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1、概率论与数理统计习题及答案习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以V表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的肯定值.试写出X和y的联合分布律.【解】X和y的联合分布律如表：X012310GllI3c,-=-32228C-=383222031_800IlllXX二一22282.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和丫的联合分布律.【解】X和y的联合分布律如表：X0123000CC；3C4j-35C；C；_2-3510CCeCe6C；35CC*C*12C；35C：C2C=352P(O黑,2红,2白)二
2、=35c3*c2*c2_6C；-35_3C；3503.设二维随机变量（X,Y）的联合分布函数为,、sinxsiny,0x-,0y-F（x,y）=220,其他.求二维随机变量（X,Y）在长方形域（）x1,0,y0,0,其他.求：(1)常数A；(2)随机变量(X,Y)的分布函数；(3) POX1,0ydwdv_f(l-e-3x)(l-e-4v)j0,0,0。，其他(4) P0Xl,0r2=pox,or22e-(3r+4v)dxdy=(l-e-3)(l-e)0.9499.5 .设随机变量(X,Y)的概率密度为k(-x-yOCXV2,2yv4,f(x,V)=S_.l0,其他.(1)确定常数k；(2)求
3、Pxv,y3)；(3)求PX1.5;(4)求PX+y4.【解】(1)由性质有f+0o+oo,2(4JJfay)dxdy=JoJ,&(6-x-y)dydx=8Z=1,故R=-8P(Xl,y3=ff(x9y)dydx-XJ-OO=氓砥*y)d心=|尸X1.5=JJ/(x,y)cUdy三aJf(x,y)xdyxl.5:(6-x-y)dy=.x+r4D2(4)尸X+y4=f(x,y)dxd)，如图bIf(x,y)dxdyy的密度函数为f(y)=0,其他求：（1）X与y的联合分布密度；（2）pyx.【解】（1）因X在（0,0.2）上听从匀称分布，所以X的密度函数为1A(X)= 020,0x0.2, 其他
4、.人(y) = 0, 0, 其他.所以/(x,y)X,y独立力(办4(y)5e-5y 0.20x 0, 其他.(2) P(YX)=f(x,y)dxdy如图J25e_5vdrdyyxD=dx25e5v,=C2(-5e-5x+5)dx=e,0.3679.7 .设二维随机变量(X,X)的联合分布函数为F (x, y)=,(l-e)(l-e-2y),xO,yO,0,其他.求（X,Y）的联合分布密度.【解】f(Ky) = MM oxy8e-s, xo,yO,0, 其他.8 .设二维随机变量（X,X）的概率密度为4.8y(2-x),0,)=/U,j)tvf4.8y(2-x)dx2.4y(3-4y+/),0
5、yl,0：,其他y=xy=x9 .设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(%，y)=,OX0,=(JX=V0,10，其他.f+00,其他.题10图10 .设二维随机变量(X,y)的概率密度为(1)试确定常数c；(2)求边缘概率密度.解OHy)dxdy如图f(x,y)dxdy121312exyay=c=l.21Tj+00fxM=f(,y)dy-lxl,其他.OyL其他.5-2y7-2厂VIl.设随机变量(X,Y)的概率密度为/(X，y)=1,yX,0X1,0,其他求条件概率密度加X(yl),f【解】U)=400f(,y)dy-OOIdy=2x1=J-X-X0,0X1,其他.(y)=Fa,y)d=
6、fldx=l+y,j-yflldx=l-y,jy0,-iy,0yl,其他.所以八”“赛azzlxf(,y)fxiYMy)=l1-yl+yO,yt,-y0,他 C其 2v一 e 1-20, 广 一 ； =yZlx（1）求X和y的联合概率密度；【解】因力（X）= 1, 0xi,f(y)=20,其他.e20VX,)=l20,其他.题14图（2）方程2+2X+y=0有实根的条件是=(2X)2-4K0故xy,从而方程有实根的概率为：PX2Y=/(x,y)dxdyxty=Wo=l-2r(l)-(0)=0.1445.15.设X和y分别表示两个不同电子器件的寿命 从同一分布，其概率密度为（以小时计），并设X和
7、y相互独立，且听f（X）=,1000X20,% 1000,其他.求z=xy的概率密度.V【解】如图Z的分布函数Fz(Z)=PZz=Pl,0zl, 其他.zl,0zl, 其他.2z1.(z)=0,2z2一、1ZJ(Z)二份0,16 .设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地听从N（160,202）分布.随机地选取4只,求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为MG=I,2,3,4),则XN(160,202),从而Pmin(X，X2，X3，X4)N180Xj之间独立PX180PX2180PX3180.PX4180=1-PXi180.1-PX21801-PX3i80J41-P(X41
8、80)= l-PX11804 =180-160 Y - J=1-(1)4=(0.158)4=0.00063.17 .设X,y是相互独立的随机变量，其分布律分别为PX=k=p(k),D,1,2,，PY=r=q(r),r=0,1,2.证明随机变量Z=X+Y的分布律为PZ=i=p(k)q(i-k),Z=O,1,2,.=o【证明】因X和Y全部可能值都是非负整数，所以(z=)=x+r=x=0,y=0x=1,y=i-i=0)于是呻制二方长乂号丫二一因丫相互独立大片乂=%/1=一Jt=OIC=O=fp(k)q(i-k)Jt=O18 .设X,y是相互独立的随机变量，它们都听从参数为，的二项分布.证明z=x+y听从参数为2”，P的二项分布.【证明】方法一：X+y可能取值为0,1,2,，2n.kPX+Y=k=PX=iyY=k-i/=O=ZP(X=i)PU=0I=O V IA l)方法二：设4|小2,小点02,，J均听从两点分布(参数为P)，则X=l+2+
