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1、12),()(2),(222txxVxmtxti 对于定态问题，能量E确定，波函数中时空变量可分离，形如Etiextx)(),(代入方程可得满足方程)(x)()()(dd2222xExxVxm3)()()(dd2222xExxVxm,)(,取实数征值问题这是一维粒子的能量本xV,E解：由物理边界条件来确定于三维问题同样成立。对。以下定理现在讨论此本征值方程41，即)()(*xVxV本征值其中E)(x非零解的本征函数属于本征值E4：定理1为实数）复共轭（证明：对原方程两边取VE,)()()(dd2*222xExxVxmE征值还是也是方程的解，能量本说明*,)(Ex的能量本征值为是方程的一个解，对
2、应设。应的能量也是也是方程的一个解，对则Ex)(*可能是二重简并的。即能量 E简并的概念：简并的概念：一个能级对应于两个波函数一个能级对应于两个波函数5为则可取为实函数解，因方程的解无简并，量本征值据此，设对应于某个能,E一常数因子，即因无简并，则只能相差同样对应于与,)()(*Exx为常数）（cxcx)()(*可取为实函数故)(x2*|cc取复共轭，有)(为实数iec 1|c故)()(0*xx时为取62理当能级有简并时，用定证明：)()(解的任何本征函数是属于能量设Ex).(叠加的特殊情况这个实解也是实解线性定理定理2：对于能量的某个本征值：对于能量的某个本征值E，总可找到方，总可找到方程的
3、一组程的一组实解实解，凡是属于，凡是属于 E 的的任何解任何解，均可表，均可表成这成这一组实解的线性叠加一组实解的线性叠加.即这组实解是即这组实解是完备完备的。的。解的线性叠加。实，则可以表为一组完备现在只需证明如为复解为复解。它可以是实解，也可以到实解集合中去如为实解，则把它归结7的解。亦为属于能量，定理是定态方程的解，按照若Exx)(1)(*)()()(),()()(*xxixxxx)(21)(ix的线性叠加，为复函数，它们可表为均，而均为实函数此时)(),()()(?)(),(*xxxxxx加性质，有则根据微分方程解的叠)(21)(*ix，且彼此独立。属于也是定态方程的解，同E即8如如(
4、x)是定态方程的属于是定态方程的属于能量为能量为E的解，则的解，则(-x)也是方程的相应于能量为也是方程的相应于能量为E的解。的解。证明：)()()()(dd2222xExxVxxm，得，按假定对方程进行)()(xVxVxx的解，即可能有简并。也是属于可见，Ex)(定理定理3：设设V(x)具有空间反射不变性具有空间反射不变性V(-x)=V(x)9差一个任意常数），表示同一个态（可相与因为此时，)()(xx的宇称。有确定，且解无简并，则解必若)()(xVxV由此得推论：来表示，其作用是宇称算符一般用P)()(rfrPf按照前面的讨论按照前面的讨论,有有引进宇称算符的概念：引进宇称算符的概念：)(
5、)(xcx即10称为奇宇称解取)()()(,1xxxPc当能级有简并时当能级有简并时，有如下定理，有如下定理)()(22xcxP)()()(xcxxP1c12c)()(2xxP称为偶宇称解取)()()(,1xxxPc但已经知道但已经知道11上次课复习：上次课复习：后部分主要学习了有关一维势场能量本征方程后部分主要学习了有关一维势场能量本征方程的三个性质定理：的三个性质定理：)()()(2xExxVxmdd222定理定理1 如果如果 是方程的一解的话，则是方程的一解的话，则 也也是方程对应于同一个本征能量的解。是方程对应于同一个本征能量的解。)(x)(*x定理定理2 对应于能量的某一个本征值对应
