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1、第6讲空间向量及其运算一、选择题1 .在下列命题中：若向量,b共线，则向量小方所在的直线平行；若向量,b所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；若三个向量,，C两两共面，则向量,，c,共面；已知空间的三个向量,byc,则对于空间的任意一个向量P总存在实数x,yfZ使得P=M+y万+zc.其中正确命题的个数是（）.A.OB.1C.2D.3解析“与力共线，0,方所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量。，力都共面，故错误；三个向量，dC中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当,4C不共面时，空间任意一向量P才能表示为p=x+力+zc,故不正确，综上可知四个
2、命题中正确的个数为0,故选A.答案A2 .在空间四边形ABCQ中，ABO）+ACDB+ADBC=（）A.-1B.0C.1D.不确定解析法一：如图，在空间四边形ABCo中，连接对角线AC,NBD,得三棱锥A-BCO,不妨令其各棱长都相等，即为正四面/体，,正四面体的对棱互相垂直，/j6BC：.ABCD=OfACDB=OfADBC=O.：.ABCb+ACDB+ADBC=O.法二：在法一的图中，选取不共面的向量魂，ACf病为基底,则原式=&（屐）一病）+危（油屐）+Ab（危一油）=ABAD-ABAC+ACAB-ACAD+ADAC-ADAB=O.答案B3若0”,c为空间的一组基底,则下列各项中，能构成
3、基底的一组向量是().A. , a-b1 abB. b, ajrb, a-bC.c,ajrb,a-bD.ajrb,ab,a2b解析若c、a-b.a一力共面，则c=0+)+m(-b)=q+m)+Gm)方，则、。、C为共面向量，此与,byc为空间向量的一组基底矛盾，故c,a+b,ab可构成空间向量的一组基底.答案C4.如图所示，已知空间四边形OABC, OB=OC,且NAoB解析设OA=a,0B=b,OC=c,由已知条件a,b)=a,c=1,且Ibl=IC,OANe=a(c)=cc-a山=3。的|一；IaWl=0,cos(0A,BO=0.答案A5.以下四个命题中正确的是().A.空间的任何一个向量
4、都可用其他三个向量表示B.若，b,c为空间向量的一组基底，则a+，b+c,c+a构成空间向量的另一组基底C.ZVlBC为直角三角形的充要条件是ABAC=OD.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若a+)、b-c.c+a为共面向量，则a+b=7S+c)+(c+a),(1)a=()b+(+)c9九不可能同时为1,设Wl,则。=上力+%则、b、C为共面向量，此与,b,c为空间向量基底矛盾.答案B6 .正方体A8CO-43CIoI的梗长为1,点M在启上且巍=：庆1,N为BIB的中点，则|丽为()A粤B平近n正J6u-3解析如图，设彳&=,AD=bfAA=c,则ab=bc=ca=U.由条件
5、知A?A=必+魂+丽=-(a+b+c)+a+c=a-b+c.丽=等.答案A二、填空题7 .在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是0M=20A-0B-0CiOMuoA+OB+；OGMA+MB+MC=0;OM+OA+OB+OC=0;-解析VMA+MB+MC=O,：.MA=-MB-MC,则MA、MB、MC为共面向量，即M、A、B、C四点共面.答案8 .已知。是空间中任意一点，A,B,Cf。四点满足任意三点不共线，但四点共面，且为=2x筋+3y+4z历，则2x+3y+4z=.解析VA,B,Cf。四点共面，.*.OA=m,OB+nOC+pOD,且机+p=l.由条件知=-2x彷-3y5t-4zb,(-
6、2x)+(-3y)+(-4z)=l.2x+3y+4z=-1.答案T由已知条件=8,仍=4,c=6,=90o,b,c)=90o,=60CD2=CA+AB+BD2=|-c+*+2=+c2+2b-2c-2bc=68,则CO=2il答案27cm010.如图，空间四边形OABC中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,NoAC=45。，/048=60。，则OA与/BC所成角的余弦值等于.Ac、一一一B解析设。4=,OB=bfOC=c.OA与BC所成的角为仇OA-BC=a(c-b)=a-cb=(+AC)“(+A3)=+ACa2a-AB24-162.八|。48Cl241232啦cs=_=85=5OABq2
7、32班答案一5三、解答题11.已知A、3、C三点不共线，对平面ABC外的任一点。，若点M满足OM=g(0A+08+0。.-(1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内.-解(1)由已知。4+。8+。=30M,OA-OM=(OM-OB)+(OMOQ,即MA=BM+CM=-WB-MC,AMA,MB,MC共面.由知，MA,MB,MC共面且基线过同一点M,.四点M,A,B,C共面，从而点M在平面ABC内.12 .如右图，在棱长为。的正方体A8CQ-A8CZ中,G为aBGO的重心，(1)试证：4、G、。三点共线；(2)试证：AIuL平面8CO;(3)求点C到平面BCxD的
8、距离.证明CA=CB+BA+AAi=CB+CD+CC,可以证明：CG=g(C8+CD+CG)=gc4,.CGCAt即Ai、G、。三点共线.(2)证明设CB=MCD=b,CCi=c,则=IM=IC=,且协=bc=c=O,9CA=a+b+cfBC=c-afCABC=(c)(c-)=c2-a2=0,CABC,即C4_L8Ci,同理可证：CABDf因此4CJ平面BelD(3)解.CA=+O+c,CA2=a2-b2-c2=3a2f即ICAII=5,因此ICGI=争/.即C到平面BCxD的距离为坐以13 .如图，直三棱柱ABC48C,底面AABC中，CA=CB=I,NBCA=90。,棱A4=2,M、N分别是AIA的中点.(1)求的的模；(2)求CoS解AB=a,AC=btAD=c.则IaI=IAl=ICI=L(atb)=(b,c)=(c,a)=60,(1)EF=2D=c-a,BA=a,DC=b-c,EF3A=&-；a).(_a)=52%c=；,(2)EFDC=2(c)(bC)1-4力/(1-2(3)EG=EB+BC+CG=a+b-ac-bIEGF=%+射+*-+b+c-%=3,则IEGI=当AGGE 2= TT= 3, cosAG, CE)AGCE由于异面直线所成角的范围是(0。，90。,2所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为东
