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1、第第13章章 晶格振动晶格振动13.1 一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动13.3 周期边界条件与格波数周期边界条件与格波数13.4 晶格振动的量子化和声子晶格振动的量子化和声子13.5 晶格比热晶格比热第第13章章 晶格振动晶格振动13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动物理模型一维单原子晶格振动物理模型xn+1xn+2xnxn-1xn-2nn+1n+2n-2n-1nn+1n+2n+3n-3n-2n-1axn-3xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3两原子间的两原子间的相对位移：相对位移：=x=xn+1n+1-x-x
2、n n平衡时两原平衡时两原子间作用势子间作用势U U（a a）U(a+U(a+)13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似简谐近似运动方程运动方程方程的解方程的解x xn n色散方程色散方程讨论讨论annnaarUnrUrUaUaU)(!)(!2)()()(222 1.1.将偏离平衡位置后的势能在平衡位置处泰勒展开将偏离平衡位置后的势能在平衡位置处泰勒展开arUaUaU)(!2)()(222高阶高阶略去略去平衡时势能平衡时势能为极小值为极小值2.2.将将U(a+U(a+)对对求偏导求偏导常数常数arUUF)(22：力常数：力常数kxF简谐运动简谐运动公式公式简简谐谐近近似似作用力作用
3、力nn+1n+2n+3n-3n-2n-1axn-3xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+313.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似简谐近似运动方程运动方程方程的解方程的解x xn n色散方程色散方程讨论讨论3.3.相邻两个原子间的作用力相邻两个原子间的作用力arUUF)(22nn+1n+2n+3n-3n-2n-1axn-3xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3)()(1211nnnnxxFxxFF F1 1F F2 2)2(FF1121nnnxxxF)2(11nnnnxxxxm 对时间的对时间的二阶导数二阶导数牛二牛二13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似简
4、谐近似运动方程运动方程方程的解方程的解x xn n色散方程色散方程讨论讨论4.4.从力的方程到振动位移方程从力的方程到振动位移方程nn+1n+2n+3n-3n-2n-1axn-3xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3F F1 1F F2 2)2(11nnnnxxxxm)(tqnainAexn+2n-2n+1n-1n简谐波的简谐波的试探解试探解在简谐近似下，晶格振动以平面波在简谐近似下，晶格振动以平面波的形式在晶体中传播的形式在晶体中传播格波格波2q波矢波矢振幅振幅a2aq相邻原子相邻原子相位差相位差振动角振动角频率频率13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似简谐近似运动方程运
5、动方程方程的解方程的解x xn n色散方程色散方程讨论讨论nn+1n+2n+3n-3n-2n-1axn-3xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3F F1 1F F2 2)(tqnainAexn+2n-2n+1n-1n格波格波ntqnaitqnaSitqmaimxAeAeAex)()2()(ma-na=Sma-na=S所有原子都以相同所有原子都以相同和和A A做简谐振动做简谐振动简谐波的特性简谐波的特性周期性周期性13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似简谐近似运动方程运动方程方程的解方程的解x xn n色散方程色散方程讨论讨论5.5.色散方程的求出色散方程的求出nn+1n+2
6、n+3n-3n-2n-1axn-3xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3F F1 1F F2 2orpq色散关系之讨论色散关系之讨论)2(11nnnnxxxxm)(tqnainAex)21(sin422qam13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似简谐近似运动方程运动方程方程的解方程的解x xn n色散方程色散方程讨论讨论5.5.色散方程的求出色散方程的求出nn+1n+2n+3n-3n-2n-1axn-3xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3F F1 1F F2 2)21(sin422qamm2)21sin(maxmaxqa13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简
7、谐近似简谐近似运动方程运动方程方程的解方程的解x xn n色散方程色散方程讨论讨论6.6.有关色散方程的讨论有关色散方程的讨论)21sin(maxqamaxmaxO/a-/aqI.I.周期性周期性&偶对称偶对称只有在第只有在第一布区才一布区才能找到唯能找到唯一波矢解一波矢解第一布区外的第一布区外的波矢点可以找波矢点可以找到其在第一布到其在第一布区的等效点区的等效点q qq q/anqq2/13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似简谐近似运动方程运动方程方程的解方程的解x xn n色散方程色散方程讨论讨论6.6.有关色散方程的讨论有关色散方程的讨论aaq242I.I.周期性周期性&偶
8、对称偶对称22/qanqqaaq255/42/aqq2/两个波矢等效两个波矢等效等效点等效点13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似简谐近似运动方程运动方程方程的解方程的解x xn n色散方程色散方程讨论讨论6.6.有关色散方程的讨论有关色散方程的讨论)21sin(maxqamaxmaxO/a-/aqII.II.对波长的讨论对波长的讨论长波极限长波极限0q2maxqa讨论问题区域在第一讨论问题区域在第一布区原点附近布区原点附近qaqaq21)21sin(0q q线性关系线性关系maaqqvpmax222相速度与相速度与波长无关波长无关13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐
9、近似简谐近似运动方程运动方程方程的解方程的解x xn n色散方程色散方程讨论讨论6.6.有关色散方程的讨论有关色散方程的讨论)21sin(maxqaII.II.对波长的讨论对波长的讨论长波极限长波极限maaqqvpmax222相速度与波长无关相速度与波长无关与宏观弹性波的性质一致与宏观弹性波的性质一致13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似简谐近似运动方程运动方程方程的解方程的解x xn n色散方程色散方程讨论讨论6.6.有关色散方程的讨论有关色散方程的讨论)21sin(maxqaII.II.对波长的讨论对波长的讨论短波极限短波极限aaq2讨论问题区域在第一讨论问题区域在第一布区的
10、布区边缘布区的布区边缘maxmaxO/a-/aqaq连续介质的整体运动，连续介质的整体运动，=0=0，恢复力为恢复力为0 0相邻原子反向振动，相邻原子反向振动，=maxmax，恢复力最大恢复力最大13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动物理模型一维双原子晶格振动物理模型2aMmMMmMm2n2n+22n+12n-22n-12amM2n-313.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动简谐近似简谐近似运动方程运动方程方程的解方程的解x xn n色散方程色散方程讨论讨论1.1.从运动方程到色散方程从运动方程到色散方程)2()2(2121221222212nnnnnnnnxx
11、xxMxxxxm )tna2q(in2)ta)1n2(q(i1n2BexAex2n2n+22n+12n-22n-12amM2n-30)cos(2)2(0)cos(2)2(22AqaBMBqaAm13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动简谐近似简谐近似运动方程运动方程方程的解方程的解x xn n色散方程色散方程讨论讨论1.1.从运动方程到色散方程从运动方程到色散方程2n2n+22n+12n-22n-12amM2n-30)cos(2)2(0)cos(2)2(22AqaBMBqaAm振幅振幅A&BA&B有非零解有非零解02)cos(2)cos(2222Mqaqam)2cos(2)(222qaM
12、mmMmMMm13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动简谐近似简谐近似运动方程运动方程方程的解方程的解x xn n色散方程色散方程讨论讨论1.1.从运动方程到色散方程从运动方程到色散方程2n2n+22n+12n-22n-12amM2n-3)2cos(2)(222qaMmmMmMMm)2cos(2)()2cos(2)(222222qaMmmMmMMmqaMmmMmMMma2 a2)11(2maxmMm2mino qM2max+:光学支光学支-:声学支声学支0min13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动2.2.声学支和光学支振动特点声学支和光学支振动特点2n2n+22n+12n-22
13、n-12amM2n-3I.I.一般情况下，声学波相邻（一般情况下，声学波相邻（M&mM&m）原子沿同一方向振动；光）原子沿同一方向振动；光学波相邻原子沿相反方向振动学波相邻原子沿相反方向振动声声学学波波光光学学波波13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动2.2.声学支和光学支振动特点声学支和光学支振动特点2n2n+22n+12n-22n-12amM2n-3II.II.长波极限下，长声学波两种原子运动完全长波极限下，长声学波两种原子运动完全一致一致，且振幅和，且振幅和位相都无差别，此时长声学波代表着位相都无差别，此时长声学波代表着原胞质心的运动原胞质心的运动；长光；长光学波，异类原子学波，
14、异类原子反向反向振动，振动，原胞质心保持不动原胞质心保持不动；0q长声学波长声学波长光学波长光学波布区中布区中心附近心附近13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动2.2.声学支和光学支振动特点声学支和光学支振动特点2n2n+22n+12n-22n-12amM2n-3III.III.短波极限下，声学波短波极限下，声学波轻原子不振动轻原子不振动，重原子振动；光学，重原子振动；光学波波重原子不振动重原子不振动，轻原子振动；，轻原子振动；短波极限下声学波短波极限下声学波短波极限下光学波短波极限下光学波aaq42布区边布区边缘附近缘附近13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动2.2.声学支和
15、光学支振动特点声学支和光学支振动特点2n2n+22n+12n-22n-12amM2n-3声学波声学波光学波光学波0 q0 qaq2 声学波声学波aq2 光学波光学波长波极限长波极限短波极限短波极限13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动关于声学支和光学支关于声学支和光学支运动特点的推导运动特点的推导晶格振动晶格振动.一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动.色散关系色散关系.声学支声学支2122212222)(sin)(411)()2cos(1(2)()()2cos(2)(qamMMmmMMmqaMmmMmMMmqaMmmMmMMm)sin()2(21qamM xxxifqamMMm21
16、1)1(1.1)(sin)(42122一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动.色散关系色散关系.声学支之长波极限声学支之长波极限)sin()2(21qamM qamM21)2()sin()2(21qamM 0)cos(2)2(0)cos(2)2(22AqaBMBqaAm12)cos(2)(2mqaBAqaqa)sin(一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动.色散关系色散关系.声学支之短波极限声学支之短波极限aq2M2maxM2max0)cos(2)2(0)cos(2)2(22AqaBMBqaAm)2cos(2)(222qaMmmMmMMm一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动.色散关系色散关系.声学支之一般情况声学支之一般情况02)cos(2)(2mqaBA22max2Mm0)cos(2)2(0)cos(2)2(22AqaBMBqaAm一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动.色散关系色散关系.光学支光学支2122212222)(sin)(411)()2cos(1(2)()()2cos(2)(qamMMmmMMmqaMmmMmMMmqaMmmMmMMm)(sin)(1)(2222