6、于能量的某一个本征值E，总可以找，总可以找到方程的一组实解，而属于到方程的一组实解，而属于E 的任何解都是这组的任何解都是这组实解的线性叠加。实解的线性叠加。12)(x定理定理3 设设 具有空间反射不变性，如具有空间反射不变性，如 是是方程的一个解，则方程的一个解，则 也是方程属于同一本征也是方程属于同一本征能量的解。能量的解。)(xV)(x一维谐振子就属于这种情况。一维谐振子就属于这种情况。显然，这里也存在简并问题。显然，这里也存在简并问题。非简并：非简并：有确定宇称有确定宇称)()()(xxxP偶宇称解偶宇称解奇宇称解奇宇称解)()()(xxxP如果能级有简并呢？如果能级有简并呢？13定理
7、定理4：设：设V(-x)=V(x)，则对应于任何一个，则对应于任何一个能量本征值能量本征值E,总可能找到总可能找到定态方程的定态方程的一组一组完完备备解解,它们之中的每一个解都它们之中的每一个解都有确定的宇称有确定的宇称.证明：必有确定的宇称如无简并有简并，即如无确定的宇称3)(定理是定态方程的解，按照设x。能量但同属于也是方程的一个不同于Exx)()(14)()()(),()()(xxxgxxxf因此可构造具有奇宇称，具有偶宇称，且同属于都是定态方程的解，按照解的叠加性质，)()()(),(xgxfExgxf)()(21)()()(21)(xgxfxxgxfx，即的线性叠加，都可以表成、而)
8、(),()()(xgxfxx则则完备完备得证得证.15为此给出定理为此给出定理5若若V(x)解析（连续等），则问题较为简单；解析（连续等），则问题较为简单；在量子力学中在量子力学中,经常要涉及波函数经常要涉及波函数(x)的解的解析性质问题，这应由定态方程出发，由势函析性质问题，这应由定态方程出发，由势函数数V(x)性质确定：性质确定：若若V(x)不连续，或有某种奇异性不连续，或有某种奇异性,的连续性问题需具体分析。的连续性问题需具体分析。)(),(xx16定理定理5：对于阶梯形方位势（在：对于阶梯形方位势（在a处跃变）处跃变）V2V(x)x0aV1axVaxVxV21)(成立），则定理不必是连
9、续的（若及其导数有限，则定态波函数若|)()(1212VVxxVV17分析分析如何证明导数连续？如何证明导数连续？由方程证明：证明：)()(2)(dd222xxVEmxx的连续性是显然的。、连续区，在)()()(xxxV邻域对方程积分并取在是势的间断点axax,是个小量）（,0dlim0aax边界处导数相等即可边界处导数相等即可,由由Schrdinger方程出发。方程出发。18)()(dlim2)0()0(02xxVExmaaaa处连续在，即可见axaa)()0()0(。右端为，故有限，积分区间由于002)()(xxVE得得.)(,连续的也是故是平滑的或者说函数曲线在此处x关于波函数及其导数的
10、问题关于波函数及其导数的问题,还有定理还有定理6:19的解，则的属于同一能量均为定态方程和对于一维粒子，设Exx)()(21证明：，得)2()1(12)1(0)(2 121xVEm)2(0)(2 222xVEm按照假设按照假设无关）常数（与x1221：定理6分析分析见到导数，要联想到见到导数，要联想到Schrdinger方程。方程。200 21121221无关）常数（与x12210 dd2112x。常数由渐近条件来决定。常数0有下列关系：故对两束缚态波函数，、时，对于束缚态，有021x或或积分积分,得得关于此定理的应用关于此定理的应用,有定理有定理7:21是不简并的。如存在束缚态，则必定无奇点
11、），运动（：设粒子在规则势场中定理)(7xV证明：看此两态相等即可。有两个态，证明是否简并，只要设分析E个束缚态。的两能量是定态方程的属于本征和设Exx)()(211221除上式，则有区域）用节点和处（不包含不为和在212121)()(0)()(xxxx，有则按照定理6221212lnlnccxx所以）无关，常数取为常数（与积分，对。在奇点，此结论不成立对于不规则势，由于存级不简并。代表同一量子态，其能与故120lnln12或，22110ln21即23由粒子运动实际情况正确写出势函数由粒子运动实际情况正确写出势函数V(x)代入定态薛定谔方程代入定态薛定谔方程解方程解方程解出能量本征值和相应的本
