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1、马尔科夫预测法 第一节 基本原理 一、基本概念 1.随机变量、随机函数与随机过程 一变量x，能随机地取数据（但不能准确地预言它取何值），而对于每一个数值或某一个范围内的值有一定的概率，那么称x为随机变量。假定随机变量的可能值xi发生概率为Pi 即P(x=xi)=Pi 对于xi的所有n个可能值，有离散型随机变量分布列：Pi=1 对于连续型随机变量，有 P(x)dx=1 在试验过程中，随机变量可能随某一参数（不一定是时间）的变化而变化.如测量大气中空气温度变化x=x(h),随高度变化。这种随参变量而变化的随机变量称为随机函数。而以时间t作参变量的随机函数称为随机过程。也就是说：随机过程是这样一个函
2、数，在每次试验结果中，它以一定的概率取某一个确定的，但预先未知的时间函数。2、马尔科夫过程 随机过程中，有一类具有“无后效性性质”，即当随机过程在某一时刻to所处的状态已知的条件下，过程在时刻tto时所处的状态只和to时刻有关，而与to以前的状态无关，则这种随机过程称为马尔科夫过程。即是：ito为确知,it(tto)只与ito有关，这种性质为无后效性，又叫马尔科夫假设。简例：设x(t)为大米在粮仓中t月末的库存量，则 x(t)=x(t1)y(t)+G(t)t月的转出量 第t1月末库存量,G(t)为当月转入量 x(t)可看作一个马尔科夫过程。3、马尔科夫链 时间和状态都是离散的马尔科夫过程称为马
3、尔科夫链。例：蛙跳问题 假定池中有N张荷叶，编号为1，2，3,N，即蛙跳可能有N个状态（状态确知且离散）。青蛙所属荷叶，为它目前所处的状态；因此它未来的状态，只与现在所处状态有关，而与以前的状态无关（无后效性成立）1234P33P22P44P41P42P31P32 写成数学表达式为：P(xt+1=j|xt=it,xt-1 =it1,x1=i1)=P(xt+1 =j|xt =it)定义：Pij=P(xt+1=j|xt=i)即在xt=i的条件下，使 xt+1=j的条件概率，是从 i状态一步转移到j状态的概率，因此它又称一步状态转移概率。由状态转移图，由于共有N个状态，所以有 二状态转移矩阵 1.一
4、步状态转移矩阵 系统有N个状态，描述各种状态下向其他状态转移的概率矩阵 P11 P12 P1N 定义为 P21 P22 P2N :PN1 PN2 PNN 这是一个N阶方阵，满足概率矩阵性质 1）Pij 0,i,j=1,2,N 非负性性质 2）Pij =1 行元素和为1,i=1,2,NNN P=如：W1=1/4,1/4,1/2,0 W2=1/3,0,2/3 W3=1/4,1/4,1/4,1/2 W4=1/3,1/3,-1/3,0,2/3 3）若A和B分别为概率矩阵时，则AB为概率矩阵。概率向量非概率向量 2.稳定性假设 若系统的一步状态转移概率不随时间变化，即转移矩阵在各个时刻都相同，称该系统是
5、稳定的。这个假设称为稳定性假设。蛙跳问题属于此类，后面的讨论均假定满足稳定性条件。2004/11/22 3.k步状态转移矩阵 经过k步转移由状态i转移到状态j的概率记为 P(xt+k=j|xt=i)=Pij(k)i,j=1,2,N 定义：k步状态转移矩阵为：P11(k)P12(k)P1N(k)P =:PN1(k)PN2(k)PNN(k)当系统满足稳定性假设时 P =P=P P P 其中P为一步状态转移矩阵。即当系统满足稳定性假设时，k步状态转移矩阵为一步状态转移矩阵的k次方.kk k 例：设系统状态为N=3，求从状态1转移到状态2的 二步状态转移概率.解：作状态转移图 解法一：由状态转移图：1
