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1、排列的简单应用排列的简单应用排列的简单应用排列的简单应用 目的：目的：理解掌握含有特殊限制条件的排队问题的解决方法，进一步培养分析问题、解决问题的能力 重点：重点：优限法、捆绑法、插空法的运用 一、一、【概念复习概念复习】：1排列的定义排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；从n个不同元素中，任取m(mn)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列一个排列.2排列数的定义，排列数的计算公式排列数的定义，排列数的计算公式)1()2)(1(mnnnnAmn)!(!mnnAmn3练习：练习：7位同学站成一排，共有多少种不同位同学站
2、成一排，共有多少种不同的排法？的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列A775040 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列A66=720 7位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多少种不同的排法？少种不同的排法？解一：甲站其余六个位置之一有A61种，其余6人全排列有A66 种，共有A61 A66=4320解二：从其他6人中先选出一人站首位，有A61，剩下6人（含甲）全排列，有A66，共有A61 A66=4320解三：7人全排列有
3、A77，甲在首位的有A66，所以共有 A77-A66=7 A66-A66=4320二、新课二、新课：例：例：7位同学站成一排位同学站成一排甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有A22种；第二步 余下的5名同学进行全排列有A55种 则共有A22 A55=240种排列方法甲乙乙甲 abcde ebdcaA55A55A22A22甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A52种方法；第二步 从余下的5位同学
4、中选5位进行排列（全排列）有A55种方法，所以一共有A52 A55 2400种排列方法解法二：若甲站在排头有A66种方法；若乙站在排尾有A66种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有A55种方法所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有 A77 2 A66 A55=2400种小小 结一：结一：对于“在在”与“不在不在”等有特殊元素特殊元素或特殊位置或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊先排特殊元素或特殊位置位置，称为优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法（优限法优限法）甲、乙两同学必须甲、乙两同学必须相邻相邻的排法共有多少种？的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”
5、在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法所以这样的排法一共有A66 A22 1440种拓展：甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？拓展：甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有A55A33 720种解法一：将甲、乙两同学“捆绑捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A52种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑松绑”进行排列有A22种方法所以这样的排法一共有A52 A
6、44 A22 960种方法甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？的排法有多少种？解法二：解法二：将甲、乙两同学将甲、乙两同学“捆绑捆绑”在一起看成一个元素，在一起看成一个元素，此时一共有此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有个元素，若丙站在排头或排尾有2A55种方法，种方法，所 以 丙 不 能 站 在 排 头 和 排 尾 的 排 法 有所 以 丙 不 能 站 在 排 头 和 排 尾 的 排 法 有（A66 -2A55）A22=960种方法种方法 小结二：小结二：对于相邻问题，常对于相邻问题，常用用“捆 绑 法捆 绑 法”（
7、先 捆 后先 捆 后松松）解法三解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A41种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有A41 A55 A22 960种方法甲、乙两同学甲、乙两同学不能相邻不能相邻的排法共有多少种？的排法共有多少种？解法一：（排除法）A77-A66 A22=3600 解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有A55种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空空”），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有A62种方法，cbade所以一共有
8、A55 A62=3600种方法乙乙甲甲拓展：拓展：甲、乙和丙三个同学都不能相邻不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A53种方法，所以一共有A44 A53 1440种小结三小结三：对于不相邻不相邻问题，常用“插 空 法插 空 法”（特 殊 元 素特 殊 元 素考考虑虑）三、练习：三名女生和五名三名女生和五名男生排成一排，男生排成一排，如果女生全排在一起，有多少种不同排法？如果女生全分开，有多少种不同排法？如果两端都不能都不能排女生，有多少种不同排法？如果两端不能都不能都排女生，有多少种不同
9、排法？A66 A33=4320 A55A63=14400 A52A66=14400 A52A66+2A31A51A66=36000或A88-A32 A66=36000某些元素不能在或必须排列在某一位置；某些元素要求连排（即必须相邻）；某些元素要求分离（即不能相邻）；某些元素要求必须相邻必须相邻时，可以先将这些元素看作一看作一个个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法捆绑法”；某些元素不相邻不相邻排列时，可以先排其他先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法插空法”有特殊元素或特殊位置特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊先排特殊元素或特殊位置元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法“优优限法限法”；2基本的解题方法解题方法：1对有约束条件的排列问题约束条件的排列问题，应注意如下类型：四、小结：四、小结：创新练习创新练习 某班某班8运动员在运动会运动员在运动会后排成一排照像留念，后排成一排照像留念，（1）若甲乙两人之间）若甲乙两人之间必须间隔一人，有多必须间隔一人，有多少种不同排法？少种不同排法？（2）若甲乙两人之间）若甲乙两人之间至少间隔两人，有多至少间隔两人，有多少种不同排法？少种不同排法？