12、征函数解出能量本征值和相应的本征函数求出概率密度分布及其他力学量求出概率密度分布及其他力学量量子力学解题的一般思路量子力学解题的一般思路24自由粒子自由粒子方势阱方势阱0)(xV方势阱方势阱0)(xV)(xV0)(xV无限深方势阱无限深方势阱)(xV几种势函数几种势函数)(xV什么势？什么势？)()(rVrF25方势阱方势阱0)(xV)(xV方势阱是实际情况的极端化和简化方势阱是实际情况的极端化和简化分子束缚在箱子内分子束缚在箱子内三维方势阱三维方势阱金属中的电子金属中的电子例如例如26 粒子在势阱中的运动，是一种较为常见的现粒子在势阱中的运动，是一种较为常见的现象；金属中的自由电子在各晶格结
13、点象；金属中的自由电子在各晶格结点(正离子正离子)形形成的成的“周期场周期场”中运动，它们不会自发地逃出中运动，它们不会自发地逃出金属，简化这个模型，可以粗略地认为粒子被金属，简化这个模型，可以粗略地认为粒子被无限高的势能壁束缚在金属之中。无限高的势能壁束缚在金属之中。氢原子中的电子就是在三维库仑势阱中运动，氢原子中的电子就是在三维库仑势阱中运动，不过不过“阱壁阱壁”不是直立的，而是按不是直立的，而是按-1/r分布。近分布。近来，人们设计制作了一种具有来，人们设计制作了一种具有“量子阱量子阱”的半的半导体器件，它具有介观导体器件，它具有介观(介于宏观与微观介于宏观与微观)尺寸尺寸的势阱，阱宽约
14、在的势阱，阱宽约在10nm上下。这种材料具有若上下。这种材料具有若干特性，已用于制造半导体激光器、光电检测干特性，已用于制造半导体激光器、光电检测器、双稳态器件等。器、双稳态器件等。27势垒)(xV梯形势(散射问题)(xV势垒(隧道贯穿)其他形式超晶格谐振子28晶格是原子或分子聚集时在一定条件下形成的晶格是原子或分子聚集时在一定条件下形成的周期性有序结构。科学家在实验中利用现代技周期性有序结构。科学家在实验中利用现代技术实现了人工的周期性有序结构，这是人为的术实现了人工的周期性有序结构，这是人为的周期性结构，它显示出不同寻常的特性，称为周期性结构，它显示出不同寻常的特性，称为超晶格结构，也称超
15、晶格结构，也称超晶格材料超晶格材料。29量子力学中常用的二阶常系数 齐次线性微分方程的解0 qp，则其解为，若两个根为21rr02qprr对方程其特征方程为xrxrecec21212,1)1(r两不相等的实根30ir2,1)3(共轭复根21)2(rr 相等的实根xrexcc1)(21)sin(xex)sincos(21xcxcexxixiecec)(2)(131a金属金属V(x)V=V0V=V0EV=0 x极极限限V=0EVVV(x)x0a 无限深方势阱无限深方势阱(potential well)2.2.1 无限深方形势阱无限深方形势阱 离散谱离散谱32V=0EVVV(x)x0a特点：特点：粒
16、子在势阱内受力为零粒子在势阱内受力为零势能为零势能为零在阱内自由运动在阱内自由运动在阱外势能为无穷大在阱外势能为无穷大在阱壁上受极大的斥力在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外不能到阱外33势函数势函数粒子在阱内自由运动粒子在阱内自由运动不能到阱外不能到阱外(1)(1)薛定谔方程和波函数薛定谔方程和波函数)(xV0(x)ax阱外阱外a0)(xV x0 00)(xV阱内阱内 )(ax0 034哈密顿量哈密顿量)(2222xVxmHdd定态薛定谔方程定态薛定谔方程阱外：阱外：)()(2222xExxmdd)()(2222xExxmdd阱内：阱内：a0)(xV x0 035根据波函数有限的条件根据波函数有限的条件阱外阱外0,0)(xaxx1)1)阱外阱外分区求通解分区求通解)()(2222xExxmdd?36)()(xExxm222dd2令令222mEk 2)2)阱内阱内0)(2)(xkx(为了方便将波函数脚标去掉为了方便将波函数脚标去掉)将方程写成将方程写成通解通解kxBkxAxsincos)(式中式中 A 和和 B 是待定常数是待定常数37由波函数标准条件和边界条件定特解由波函数标准条件和边界
