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1、2023-9-131固体力学非线性数值方法固体力学非线性数值方法2023-9-132第一章弹性力学简介第一章弹性力学简介 第二节：能量原理与变分法第二节：能量原理与变分法1、弹性体形变势能、弹性体形变势能2、泛函与变分、泛函与变分 最小势能原理、里兹（最小势能原理、里兹（Ritz）法、）法、伽辽金（伽辽金（Galerkin）法）法3、位移变分方程、位移变分方程4、应力变分方程、应力变分方程 最小余能原理、卡氏（最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理）定理5、自然变分原理和广义变分原理、自然变分原理和广义变分原理6、弹性力学修正变分原理、弹性力学修正变分原理2023-9-1331.弹性
2、力学问题的弹性力学问题的微分提法微分提法及其及其解法解法：（1）平衡微分方程）平衡微分方程0,jiijX（2）几何方程）几何方程)(21,ijjiijuu（3）物理方程）物理方程1(1)ijijkkijE （4）边界条件）边界条件jiijXn iiuu 应力边界条件；应力边界条件；位移边界条件；位移边界条件；定定解解问问题题求解方法求解方法：（1）按位移求解）按位移求解基本方程：基本方程：（a）以位移为基本未知量）以位移为基本未知量的的平衡微分方程平衡微分方程;（2）按应力求解）按应力求解基本方程：基本方程：（a）平衡微分方程；）平衡微分方程；（b）边界条件。）边界条件。（b）相容方程；相容方
3、程；（c）边界条件。边界条件。（a）归结为归结为求解联立的微求解联立的微分方程组分方程组；求解特点：求解特点：（b）难以求得难以求得解析解解析解。从研究从研究微小单元微小单元体入手，考察其体入手，考察其平衡平衡、变形变形、材料性质材料性质，建立基本方程：，建立基本方程：（3）混合解法）混合解法2023-9-1342.弹性力学问题的弹性力学问题的变分提法变分提法及其及其解法解法：基本思想基本思想：在在所有可能的解所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；中，求出最接近于精确解的解；将定解问题转变为将定解问题转变为求解线性方程组求解线性方程组。弹性力学中的变分原理弹性力学中的变分原理 能量原理能量原
4、理 直接处理直接处理整个弹性系统整个弹性系统，考虑系统的，考虑系统的能量关系能量关系，建立一些泛函的，建立一些泛函的变分方程变分方程，将弹性力学问题归结为，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题值的变分问题。（变分解法也称（变分解法也称能量法能量法）（a）以）以位移位移为基本未知量，为基本未知量，得到得到最小势（位）能原理最小势（位）能原理等。等。（b）以）以应力应力为基本未知量，为基本未知量，得到得到最小余能原理最小余能原理等。等。（c）同时以）同时以位移、应力、应变位移、应力、应变为未知量，为未知量，广义（约束）变分原理。广义（约束）变
5、分原理。位移法位移法 力法力法 混合法混合法有限单元法有限单元法、边界元法边界元法、离散元法离散元法 等等数值解法数值解法。求解方法求解方法：里兹（里兹（Ritz）法、）法、伽辽金（伽辽金（Galerkin）法、）法、最小二乘法、力矩法等。最小二乘法、力矩法等。2023-9-1353.弹性力学问题的弹性力学问题的数值解法数值解法：（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）有限差分法；有限差分法；基本思想：基本思想：将将导数导数运算近似地用运算近似地用差分差分运算代替；运算代替；将定解问题转变为将定解问题转变为求解线性方程组求解线性方程组。
6、典型软件：典型软件：FLAC实质：实质：将将变量离散变量离散。（b）对）对变分方程变分方程进行数值求解进行数值求解 有限单元法有限单元法、边界元法边界元法、离散元法离散元法 等等典型有限元软件：典型有限元软件：ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等；等；基本思想：基本思想：将求解将求解区域离散区域离散，离散成有限个小区域（离散成有限个小区域（单元单元），），在小区域（单元）上假设在小区域（单元）上假设可能解可能解，最后由能量原理最后由能量原理（变分原理）确定其最优解。（变分原理）确定其最优解。将问题转变为将问题转变为求解求解大型大型的线性方程组的线性方程组。
7、2023-9-1361 1 弹性体的变形能（应变能）弹性体的变形能（应变能）1.变形能的一般表达式变形能的一般表达式Pxl0l单向拉伸：单向拉伸：PlO外力所做的功：外力所做的功：lPW21 由于在静载（缓慢加载）条件下，其由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，所外力功全部转化杆件它能量损失很小，所外力功全部转化杆件的变形能（或应变能）的变形能（或应变能）U：lPWU21)(21lAllAP)(21lAxx杆件的体积杆件的体积xxU211令：令：单位体积的变形能（应变能），单位体积的变形能（应变能），称为称为应变能密度应变能密度。2023-9-137三向应力状态：三向应力状态：一点的
8、应力状态：一点的应力状态：,zyx xyzyzzyyxxyxzzxzzyyxxU2121211xyxyzxzxyzyz212121整个弹性体的整个弹性体的应变能：应变能：dxdydzUU1zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyzzzyyxx(21)xyxyzxzxyzyz若用张量表示：若用张量表示：ijijU211dxdydzUijij21应变能密度：应变能密度：整体应变能：整体应变能：由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序次序无关无关，只取决于最终的状态。，只取决于最终的状态。假定所有应力分量与应变分量全部按比例增加（线弹假定所
