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1、第十四章第十四章 超静定结构超静定结构141 超静定结构超静定结构142 用力法解超静定结构用力法解超静定结构143 对称及反对称性质的应用对称及反对称性质的应用 用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为静不定结构静不定结构(或静不定系统)，也称为超静定结构超静定结构(或超静定系统)。在静不定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为多多余约束余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力多余约束反力，多余约束的数目为结构的静不定次数静不定次数。14-1 超静定结构概述静不定问题分类静不定问题分类第一类：外力静不定：外力静不定：仅在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的。第二类：
2、内力静不定：内力静不定：仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的。第三类：混合静不定：混合静不定：在结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内力是静不定的。第一类第一类第二类第二类FFFFBFFACFDBCFD第三类第三类分析方法分析方法1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。一、力法的基本思路（举例说明）一、力法的基本思路（举例说明）解：判定静不定次数（一次）例例1 如图所示，梁EI为常数。试求支座反力，作弯矩图。14-2 用力法解超静定结构用力法解超静定结构选取并去除多余约束，得到静定基，见图(b)。ClPABl(a)X1P(b)CAB列出
3、变形协调方程：0B 加上原载荷,加上多余约束反力，应用叠加法：11111XXP1PB11XX10111XPBA11101111XP变形协调方程变形协调方程01111PX或：或：力法正则方程力法正则方程系数11和1P可由莫尔定理求得(图c、d)265()21(11llPlEIP)232()2221(111lllEIAB1(d)(c)PBPl2lEIPl65 3EIl3 830653 8313EIPlXEIlPX165 1CPAB165P求其它约束反力 由平衡方程可求得 A 端反力，其大小和方向。作弯矩图，见图(e)。1611P83Pl(e)163Pl325Pl+注意注意：对于同一静不定结构，若选
4、取不同的多余约束，则基本静定系也不同。本题中若选固定段处的转动约束为多余约束，基本静定系是如图所示的简支梁。CPABX1二、力法正则方程二、力法正则方程01111PX11在基本静定系上，X1取单位值时引起的在X1作用点沿 X1方向的位移；变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。X1多余未知量；1P在基本静定系上，由原载荷引起的在X1作用点沿 X1方向的位移；力法解超静定的基本步骤：力法解超静定的基本步骤：判定静不定次数选取并去除多余约束，代以多余约束反力。建立力法正则方程：画出两个图：原载荷图和单位力图。计算正则方程的系数：1P和11程，两图互乘得1P，单位力图自乘得11。01111PX
5、试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。解：刚架为一次超静定。选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统。qABX1建立力法正则方程01111PX计算系数11和自由项1P例例2qaABaqABx1x201P102111d(1xxEIaAB101111PX8 1qaX 代入力法正则方程：x1x2EIqa64)d202xaaEIa3430634413EIqaXEIa得2220d)21(1xaqxEIa画弯矩图qAB8qa82qa82qa832qa试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。解：刚架有一个多余约束。建立力法正则方程例例301111PX选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当
6、系统。计算系数11和自由项1PqaABaX1qAB32221121aaqaEIP3221111aaaEIAB1图M22qa22qa图MaaqAB852322aaqaEIqa834EIa3233221aaa08332413EIqaXEIa01111PX169 1qaX代入力法正则方程：得X1qAB169qaX1qAB169qa167qa16qa16qaX1qAB169qa167qa16qa16qa162qa162qa512492qa试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。解：刚架有一个多余约束。建立力法正则方程例例401111PX选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统。计算系数11和
7、自由项1PaABaaFX1aABaaF2222111aaFaEIPaaaEI322211112Fa图MABF图M1BaaEIFa433221aaaEIa301111PX4 1FX2F2F0121214 FX1aABaaF图MFa83Fa41Fa41已知：F，a，EA，求桁架各杆的内力。例14-2FABaaDC432156X1X1ABDC432156FABDC4321561ABDC4321561FNFNF计算计算杆件编号FNiliFNi li li1F1aFaa2F1aFaa3 01 1a0a401a0a5 F a60 a0(P78)表14.1iFN2Fa222)222(Faa)21(4iiNi
8、NlFF 222a22a22iiNiNlFF iFNiFNiFNFaEA)222(EAa)21(4EAP1 1EA1111111 PX01111PX2FiiNiNlFF iiNiNlFF FABaa432156X1AB432156X1F2F2F求桁架各杆的内力应用叠加法求桁架各杆的内力ABDC432156FABDC4321562F2F应用叠加法求桁架各杆的内力杆件编号FNili1F1aF/22F1aF/23 01 1aF/2401aF/25 F aF/60 a F/(P78)表14.1222221NNNXFFFiiPi22iFN求三杆的轴力，各杆的EA相等。解：题题2-43P132laaP13
