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1、复习引入复习引入 如图，固定如图，固定ABC的边的边CB及及B，使边使边AC绕着顶点绕着顶点C转动转动.思考：思考：C的大小与它的对边的大小与它的对边AB的长度的长度之间有怎样的数量关系？之间有怎样的数量关系？显然，边显然，边AB的长度随着其对角的长度随着其对角C的大小的增大而增大的大小的增大而增大.能否用一个等式把能否用一个等式把这种关系精确地表示出这种关系精确地表示出来？来？BCAACBcba想一想想一想?中在一个直角三角形ABCAsincaAacsinBsincbBbcsinCsincc1Cccsin问题问题（2 2）上述结论是否可推广到任意三角形）上述结论是否可推广到任意三角形?若成立
2、，如何证明？若成立，如何证明？CcBbAasinsinsin（1 1）你有何结论）你有何结论?二、定理的猜想二、定理的猜想(1)当当 是锐角三角形时是锐角三角形时,结论是否还成立呢结论是否还成立呢?ABC D如图如图:作作AB上的高是上的高是CD,根椐根椐三角形的定义三角形的定义,得到得到.sinsinbcAEBCBC同同理理,作,作有有 sinsinsinabcABC 正弦定理证明正弦定理证明sin,sinCDaB CDbA sinsinaBbA 所所以以 sinsinabAB 得得到到 BACabcE(2)当当 是钝角三角形时是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立以上等式是否仍然成立?ABC
3、BACbca正弦定理证明正弦定理证明DOB/cbaCBARCcRcBCBCBAB2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理二、定理的证明二、定理的证明.sinsinsin都成立对任意三角形CcBbAa（1 1）文字叙述文字叙述正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等的正弦的比相等.（2）结构特点结构特点（3 3）方程的观点）方程的观点正弦定理实际上是已知其中三个正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个求另一个.和谐美、对称美和谐美、对称美.正弦定理正弦定理:CcBbAasinsinsin
4、 解三角形：解三角形：一般地，已知三角形的某些边一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形.一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A,B,CA,B,C和和它们的对边它们的对边a,b,ca,b,c叫做三角形的元素。叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做过程叫做解三角形解三角形。You try75)(180BAC解：45sin60sin42CcBbAasinsinsinABabsinsin621222342.42,60,45.1解三角形已知中在例cmaBA，ABC正弦定理应用一
5、：正弦定理应用一：已知两角和任意一边，求其余两边和一角已知两角和任意一边，求其余两边和一角;,120,30,12)1(.10aBAbABC求已知中在.,30,45,10)2(ABCSbCAc求已知.,2,60,30)3(00caCBA求已知点拨：点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角已知两角和任意一边，求其余两边和一角,此时的解是唯一的此时的解是唯一的.;,)(aBAb求已知1203012100012030121sinsinsinsin,sinsin)(BAbaBbAa解：34.,30,45,102ABCSbCAc 求求）已已知知（,sinsinCcBb 解解：)(1325,105)304
6、5(180)(180 CAB)26(530sin105sin10sinsin CBcbAbcSABCsin21 45sin10)26(521 .,2,60,30)3(caCBA求求已知已知 ,sinsinCcAa又60,30 CBA:解150 CB45 C2230452sinsinsinsinACac.,.2,45,6.2CBbaAc，ABC和求已知中在例sinsinbABa解：20120sin28 11037 .本本题题无无解解(3)20,28,120,.abA已知解这个三角形变式1：正弦定理应用二：正弦定理应用二：已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进已知两边和其中一边对角，求另一边的
7、对角，进而可求其它的边和角。（要注意可能有一解、两解、无解）而可求其它的边和角。（要注意可能有一解、两解、无解）变式变式2：在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45，求求B和和c。22232224264sinsin105)(150302142222sinsinsinsin:000 ACacCBaAbBBbAa舍去舍去或或解解;,60,1,3)1(CAaBcbABC，和求已知中练习：在9030,60,ACCBCBcb，为锐角，,sinsinCcBb 解解：21360sin1sinsin bBcC222 bca.,45,22,32)2(ABba求求已已知知 bBaAsinsin 解解：2322
8、45sin32 )(,大大边边对对大大角角CAba 12060 或或 A点拨点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形已知两边和其中一边的对角解三角形时时,通常要用到通常要用到三角形内角和定理或大边对大三角形内角和定理或大边对大角定理角定理等三角形有关性质等三角形有关性质.3练习练习2、在、在 ABC中，若中，若 a=2bsinA，则，则B()A、B、C、D、36653326或或或或练习练习1、在、在 ABC中，若中，若A：B：C=1：2：3，则，则 a:b:c()A、1:2:3 B、3:2:1 C、1:2 D、2:133自我提高！自我提高！A、等腰三角形、等腰三角形 B、直角三角形、直角三角形
9、C、等腰直角三角形、等腰直角三角形 D、不能确定、不能确定)(,sinsinsin,.3222ABCCBAABC的形状是的形状是则则若若中中在在练习练习 CCB二种二种 定义法定义法 外接圆法外接圆法定理定理应用应用方法方法 课时小结课时小结二个二个 已知两角和一边已知两角和一边（只有一解）（只有一解）已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角 （有一解，两解，无解）（有一解，两解，无解）一个一个 正弦定理正弦定理CcBbAasinsinsin;,60,1,3)1(CAaBcbABC，和求已知中在。求已知ABba,45,22,32)2(0(3)20,28,120,.abA已知解这个三角形
10、;,60,1,3)1(CAaBcbABC，和求已知中在。求已知ABba,45,22,32)2(0(3)20,28,120,.abA已知解这个三角形点拨点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形已知两边和其中一边的对角解三角形时时,通常要用到通常要用到三角形内角定理和定理或大边三角形内角定理和定理或大边对大角定理对大角定理等三角形有关性质等三角形有关性质.在锐角三角形中在锐角三角形中.的的夹夹角角为为与与，的的夹夹角角为为与与，的的夹夹角角为为与与ABjCBjACjC 90A 9090由向量加法的三角形法则由向量加法的三角形法则ABCBAC ABjCBjACjABjCBACjj 得得的的数数量量积积
11、两两边边同同取取与与,)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj 定定义义）（根根据据向向量量的的数数量量积积的的CcAaAcCasinsinsinsin 即即在在锐锐角角三三角角形形中中，可可得得垂垂直直于于点点作作过过同同理理,sinsin,BbCcCBjCCcBbAasinsinsin 也也有有jBACabc，于于垂垂直直作作单单位位向向量量证证明明：过过点点ACjA在钝角三角形中在钝角三角形中ABCj的的夹夹角角为为与与的的夹夹角角为为与与则则垂垂直直的的单单位位向向量量作作与与过过点点设设CBjABjjACAA,900 90 AC 90具体证明过程具体证明过程马上完成马上完成!
