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1、正弦定理在在RtABC中中,各角与其对边各角与其对边(角角A的对边一的对边一般记为般记为a，其余类似，其余类似)的关系的关系:caA sincbB sin1sinC不难得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc在非直角三角形在非直角三角形ABCABC中有这样的关系吗中有这样的关系吗?AcbaCBbADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC,即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时有若三角形是若三角形是锐角三角形锐角三角形,如图如图1,CCbADsinsin）（且CcBbAasi
2、nsinsin仿(2)可得D若三角形是若三角形是钝角三角形钝角三角形,且角且角C是是钝角钝角如图如图2,此时也有cADB sin交BC延长线于D,过点A作ADBC，CAcbB图2正弦定理:CcBbAasinsinsin 即在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？（R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）另证1:RCcBbAa2sinsinsin 证明：证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直
3、径BC/,连AC/,剖析定理、加深理解1 1、正弦定理可以解决三角形中的问题：、正弦定理可以解决三角形中的问题：已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和边，求其他角和边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角RCcBbAa2sinsinsin 正弦定理：正弦定理：剖析定理、加深理解RCcBbAa2sinsinsin 正弦定理：正弦定理：2 2、A+B+C=A+B+C=3 3、大角对大边，大边对大角、大角对大边，大边对大角剖析定理、加深理解RCcBbAa2sinsinsin 正弦定理：正弦定理：4 4、一般地，
4、把三角形的三个角、一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C和它们的对边和它们的对边a a，b b，c c叫做叫做三角形的元三角形的元素素。已知三角形的几个元素求其他元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫的过程叫解三角形解三角形剖析定理、加深理解RCcBbAa2sinsinsin 正弦定理：正弦定理：5 5、正弦定理的变形形式、正弦定理的变形形式6 6、正弦定理、正弦定理，可以用来判断三角形的，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化系的转化定理的应用例例 1 1、在、在ABC ABC 中，已知中，已知c=10,c=10,A=4
5、5A=45。,C=30,C=30。，解三角形解三角形 已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两边和一角BACabc另证2:证明：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsinCabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21例 2、已知a=16，b=，A=30.解三角形已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以6
6、0,或120当 时60C=90.32cC=30.16sinsinACac316当120时B16300ABC16316变式:a=30,b=26,A=30，解三角形300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70,或180025.70=154.30由于154.30+3001800故B只有一解（如图）C=124.30,57.49sinsinACac变式:a=30,b=26,A=30，解三角形300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70,C=124.30,57.4
7、9sinsinACac30137.25sina b A B,三角形中大边对大角课堂小结课堂小结（1）三角形常用公式：）三角形常用公式：（2）正弦定理的应用）正弦定理的应用正弦定理：正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC2R课后作业课后作业P10 习题习题1.1A组组 1，2（1）（）（2）课堂小结（2）正弦定理应用范围：已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)(1)正弦定理：sinsinsinabcABC2R已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其求其他边和角时他
8、边和角时,三角形三角形什么情况下有什么情况下有一解一解,二解二解,无解无解?课后思考课后思考例在例在ABC中，已知中，已知a2，b ，A45，求求B和和c。22变式变式1：在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45，求求B和和c。22变式变式2：在在ABC中，已知中，已知a ，b ，A45，求求B和和c。22334正弦定理应用二：正弦定理应用二：已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）。（要注意可能有两解）3练习练习2、在、在 ABC中，若中，若 a=2bsinA，则，则B A、B、C、D、36653326或或或或登高登高3、在、在 ABC中，中，则，则 ABC的形状是的形状是 A、等腰三角形、等腰三角形 B、直角三角形、直角三角形 C、等腰直角三角形、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形、等腰三角形或直角三角形AbBacoscos练习练习1、在、在 ABC中，若中，若A：B：C=1：2：3，则，则 a:b:c()A、1:2:3 B、3:2:1 C、1:2 D、2:133自我提高！自我提高！
