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1、讨论：1、能级的简并度2022naeEn其中对能级及波函数),()(),(lmnlnlmYrRrn为主量子数lnnr11,2,1,0nl,2,01rn1rnnl由于所以相应的有0,2,1nn而对于给定的角动量l，磁量子数m可有2l+1个取值，即lllm,2,1,0,1,nEnlm因此属于能级的所有简并量子态数目为10)12(nll1)32()12(nn221)12(nnn即对于给定的n（能级一定）1,2,1,0nl而对于给定的llllm,2,1,0,1,(等差数列)能级En的简并度为10)12(nll2n比起一般中心力场的简并度2l+1要高。一般中心力场粒子的能级lnrElnr和依赖于量子数但
2、库仑场中,En粒只依赖于n,但是n=nr+l+1故 能级En除了对m简并，对l也是简并的。所以库仑场具有更高的对称性。对称元素越多,对称性越高，简并度越大从径向方程的求解过程可以看出，这是rrV1)(导致的。2、径向位置几率分布为）和的节点数（不包括rrrnl0)(dd|22rrnlm电子的几率为球壳内找到中，在态drrrrnlm),(角向部分积分掉rrnld)(2rrrRnld)(22rrrRnlnl)()(1lnnrrdr其中nr=0称为圆轨道-无节点。与旧量子论一致。的极大位置由如arera/2232104|称为最可几半径。nranrn2可以证明，此时的极值点所在21,|)(|rnn位置
3、为,3,2,1n径（玻尔半径）为最小半且ar 0|dd210r确定。见下图。基态：n=1,l=0o2201A529.04mehr 玻尔半径玻尔半径1rr22nlRr 100 1电子出现在 r=r1 的单位厚度球壳层内的概率最大3、几率密度分布随角度的变化 d),(d2220llmnlYrrrR中找到电子的几率为方向的立体角元中，在态d),(),(rnlmd|)(cos|2mlP1|2ime显然，几率沿z轴旋转对称。因为Lz是守恒量，故可以用通过z轴的任意平面的曲线描述几率分布随角的变化。如41|200Yzy2210cos43|Yzy 2211sin83|Yzy s电子p电子4、电流分布与磁矩由
4、几率流密度分布表达式)(2*nlmnlmnlmnlmiej)(2*nlmnlmnlmnlmij（表示单位时间通过某一截面的粒子数）可得电子的电流密度（电子荷电量-e)利用球坐标中sin11rererer容易求出 的各分量j0jjr亦为实。部分是含)(cosmlP为实，部分考虑到波函数中含)(rRrnl来说两项相同。即，所以括号内对r)(2*nlmnlmnlmnlmiej对)(sin12*nlmnlmnlmnlmriej但2|2sin12nlmimriejimimimee)(且2|sin1nlmrmej是绕z轴的环电流密度。见右图。通过d的电流元为ddjI 对磁矩的贡献为2)sin(rS cIS
5、M/ddz其中是环面积。因此总磁矩为d|22nlmcmedsin2|22rcmenlmdsin122jrcIScMd1zdsin2dr其中是细环的体积元。（光速c是由高斯单位制所带来的常数）ceB2利用归一化条件后有mBcmeM2z其中为Bohr磁子。可见，磁矩与m有关，m称之为磁量子数。对s态，l=0,m=0磁矩为0，电流为0。故注意：Mz是很重要的，因为MzB是相互作用能 以后经常碰到。另外，由上式可知cemM2z。因子为为单位，则取12gce分量。为轨道角动量的zm因子值或上式比值称为回转磁比g5、类氢离子共同特点：原子实一个核外电子+类氢离子，如Be，Li，He上述结果也都适用。只需核
6、电荷+e+Ze或e2+Ze2约化质量相应的约化质量比如对能级公式2242neEn22242nZeEn作业：p189,1,3,44 三维各向同性谐振子质量为的粒子在势场V(r)中运动2221)(rrV是刻画势阱强度的参量。径向方程为0)1(21(22222222lllRrllrEdrdRrdrRd仍然采用自然单位来化简方程。0)1(21(22222222lllRrllrEdrdRrdrRd化为1令则径向方程0)1(222222lllRrllrEdrdRrdrRd上式出现两个奇点：r=0为正则奇点；r=为非正则奇点必须把奇异性分离出来。r=0时径向方程0)1(222222lllRrllrEdrdR
7、rdrRd可写为不满足波函数在r=0处的有界条件0)1(22 lllRrllRrR)1(,)(lllrrrR0l)1(lrRl(r)有两个解：但因解因此，只能取)0(rrRll但 不满足波函数在无穷远处的边界条件（几率为0），故弃之221rleR因此，只能取有界解)(221reRrl这样方程的解可表为r时，方程近似化为0222llRrdrRd其渐近行为是221rleR)()(221ruerrRrll代入方程0)1(222222lllRrllrEdrdRrdrRd)()(221ruerrRrll将式可知u(r)满足0)32(2)1(2222ulEdrdurlrdrud2r令通过复合函数求导，上式