9、有应力分量与应变分量全部按比例增加（线弹性），此时，单元体的性），此时，单元体的应变能密度应变能密度：xyzxyz,2023-9-1382.应变能的应力分量表示应变能的应力分量表示在线弹性的情况下，由物理方程：在线弹性的情况下，由物理方程：1(1)ijijkkijE 代入应变能密度公式，整理得应变能密度的表达式：代入应变能密度公式，整理得应变能密度的表达式：22211()2()2xyzxyyzzxUE 2222(1)()yzzxxy 代入应变能公式，有：代入应变能公式，有：dxdydzUU12221()2()2xyzxyyzzxE 2222(1)()yzzxxydxdydz 2023-9-13
10、9,1xxU,1yyU,1zzU,1yzyzU,1zxzxUxyxyU1表明：表明：弹性体的应变能密度对于任一应力分量的改变率，就等于相应的应弹性体的应变能密度对于任一应力分量的改变率，就等于相应的应变分量。变分量。3.应变能的应变分量表示应变能的应变分量表示用应变表示的物理方程：用应变表示的物理方程：ijijkkijG2将应变能密度分别对将应变能密度分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：2023-9-1310代入应变能密度公式，代入应变能密度公式，zzyyxxU(211)xyxyzxzxyzyz并整理可得：并整理可得：22222
11、2211()()2(1)122xyzyzzxxyEUedxdydzUU122222221()()2(1)122xyzyzzxxyEUedxdydz 将上式对将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程比较，个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程比较，可得：可得：2023-9-1311,1xxU,1yyU,1zzU,1yzyzU,1zxzxUxyxyU1将几何方程代入应变能的表达式，得：将几何方程代入应变能的表达式，得：弹性体的应变能密度对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应弹性体的应变能密度对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。力分量。4.应变能的位移分量表示应变能的位
12、移分量表示表明：表明：22222(1)12EuvwuvwUxyzxyzdxdydzyuxvxwzuzvyw222212023-9-13122 2 泛函与变分泛函与变分（1）函数与泛函的概念：）函数与泛函的概念：函数：函数：)(xfy x 自变量；自变量；y 因变量；因变量；泛函：泛函：)()(xfFyFUx 自变量；自变量；y 为一变函数，泛函的宗量；为一变函数，泛函的宗量；F 为函数为函数 y 的泛函；的泛函；例：例：zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyzU 被称为被称为形变势能泛函形变势能泛函。2023-9-1313（2）微分）微分 变分变分设函数：设函数：)(xfy 当自
13、变量当自变量 x 有一增量：有一增量：01xxx函数函数 y 也有一增量：也有一增量：01yyy)()(01xfxf()()yfxxox dx 与与 dy分别称为自变量分别称为自变量 x 与函数与函数 y 的的 微分。微分。设泛函：设泛函：)(xyUU 函数函数 y 有一增量：有一增量：yyy1泛函泛函 U 也有一增量：也有一增量：()()()UU y xy xU y xy2.UUdxxfdy)(泛函的增量泛函的增量 U 等称为变分等称为变分。微分问题微分问题 研究研究自变函数的增量自变函数的增量与与泛函泛函的增量的增量 间关系称为间关系称为变分问题变分问题。()0fx是函数取极值的必要条件。
14、是函数取极值的必要条件。0U是泛函取极值的必要条件。是泛函取极值的必要条件。2023-9-1314例如：例如：Pcr（1）压杆稳定问题）压杆稳定问题 寻求压杆形变势能寻求压杆形变势能 U 达到达到最大最大值值时的压力时的压力 P 值。值。maxU0U（2）最速降线问题）最速降线问题12)(xf 球从球从位置位置1下落至下落至位置位置2，所需时间为所需时间为T，)(xfTT minT 泛函的变分问题泛函的变分问题0T2023-9-1315（3）变分及其性质）变分及其性质定义：定义：()yf x泛函泛函)(xyUU 增量：增量：()()yf xxf x ()()()UU y xy xU y x函数
15、函数连续性：连续性：0)()(lim000 xfxxfx称函数称函数 y 在在 x0 点连续。点连续。当当0)()(01xyxy有有0)()(01xyUxyUU称泛函称泛函 U 在在 y0(x)处零阶接近。处零阶接近。当当0)()(01xyxy有有0)()(01xyUxyU称泛函称泛函 U 在在 y0(x)处一阶接近。处一阶接近。当当0)()(01 xyxy有有0)()(01 xyUxyU称泛函称泛函 U 在在 y0(x)处二阶接近。处二阶接近。2023-9-1316（4）变分的运算）变分的运算变分与微分运算：变分与微分运算：)()(xfdxdxfdxd)()(22xfdxdxfdxd)()(
16、2222xfdxdxfdxd变分运算与微分运算互相交换变分运算与微分运算互相交换。变分与积分运算：变分与积分运算：dxyyxFl),(0dxyyxFl),(0变分运算与积分运算互相交换变分运算与积分运算互相交换。2023-9-1317泛函的变分：泛函的变分：dxyyxFyyxUl),(),(0),(xfy)(xfy一阶变分：一阶变分：?U二阶变分：二阶变分：2?U2023-9-1318一阶变分：一阶变分：0lFFUyy dxyy二阶变分：二阶变分：ldxyyyFyyFyyyyFyyFyU02 二阶变分用于判别驻值点是取得二阶变分用于判别驻值点是取得极大值极大值还是还是极小值极小值。2023-9-1319建立：弹性体的建立：弹性体的形变势能形变势能与与位移位移间间变分的变分的关系关系 位移变分方程位移变分方程qP应力边界应力边界 S位移边界位移边界 Su设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。边界：边界：uSSS位移场：位移场：);,(zyxuu);,(zyxvv),(zyxww 应力场：应力场：);,(zyxxx);,(zyxyy满足：平衡方程、几何方程