9、2laaX1X1P132laa1132laa1PF1N0N2F0N3F21 1NF1N2F21 3NFiiiPlFFEA 1 NN1EAPl2EAl23iiilFFEA 1NN111111 PX01111PX3PN3P132aaX1N1A1X3P6 3NPF651NPF试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。解：刚架有三个多余约束。例例4选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统。qaABaX1ABqBX2X3列出变形协调方程：010203（X1方向上的位移）（X2方向上的位移）（X3方向上的位移）ABBX3032111111XXXPABqBX1ABBABBX201313212111P
10、XXX032122222XXXP02323222121PXXX032133333XXXP03333232131PXXX应用叠加法对于有对于有n个多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：个多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：0 0022112222212111212111nPnnnnnPnnPnnXXXXXXXXX由位移互等定理知：jiij ij 影响系数，表示在基本静定系上由Xj取单位值时引起的 在Xi作用点沿Xi方向的位移；iP 自由项，表示在基本静定系上，由原载荷引起的在Xi 作用点沿Xi 方向的位移。一、对称结构的对称变形与反对称变形一、对称结构的对称变形与反对称变形 结构几何尺寸、
11、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构对称结构。当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形对称变形。若外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形反对称变形。E1I1E1I1EI对称轴E1I1E1I1EI对称轴E1I1E1I1EI对称轴14-3 对称及反对称性质的应用对称及反对称性质的应用 正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：大大简化计算过程：对称变形对称截面上，反对称内力为零对称变形对称截面上，反对称内力为零或已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。或已知；反对称变形
12、反对称截面上，对称内力为零或已知。例如：例如：对称轴PPPX3X2X1PX3X2X1X3PX1X3PX1由于对称性，反对称内力为零：X2=0又如：对称轴PPX3X2X1PPX3X2X1PX2PX2由于载荷的反对称性，对称内力为零：X1=0，X3=0试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。解：取左边一半计算01111PX例例32aaaqqqqX1X1EIqaP8941EIa3731108937413EIqaXEIa则qaX56271由平衡方程求得：qaRA5629562qaMAq1MARAqqaX56271Aaa22qa22qa试画图示刚架弯矩图。刚架EI为常数。解：例例72aaaFF/2F
13、/2X1X2X1X2图示刚架有两个多余未知力。但由于结构是对称、载荷对称，故对称轴横截面上反对称内力X2为零，只有一个多余未知力X1，只需列出一个正则方程求解。试画图示刚架弯矩图。刚架EI为常数。解：01111PX例例72aaaFF/2F/2X1X1图示刚架有两个多余未知力。但由于结构是对称、载荷对称，故对称轴横截面上反对称内力X2为零，只有一个多余未知力X1，只需列出一个正则方程求解。01111PXX1F/2F/21EIFaP31EIa38311038313EIFaXEIaFX83 1X1F/22a2Fa2FaF/2FX8312Fa2Fa4Fa2Fa2Fa4Fa2Fa2Fa4Fa画刚架弯矩图
14、。2aaaF试画图示刚架弯矩图。刚架EI为常数。01111PX例例82aaaqqqX1X1解：图示刚架有两个多余未知力。但由于结构是对称、载荷对称，故对称轴横截面上反对称内力为零，只有一个多余未知力，只需列出一个正则方程求解。EIqaP41EIa38311038413EIqaXEIa则qaX831q1qqaX8312aq22qa22qa22qa22qa42qa试求AB 直径的长度变化。圆环的EI为常数。例例14-5 ABCFFaDACFDBCFD由于结构是对称、载荷对称，故水平对称轴横截面上反对称内力为零试求AB 直径的长度变化。圆环的EI为常数。例例14-5 ABCFFaDACFDBCFDA
15、CFDF/2F/2DAF/2X10yFX1X101111PXDA101111PX)cos1(2FaM201dEIaMMP1Md)1)(cos1(202EIFa)12(22EIFa2011dEIaMMd)1(202EIaEIa2DAF/2)121(1FaXDAF/2X1ABCFFDABC11D求AB 直径的长度变化。)cos1(2FaM)2cos1(Fa)121(Fa)2cos1(aMABCFFDABC11D)2cos1(FaM)2cos1(aM20d4EIaMMABEIFa3149.0试解图示超静定刚架。EI为常数。ABCPPaa解：图示刚架有三个多余未知力。但由于结构是对称的，而载荷反对称，
16、故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力（剪力），只需列出一个正则方程求解。PPX1X101111PX用莫尔定理求1P和11。题题14-151EIPaP4 31EIPa247311PX761支座反力：PRRBA76PHHBAPaMMBA74ABPPMBRBHBPPa2a2a04247313EIPaXEIPa则PP76MARAHAMARAHAx11EIPaxaPxEIaP4 d2)(132021EIPaxaxxEIaa247d)2(d13222001211104247313EIPaXEIPa则PX761支座反力：PRRBA76PHHBAPaMMBA74ABPPMBRBHBMARAHAPx1x2x2