6、 1 2:P11 P12 1 2 2:P12 P22 1 3 2:P13 P32 P12 =P11 P12+P12 P22+P13 P32 =P1i Pi2 132P13P32 P11P12P12P22 解法二：k=2,N=3 P11(2)P12(2)P13(2)P=P21(2)P22(2)P23(2)P31(2)P32(2)P33(2)P11 P12 P13 P11 P12 P13 =PP=P21 P22 P23 P21 P22 P23 P31 P32 P33 P31 P32 P33 得：P12(2)=P11 P12+P12 P22+P13 P32 =P1i Pi2 例：味精销售问题 已连续
7、统计六年共24个季度，确定畅销，滞销界限，即只允许出现两种状态，且具备无后效性。设状态1为畅销，状态2为滞销,作出状态转移图:图中:P11为当前畅销，连续畅销概率；P12为当前畅销，转滞销概率；P22为当前滞销，连续滞销概率；P21为当前滞销，转畅销概率。12P22P11P12P21数据在确定盈亏量化界限后的统计表如下：t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13状态 t 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24状态 进行概率计算时，第二十四个季度为畅销，但后续是什么状态不知，故计算时不能采用，只用于第二十三季度统计。有：P11=7/(7+7)=0.5
8、;P12=7/(7+7)=0.5;P21=7/(7+2)=0.78;P22=2/(7+2)=0.22则 0.5 0.5 0.78 0.22此式说明了：若本季度畅销，则下季度畅销和滞销的可能性各占一半 若本季度滞销，则下季度滞销有78%的把握，滞销风险22%P=二步状态转移矩阵为：0.5 0.5 0.5 0.5 0.78 0.22 0.78 0.22 0.64 0.36 0.5616 0.4384 P11(2)P11(2)P11(2)P11(2)=P=P=22 三.稳态概率：用于解决长期趋势预测问题。即：当转移步数的不断增加时，转移概率矩阵 P 的变化趋势。1.正规概率矩阵。定义：若一个概率矩阵
9、P，存在着某一个正整数m,使P 的所有元素均为正数（Pij o），则该矩阵称为正规概率矩阵 k例：1/2 1/4 1/4 P=1/3 1/3 1/3 为正规概率矩阵 2/5 1/5 2/5 0 1 P11=0 1/2 1/2 但当 m=2，有 有Pij 0它也是正规概率矩阵。（P 每个元素均为正数）但 1 0 0 1 就找不到一个正数m,使P 的每一个元素均大于0，所以它不是正规概率矩阵。P =22 P=m P=2 2.固定概率向量（特征概率向量）设 P为NN概率矩阵,若U=U1,U2,UN为概率向量,且满足UP=U,称U为P的固定概率向量 例 0 1 1/2 1/2 为概率矩阵 P的固定概率
10、向量 U=1/3 ,2/3 检验 UP=1/3 2/3 0 1 1/2 1/2 =1/3 2/3P=3.正规概率矩阵的性质 定理一 设P为NXN正规概率矩阵，则 A.P有且只有一个固定概率向量 U=U1,U2,UN 且U的所有元素均为正数 Ui 0 B.NXN方阵P的各次方组成序列 P,P,P,P 趋于方阵T，且T的每一个行向量都是固定概率向量U。即 U1 U2 UN U lim Pk=T=:=:U1 U2 UN U 这个方阵T称稳态概率矩阵。23k 这个定理说明：无论系统现在处于何种状态，在经过足够多的状态转移之后，均达到一个稳态。因此，欲求长期转移概率矩阵，即进行长期状态预测，只要求出稳态
11、概率矩阵T；而T的每个行向量都是固定概率向量，所以只须求出固定概率向量U就行了!定理二：设X为任意概率向量，则XT=U 即任意概率向量与稳态概率矩阵之点积为固定概率向量。事实上：U1 U2 UN XT=X :=U1Xi U1Xi U1Xi U1 U2 UN =U1 U2 UN =U例：若 0.4 0.3 0.3 P=0.6 0.3 0.1 求T 0.6 0.1 0.3 解：设 U=U1 U2 U3=U1 U2 1U1U2 由 UP=U 有 0.4 0.3 0.3U1 U2 1U1U2 0.6 0.3 0.1 =U1 U2 U3 0.6 0.1 0.3 即 -0.2U1+0.6=U1 U1=0.
