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1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布问题的提出问题的提出:第二章讨论了一个随机变量的情第二章讨论了一个随机变量的情况况,但实际问题中但实际问题中,还有很多随机现象涉及到多还有很多随机现象涉及到多个随机变量个随机变量,例如例如:1).炮弹的着地点炮弹的着地点,由平面上的由平面上的(X,Y)来确定横坐来确定横坐标和纵坐标是定义在同一样空间的两个随机标和纵坐标是定义在同一样空间的两个随机变量变量2).研究某地区学龄儿童的发育情况研究某地区学龄儿童的发育情况,对该地区对该地区儿童抽查儿童抽查,每个儿童观察其身高每个儿童观察其身高H与体重与体重W,样本空间样本空间S=e=该地区全部学龄
2、儿童该地区全部学龄儿童,H(e),W(e)为定义在为定义在S上的两个随机变量上的两个随机变量.这些随机变量之间有某种联系这些随机变量之间有某种联系,需要作为一需要作为一个整体来考虑个整体来考虑.eS()X e()Y e1.二维随机变量二维随机变量一一.二维随机变量的定义二维随机变量的定义:设为设为E随机实验随机实验,样本空间是样本空间是,Se设设()()(,)XX eY Y eSX Y和是定义在 的随机变量，由它们构成的一个向量，叫做二维随机向量或二维随机变量注注:二维随机变量二维随机变量(X,Y)可以看作平面上的随机可以看作平面上的随机点点,它的性质不仅它的性质不仅X与与Y及有关及有关,还赖
3、于二者还赖于二者的相互关系的相互关系二二维随机变量的分布函数二二维随机变量的分布函数1.定义：定义：(,),X Yx y设是二维随机变量,对任意实数二元函数(,)()(),F x yp XxYyp XxYy(,)X YXY称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量 和 联合分布函数说明：说明：(,)(,)(,)F x yx yx y分布函数在点处的函数值,就是随机点,落在以点为定点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率.(图示)xy(,)x y(,),12 12,(,)(,)(,)12 122 21 21 1X Yxx x yx yxx x yx yF x yF x yF x y 随机点落在矩形
4、域内概率p其图形为：其图形为：x12xx1y2yy2.(,)(1)(,)(,)(,)1212(,)(,)212F x yF x yxyxxF x yF x yyyyF x yF x yx分布函数的基本性质是变量 和 的不减函数;当时，对固定的 当时，对固定的(2)0(,)1,(,)0 ,(,)0,(,)0,(,)1F x yy Fyy FyFF 且对对(3)(,)(,)(0,)(,)(,0)F x yxyF x yF xyF x yF x y关于 与 右连续,即(4)(,),(,),1 12 212 12(,)(,)(,)(,)02 22 11 21 1 ,12 12x yx yxx yyF
5、x yF x yF x yF x yp xXx yYy 则二离散型的二维随机变量二离散型的二维随机变量1.定义定义:如果二维随机变量如果二维随机变量(X,Y)全部可能的全部可能的值有限或可到无限多时值有限或可到无限多时,则称则称(X,Y)是离散是离散型的随机变量型的随机变量(,)(,),1,2,1,2,.(,)X Yx y i jp Xx Yypi iiiiji jX YXY 若二维随机变量的所有可能取值为.称为二维离散型随机变量的分布律/概率分布,或随机变量 和 的联合分布律/联合概率分布0,1.,(2)ppijiji j说明:(1)由概率定义，有也可用表格来表示二维离散型 随机变量的分布律
6、12111211212222313233xxxiypppiypppiypppiXY例例1:设随即变量设随即变量X在在1,2,3,4中等可能取值中等可能取值,随机随机1(,)XX Y变量在中等可能取整数值,求的分布律.,1,2,3,4,1,|1 1 (1,2,3,4.1)4 2X iYjij ijpX iYjp X i p Yj X iij i 解：且 为整数,则利用乘法原理故故(X,Y)的分布律为：的分布律为：123411111481216111208121611300121614000162.分布函数分布函数(离散型二维随机变量的分布函数离散型二维随机变量的分布函数)离散型随机变量离散型随机
7、变量X和和Y的联合分布函数的联合分布函数(,),F x ypijx xyyijxx yyi jij其中和式是对一切满足的求和.四四.连续型的二维随机变量连续型的二维随机变量1.(,)(,)(,),(,)(,),(,)(,)(,)X YF x yf x yyxx yF x yf u v dudvX Yf x yX YXY定义：对二维随机变量的分布函数 若存在非负的函数使对任意有则称是连续型的二维随机变量;函数成为二维随机变量的概率密度或随机变量 和 的联合概率密度2.性质性质:概率密度具有如下的性质概率密度具有如下的性质:(1)(,)0.(2)(,)(,)1.(3)(,)(,)(,).(,)(4
8、)(,)(,)(,).f x yf x y dxdy FGxoyx yGp x yGf x y dxdyGF x yf x yx yf x yx y 设 是平面上的区域,点落在 内的 概率2若在点连续,则类似一维情形类似一维情形,在在(,)f x y 的连续点处,lim0,02(,)(,).p x Xxx y Yyyx yxyF x yf x yx y ,(,).(,)(,(,(,).xyp x Xxx y Yyyf x yx yx yx xxy yyf x yx y 从而当很小时即落在小长方形内的概率2:(,)(2),0,(,)0,.(,),(3).X Yx yAexf x yAF x yp
