的提出问题的提出5 所以算符所以算符A的属于同一个本征值的属于同一个本
4、征值 a 的本征矢量全的本征矢量全体构成体构成Hilbert空间中的一个子空间。这个子空间称空间中的一个子空间。这个子空间称为算符为算符A的属于本征值的属于本征值a的本征子空间。的本征子空间。2.2.简并简并 本征子空间的维数本征子空间的维数 s 称为所属本征值的简并度。称为所属本征值的简并度。这个本征值或这组本征矢量称为是这个本征值或这组本征矢量称为是 s 重简并的。重简并的。当简并度为当简并度为1时，通常称为无简并。时，通常称为无简并。为了指出为了指出 s 维本征子空间，只需给出其中一组维本征子空间，只需给出其中一组 s 个线性无关的本征矢量即可。个线性无关的本征矢量即可。6则则A,B有相
5、同的本征值谱，且每一本征值都有相同的本征值谱，且每一本征值都有相同的简并度。有相同的简并度。3.相关的定理定理：若定理：若A,B两算符相似，即对于有逆算符两算符相似，即对于有逆算符R，有，有1 RARB 证证 设已知设已知A的全部本征值和相应的本征矢量，的全部本征值和相应的本征矢量，,2,1|iaAiii利用利用 ，用，用R从左作用上式两边，得从左作用上式两边，得IRR1iiiRaRRAR|1即即iiiRaBR|7 下面设下面设A的一个本征值是的一个本征值是s重简并的，属于这个本重简并的，属于这个本征值的征值的s个线性无关本征矢量记为个线性无关本征矢量记为 。由于由于R有逆，有逆，也也必为线性
6、无关必为线性无关。isii|,|,|21isiiRRR|,|,|21ia 所以算符所以算符B的属于本征值的属于本征值 的本征矢量至少为的本征矢量至少为s个，个，即简并度不会比即简并度不会比A小。另外利用小。另外利用 用同样的用同样的方法证明方法证明B的简并度也不会比的简并度也不会比A大。大。证毕证毕。BRRA1iiiRaBR|因为因为R有逆，所以有逆，所以 不为零不为零iR|所以所有所以所有 也都是也都是B的本征值。的本征值。ia80|ijjjRc用反证法：如果 线性相关，则存在 ，从而有jc321|,|,|iiiRRR32211|iiiRcRcR比如由此可以得到因为R有逆 ，上式两边用 作用
7、后有1R1R32211|iiicc这与 线性无关相矛盾。命题得证。,|,|,|321iii93.2 本征矢量的完全性本征矢量的完全性一一.问题的提出问题的提出 在一个确定的Hilbert空间中，一个厄米算符A的本征矢量的情况有两种：1）不简并的本征矢量是彼此正交的；2）s 重简并的本征值所对应的本征矢量构成一个s维的本征子空间，并与那些本征值为其它值的本征矢量正交。如在上述s维子空间中选出s个互相正交的本征矢作为代表，那么其线性叠加都是算符A的对应于同一本征值的本征矢量。10 在进行归一化后,算符 A 的所有不简并和简并的本征矢量为代表就构成了一个正交归一矢量集。若取不简并的本征值的简并度为1
8、,则这个正交归一矢量集里矢量总数是所有本征值简并度之和 。这个总数亦可能是无穷大。iis问题：一个厄米算符A的本征矢量正交归一集在所 在空间中是否完全？二、完全性和封闭性 一个确定的空间中，一组正交归一矢量集的完全性的含义是：空间内所有矢量都能表为这个矢量集的线性叠加。11 一组正交归一矢量集的封闭性的含义是，这个空间中不存在其它与集内所有矢量都正交的矢量（否则此矢量集应再加一矢量）。二者的等价性是明显的。对于一般的Hilbert空间，二者是等价的。对有限维空间予以证明：定理：在有限维空间中，厄米算符的全部本征矢量 构成正交完全集。证：设空间是n维的，厄米算符为A。我们只需证 明在A的本征矢量
9、中有n个线性无关的即可。12A的本征值方程为|aA这组基矢共有n个。为求 ，在此空间中取一组已知的基矢|),2,1(,|niiiniiniciii11|将矢量 按照这组基矢展开|其中 。知道了一组 就知道了一个 。|iciic|将 的展开式代入本征值方程，并用 与方程两边作内积，得|jjacniiniicijaciAj11|13jacniiniicijaciAj11|上式是关于未知数 线性齐次方程组，可以写成ic式中 是复数，对于给定的A，它们是已知的，而 是待求的。jiAiAj|ic会展开会展开(j=1)(j=2)0)(0)(0)(221122221211212111nnnnnnnnncaA
10、cAcAcAcaAcAcAcAcaA式中a 是待定的本征值。这一方程有非零解的条件是系数行列式为0：140212222111211aAAAAaAAAAaAnnnnnn这是一关于这是一关于a 的的n次方程，称为久期方程，有次方程，称为久期方程，有n个根个根)()2()1(,naaa 当这些根互不相同时，对于每一个根当这些根互不相同时，对于每一个根 ，上述方程有，上述方程有一组非零解一组非零解 ；)(ka)(kic所求得的那些根所求得的那些根 ，就是厄米算符，就是厄米算符A的本征值。的本征值。)(ka当每个当每个 都不同时，可得线性方程组的都不同时，可得线性方程组的n组解组解)(ka,2,1,)(