8、化为022/32)23(22ulEdduldud这是合流超几何方程，相应参数为23),23(21lEl方程有两个线性独立的解,0121lrr时，由于),2,1(12Fu),(1Fu故有界解为eF),(时，但前已经证明，,23),23(21),(lElFFu不满足束缚态边界条件,所以必须使合流超几何函数中断为一个多项式,即=0或负整数。,2,1,02/)23(rrnnEl即加上能量的自然单位，得,2,1,0,)232(rrnlnE2,1,0,)23(NNNEE lnNr 2令则加上长度单位),1(1非整数参数r可得相应的波函数为三项之积2221,23,)()(22rlnFerrRrrllnr归一
9、化后得2221212223,23,)(!)!12(!)!122(2)(22rlnFerlnnlrRrrlrrnllnrr此时0221)(drrrRlnrnr表示径向波函数的节点数。Nr=0，1，2的径向波函数分别为2221212230)(!)!12(2rlllerlRlllrlR)(!)!32(2213231222123222rler知道了径向波函数，利用已知的球谐函数形式，很容易写出体系的波函数为),()(),(lmlnlmnYrRrrr2221213232)(!)!52(2rlllerlR4422)52(4)52)(32(rrlll讨论：1、能级简并度2,1,0,)23(NNNEE 能级也
10、是等间距的。这表现在但与一维谐振子不同，二维、三维谐振子能级是简并的。NEE lnNr 2同一个N，可有不同的nr，l这是V(r)r2的结果。对于给定的EN或N,nr=0,1,2,(N-1)/2或N/2)(0为偶或N为奇）（NNNNnNlr1,4,2,212951NNll,2,0)12(括角向部分）为为偶，能级简并度（包如N)2)(1(21NN)12(21)12(NN1273NNll,3,1)12(为奇，能级简并度为如N)2)(1(21NN)121(23)12(NN可以看出,它高于一般中心力场中能级简并度.12rrrSSS比如这是由于三维各向同性谐振子场的几何对称性比一般中心力场的几何对称性要
11、高。2、在直角坐标系中求解 三维各向同性谐振子可分解为三个彼此独立的一维线性谐振子，其振动频率相同。体系的哈密顿算符为Schrdinger方程为)(21212222222zyxpppHzyx),()(21212222222zyxzyxpppzyx),(zyxE用分离变量法，哈密顿算符可写为zyxHHHH2222121iiixpH),(3,2,1zyxi 其中)()()(),(zyxzyxzyxzyxnnnnnnzyxzyxnnnnnnEEEE令相应的本征能量为其中,2,1,021,2,1,021,2,1,021zznyynxxnnnEnnEnnEzyx23NEEEEzyxnnnN),2,1,0
12、(NnnnNzyx则其中能级简并度：则(nx,ny)可能取值的数目(注意ny取值的个数)由上式可以看出，满足着三维谐振子的能级具有简并特点。zyxnnnNzyxnnn,的的值事实上不止一组，这意味对于给定N，1,2,1,1NNN0,1,2,1,NNNnnzyNNnx,1,2,1,0利用 zyxnnnN有即当N 给定时,nx可取0,1,2,N 等N+1个值。yxznnNnNnxNxNNNnNf0123)1()1()1()1(2)11(NN),(zyxnnn所以 可能取值的数目，即量子态数目（简并度）为nx,ny都取定后,nz只有一种取法,即1xnN个取法。2)2)(1(NNxnN 等当nx固定时
13、，ny有0，1，2，对体系的两个彼此不对易的守恒量F和G，若是F和H的共同本征函数，则G也是H的本征函数,即体系的能级是简并的，本征值均为E.根据能级简并与守恒量关系的定理(p138)：因此在能级有简并的情况下，定态波函数的选取是不唯一的。选选守恒量完全集 F,H选G选守恒量完全集 H这相当于选不同的守恒量完全集。在球坐标系中，力学量完全集为在直角坐标系中，力学量完全集为),(zyxzyxnnnzyxHHH,),(rlmnrmlnr,zLLH,2相应的量子数为其共同本征函数为zyxnnn,相应的量子数为其共同本征函数为对于基态N=0，能级是不简并的，两种守恒量完全集的共同本征态应该相同。事实上，234/12/10,0,0222222zyxnnnezyx2/4/32/30,0,022rmlner二者显然是相等的。作业：p190 7