9、 Yy例 设随机变量具有概率密度其它求:(1)系数 (2)分布函数(1)(,)1(2)10 02 2002f x y dxdyx yAedxdyyAxAedxe dyA .解：由知从而(2)00(,)(,)0(2)0,0(,)2(0,0)2 =2002 =(1-)(1)xyxyF x yf uv dudvxyu vxyF x yedudvI uvxyuveduedvyxee 当或时当时2(1)(1),0,0,(,)0,.yxeexyF x y故其它(3)(,)(2)(2)031 03p Yyf x y dxdyy xx yedx dyyyedy GyxYX3:.1 (,),(,)(,)0,.G
10、Ax yGX Yf x yA例 设 平面上有界区域,其面积为 若二维 随机变量具有概率密度其它(,)1 01,01,(,)0,.X YGxyf x y 则称在 上服从均匀分布,现若其它11(1)(,)(2)(1)22122 (3)()4p XYp X Yp xy 求11(1)(,)(01,01)2211,22 p XYIxydxdyxy 解：11122()()004dxdy(2)1(01,01)11 111 (1)0 002122(3)(01,01)422122 (cos,sin)0016p X YIxydxdyx yxdy dxx dxp XYIxydxdyxyx ry rdrdr SGG
11、事实上,对二维均匀分布而言,所求事件概率事件在区域 中的面积=,nESe五 维随机变量1.定义:设 是一随机试验,其样本空间(),(),()n1122,)2XX e XXeXXeSnnXXnn设是定义在 上的随机变量,由它们构成的 维向量(X1称为 维随机变量2.,1,2,.(,),1 21122 (,)12,12,xRiniF x xxp Xx XxXxnnnnX XXnX XXnX t Tt 分布函数：对称为 维随机变量的分布函数或随机变量的联合分布函数它具有类似于二维随机变量分布函数的性质再推广至随机过程(,)()1 ,.11X YXp x xp XxYyiijjp Xx Yyppiii
12、jijj中关于 的边缘分布律为 (,)(1,2,).1X YYp Yyppjjijji同样地，中关于 的边缘分布律为(,)(,),()(,)(,)X Yf x yxFxF xf x y dy dxXX 三.连续型二维随机变量的边缘分布.设的概率密度函数为则由一维连续型随机变量的定义知 为2.边缘分布边缘分布.:(,),(),()(,)(),(,)()(,).(,)()lim(,);()lim(,)X YX YFx FyX YXYXYFxp Xxp XxYF xXFyF yYFxF x y FyF x yyxXX YY 一定义二维随机变量中单个随机变量的分布函数分别称为中关于 和 的边缘分布函数
13、的联同理换言之，合分布确定其边缘分布！()(,)1 FxF xpijXx x ji 二.离散型二维随机变量的边缘分布(,)()1 ,.11X YXp x xp XxYyiijjp Xx Yyppiiijijj中关于 的边缘分布律为 (,)(1,2,).1X YYp Yyppjiijji同样地，中关于 的边缘分布律为(,)(,),()(,)(,)X Yf x yxFxF xf x y dy dxXX 三.连续型二维随机变量的边缘分布设的概率密度函数为则由一维连续型随即变量的定义知()(,).(,)()(,).(,)()(),fxf x y dyX YXXYfyf x y dyX YYYfxfyX
14、 YXY为连续型随机变量.且概率密度为关于 的边缘概率密度)同理,也是一个连续随机变量,其概率密度为关于 的边缘概率密度)分别称为，为的边缘概率密度四四.例题解析例题解析设随即变量设随即变量X在在1,2,3,4中等可能取值中等可能取值,另一个随另一个随1(,)XX Y机变量在中等可能取整数值,试求的分布律及边缘分布律.(,),11|,1,2,3,4,1,.4X Yp X iYjP X i p Yj X iijii 解：的联合分布律为(,)11 1,1,2,3,4.4 411(,)25,112344813 ,22344847 ,3 34481 X YXiip X ipiijijjX YYpppp
15、jjjjjpppjjjjp Yjpppjijjji 关于 的边缘分布律为关于 的边缘分布律为 1 ,4416pjj25111148121648131118121648711121648311648111144441234()1203004000()jiP YyP XxXY通常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上通常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上.例例2：设：设(X,Y)服从区域服从区域G上的均匀分布上的均匀分布,1,(,),(,)0,.x yGAf x yelse (即其概率密度为其中即其概率密度为其中A为区域为区域G的面积的面积.)若若G是由是由x,y轴与直线轴与直线x+y2=1所
16、围的三角形区所围的三角形区域，求域，求(X,Y)的边缘密度的边缘密度?解：解：G的面积的面积A=1，故，故222(1)01201,(,).(,)0,.0102(,)02(1)0112(1),01()(,)0,11,02()(,)0,yyxXyYx yGf x yelsexyx yGyxxdyxxfxf x y dyelsedxyfyf x y dxelse例例3：设二维随机变量：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度26,.(,)0,.xyxf x yelse求边缘概率密度求边缘概率密度.222010166(),01()(,)0,66(),01()(,)0,xxXyyYyxyxxyxydyxxxfxf x y dyelsedyyyyfyf x y dxelse确定区域：解：解：例例4:若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度212221122122212212121212121212()11(,)exp2(1)21()()()2,0,0,11.(,),.,(,)(,).xf x yxxyx yRX YX YN 其中为常数,且则称服从参数为的二维正态分布.