11、kcki)(|k从而得到相应的从而得到相应的n个本征矢量个本征矢量 。15 前面已经证明过，当本征值不同时，厄米算符的本征矢前面已经证明过，当本征值不同时，厄米算符的本征矢量互相正交。因此证明了量互相正交。因此证明了A 的这组本征矢量肯定可构成此的这组本征矢量肯定可构成此空间的一组正交完全集。空间的一组正交完全集。总之，在总之，在n维空间中，不论厄米算符维空间中，不论厄米算符A的本征值有无简并，的本征值有无简并，总有总有n个线性无关的本征矢量存在，总可以构成空间的一组个线性无关的本征矢量存在，总可以构成空间的一组正交完全集。正交完全集。当系数行列式有等根时，如当系数行列式有等根时，如 是一个三
12、重根，是一个三重根，那么对于这个那么对于这个a 值，不仅系数行列式本身为值，不仅系数行列式本身为0，它的，它的n-1,n-2阶的全部子行列式也都为阶的全部子行列式也都为0；)3()2()1(aaa 对于这样的对于这样的a，齐次方程也有，齐次方程也有3个线性无关的个线性无关的 。于是对于这个三重简并的本征值，空间中有于是对于这个三重简并的本征值，空间中有3个线性无关的本个线性无关的本征矢量存在，即有一个三维的本征子空间存在征矢量存在，即有一个三维的本征子空间存在.,)3()2()1(iiiccc16 当当A的本征值没有简并时的本征值没有简并时,这组这组 是完全确定的。而当是完全确定的。而当有简并
13、时，就有许多组这样的正交归一完全集存在，因为在本有简并时，就有许多组这样的正交归一完全集存在，因为在本征子空间中，选取征子空间中，选取n个互相正交的矢量作为代表个互相正交的矢量作为代表(不要求归一不要求归一)，其选法是很多的。其选法是很多的。|)(i三、基矢的选择1|)(1)(inii可用它们作为这个空间的一组基矢。可用它们作为这个空间的一组基矢。把一个厄米算符把一个厄米算符A的全部（彼此正交的）本征矢量编上一定的全部（彼此正交的）本征矢量编上一定的次序（通常是按照本征值由小到大的次序）的次序（通常是按照本征值由小到大的次序）,就可以构成这就可以构成这个空间的一组正交归一完全集个空间的一组正交
14、归一完全集 ，它们满足完全性关系，它们满足完全性关系|)(i17 对于无穷维对于无穷维Hilbert空间，厄米算符具有离散本征值的情况，空间，厄米算符具有离散本征值的情况，虽然没有经过数学上的一一证明，在物理上总是认为，虽然没有经过数学上的一一证明，在物理上总是认为，厄米算符的全部线性无关的本征矢量可以构成此空间的完厄米算符的全部线性无关的本征矢量可以构成此空间的完全集。进行正交化以后，完全性关系成立。写成通常的下全集。进行正交化以后，完全性关系成立。写成通常的下标形式，有标形式，有,|ijji 在物理上，常常用厄米算符的本征矢量去确定一组基矢，在物理上，常常用厄米算符的本征矢量去确定一组基矢
15、，甚至用厄米算符的本征矢量去甚至用厄米算符的本征矢量去“构造构造”一个一个 Hilbert 空间，空间，原因在此。原因在此。1|1iii18 对于一个对于一个HilbertHilbert空间，每一个厄米算符的全部线性无关空间，每一个厄米算符的全部线性无关的本征矢量都可以用来构成空间的基矢的本征矢量都可以用来构成空间的基矢,即正交归一完全集即正交归一完全集（条件是厄米算符的定义域和值域都应是全空间）。（条件是厄米算符的定义域和值域都应是全空间）。3.3 厄米算符完备组一、基矢的选择问题 但是当此厄米算符的本征值有简并时，对应于这一本征但是当此厄米算符的本征值有简并时，对应于这一本征值的线性无关的
16、本征矢量的数目与简并度相同，这时由本值的线性无关的本征矢量的数目与简并度相同，这时由本征矢量所确定的基矢不是唯一的。征矢量所确定的基矢不是唯一的。在简并的本征子空间中有多种选择。下面的任务就是设法在简并的本征子空间中有多种选择。下面的任务就是设法消除这一不确定性。消除这一不确定性。191.1.定理：定理：二、本征矢量完全性定理 当且仅当两个粒子的厄米算符互相对易时，它们有一组当且仅当两个粒子的厄米算符互相对易时，它们有一组共同的本征矢量完全集。共同的本征矢量完全集。证证 设两个算符是设两个算符是A和和B.(1)(1)必要性：完全集必要性：完全集对易对易设设A和和B有一组共同的本征矢量完全集有一组共同的本征矢量完全集 ，这时有，这时有|iiaiAi|ibiBi|则则)|(|iBAiAB同样同样ibaiBAii|所以所以0|)(iBAAB对所有对所有 都成立。都成立。i|因为因为 是完全的，所以有是完全的，所以有i|0BAABibaiAbiii|)|(20(2)(2)充分性：对易充分性：对易完全集完全集 设设AB-BA=0，且，且 是是A的一套正交归一化的本征矢的一套正交归一化的本征矢量完