12、5 0.2U1+0.2U2+0.1=U2 U2=0.25 -0.2U2+0.3=U3 U3=0.25 U=0.5 0.25 0.25 则 0.5 0.25 0.25 T=0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 说明：不管系统的初始状态如何，当系统运行时间较长时，转移到各个状态的概率都相等。（列向量各元素相等）即 各状态转移到1状态都为0.5;2状态都为0.25;3状态都为0.25第二节 市场占有率预测 商品在市场上参与竞争，都拥有顾客，并由此而产生销售，事实上，同一商品在某一地区所有的N个商家（或不同品牌的N个同类产品）都拥有各自的顾客，产生各自销售额，于是产生了市场占有率定义
13、：设某一确定市场某商品有N个不同品牌（或N个商家）投入销售，第i个商家在第j期的市场占有率 Si(j)=xi(j)/x i =1,2,N 其中 xi(j)为第i个商家在第j期的销售额（或拥有顾客数）x为同类产品在市场上总销售额（或顾客数）市场占有率所需数据可通过顾客抽样调查得到。一般地,首先考虑初始条件,设当前状态（即j=0）为 S(0)=S1(0)S2(0)SN(0)第i个商家 Si(0)=xi(0)/x xi(0)=Si(0)x即当前第i个商家市场占有率与初始市场占有率及市场总量有关.同时假定满足无后效性及稳定性假设.由于销售商品的流通性质,有第i个商家第j期销售状况为 xi(k)=x1(
14、0)P1i(k)+x2(0)P2i(k)+xN(0)PNi(k)=xS1(0)P1i(k)+xS2(0)P2i(k)+xSN(0)PNi(k)P1i(k)=xS1(0)S2(0)SN(0)P2i(k):PNi(k)有：Si(k)=xi(k)/x P1i(k)=S1(0)S2(0)SN(0)P2i(k):PNi(k)故可用矩阵式表达所有状态:S1(k),S2(k),SN(k)=S1(0),S2(0),SN(0)P即 S(k)=S(0)P 当满足稳定性假设时,有 S(k)=S(0)P 这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有率k步预测模型.kkk 例:东南亚各国味精市场占有率预测,初期工作:a)行
15、销上海,日本,香港味精,确定状态1,2,3.b)市场调查,求得目前状况,即初始分布 c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状态转移概率.1)初始向量:设 上海味精状况为1;日本味精状况为2;香港味精状况为3;有 S(0)=S1(0)S2(0)S3(0)=0.4 0.3 0.32)确定一步状态转移矩阵 P11 P12 P13 0.4 0.3 0.3 P=P21 P22 P23 =0.6 0.3 0.1 P31 P32 P33 0.6 0.1 0.33),3 步状态转移矩阵(假定要预测3个月后)P11(3)P12(3)P13(3)0.496 0.252 0.252 P 3=P21(3)P22(
16、3)P23(3)=P=0.504 0.252 0.244 P31(3)P32(3)P33(3)0.504 0.244 0.252 34)预测三个月后市场 0.496 0.252 0.252 S(3)=S(0)P3=0.4 0.3 0.3 0.504 0.252 0.244 0.504 0.244 0.252 S1(3)=0.40.496+0.30.504+0.30.504=0.5008 S2(3)=0.2496 S3(3)=0.2496 二.长期市场占有率预测 这是求当 k 时 S(k)?我们知道:S(k)=S(0)P lim S(k)=S(0)lim P=S(0)T=U 因此,在已知初始条件下求长期市场占有率就是求稳态概率矩阵,也是求固定概率向量.求固定概率向量的方法,我们在前一节已有例子,只不过说明了长期市场占有率也是只与稳态矩阵有关,与初始条件无关.kk 上面味精例子,0.4 0.3 0.3 已知 P=0.6 0.3 0.1 0.6 0.1 0.4 0.5 0.25 0.25 求出 T=0.5 0.25 0.25 =lim Pk 0.5 0.25 0.25 lim S(k)=0.
