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1、统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A第第6 6章章线性空间与线性变换线性空间与线性变换统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A线性空间是线性代数最基本的概念之一线性空间是线性代数最基本的概念之一,它它线性空间是为了解决实际问题而引入的线性空间是为了解决实际问题而引入的,它它一、线性空间的定义一、线性空间的定义是向量空间概念的推广是向量空间概念的推广是某一类事物从量的方面的一个抽象是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际即把实际
2、问题看作问题看作线性线性空间空间,进而通过研究进而通过研究线性线性空间来解空间来解决实际问题决实际问题1 线性空间的概念线性空间的概念统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A个元素个元素 与之对应与之对应,称为称为 与与 的和的和,记作记作V ;记作记作若对于任一数若对于任一数 与任一元素与任一元素 ,总有唯总有唯一一F V 的一个元素的一个元素 与之对应与之对应,称为称为数数 与与 的积的积,V ;定义定义 1 设设 是一个非空集合是一个非空集合,为一数域，为一数域，VF如果对于任意两个元素如果对于任意两个元素
3、 ,总有唯一的一总有唯一的一V,统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A;)1(;)2(如果上述两种运算满足以下八条运算规律如果上述两种运算满足以下八条运算规律VF,;,(设设)：0;,)4 4(使使的的负元素负元素都有都有对任何对任何V ,V 0;,)3 3(都有都有对任何对任何中存在中存在零元素零元素在在VV 0 统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A;1)5(;)6(.)8(;)7(那么那么,就称为数域就称为数域 上的上的线
4、性空间线性空间(或向量或向量空空VF间间),),中的元素称为中的元素称为向量向量(或元或元).).V统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A2.向量空间中的向量不一定是有序数组向量空间中的向量不一定是有序数组3.一个集合一个集合,对于定义的加法和数乘运算不封对于定义的加法和数乘运算不封说明说明1.能满足以上八条规律的加法及数乘能满足以上八条规律的加法及数乘运运算算,称为称为线性运算线性运算闭闭,或者运算不满足或者运算不满足以上八条规律中的任一条以上八条规律中的任一条,则此则此集合就不能构成集合就不能构成线性空间线
5、性空间.统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A (1)(1)一个集合一个集合,如果定义的加法和数乘运算如果定义的加法和数乘运算 例例 实数域上的全体实数域上的全体 矩阵矩阵,对矩阵对矩阵nm 记作记作 nmR,m nm nm nm nABCR,m nm nm nADR .是是一一个个线线性性空空间间nmR 线性空间的判定方法线性空间的判定方法是通常的实数间的加乘运算是通常的实数间的加乘运算,则只需检验对则只需检验对运算运算的封闭性的封闭性的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间的加法和数乘运算构成实数域上的线性空
6、间,统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A)()(0101bxbxbaxaxannnn )()()(0011baxbaxbannn xPn)(01axaxann )()()(01axaxann xPn 种运种运算满足线性运算规律且算满足线性运算规律且向向量空间量空间.对于通常的多项式加法和对于通常的多项式加法和数乘多项式的乘法构成数乘多项式的乘法构成的多项式的全体的多项式的全体,即即 次数不超过次数不超过n例例2 21010,nnnnP xa xa xa aa aR 证证 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两通
7、常的多项式加法、数乘多项式的乘法两.nP x 构成线性空间构成线性空间所以所以统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 Ap0000 xxnxQn 空空和乘数运算不构成向量和乘数运算不构成向量对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法 n 次多项式的全体次多项式的全体例例3间间.这是因为这是因为1010,0nnnnnQ xa xa xa aa aR a对对10 nnnpa xa xaQ x.对运算不封闭对运算不封闭xQn所以所以统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐
8、标 线线 性性 代代 数数 A例例 对数函数的集合对数函数的集合 S xsAxARln.对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性1212lnlnssAxAx AAx12ln Axln.xS 空间空间 xS sAxAx111lnln因为因为1122ln,ln sAxS xsAxS x则则是一个线性空间是一个线性空间.S x所以所以统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A在区间在区间 上全体实连续函数上全体实连续函数,对对函数函数的的,ba一般地一般地,有以下结论有以下结论
9、加法与数和函数的数量乘法加法与数和函数的数量乘法,构成实数域上构成实数域上的的线性空间线性空间事实上事实上,任意两个实连续函数的和仍然为任意两个实连续函数的和仍然为实连续函数实连续函数,数与实连续函数的乘积仍为实连数与实连续函数的乘积仍为实连续函数续函数统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A例例 5 正实数的全体正实数的全体,记作记作 ,在其中定义加法在其中定义加法 R ,.ababaaR a bR 验证验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间 R (2)(2)一个集合一个集合,如
10、果定义的加法和数乘运算如果定义的加法和数乘运算证明证明 先证运算的封闭性先证运算的封闭性,;a bRababR,.R aRaaR 不是通常的实数间的加乘运算不是通常的实数间的加乘运算,则必需检验是则必需检验是否否满足八条线性运算规律满足八条线性运算规律及数乘运算为及数乘运算为统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A下面一一验证八条线性运算规律：下面一一验证八条线性运算规律：;)1(abbaabba (2)()()()abcabcab c ;11aaa ;111 aaaa有有对任何对任何中存在零元素中存在零元素,1
11、)3(RaR使使有负元素有负元素,)4(1 RaRa所以对定义的加法与数乘运算封闭所以对定义的加法与数乘运算封闭()();a bcabc统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A;1)5(1aaa ;)6(aaaaa (7)aaa aaa baababba )()()8(所以所以 对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间 R.baba ;aa统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A12(,)(0,0,0)nxxx 不构成线
12、性空间不构成线性空间对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例例 个有序实数组成的数组的全体个有序实数组成的数组的全体n 1212(,),nnnSxxxxxxxR;nS 对运算封闭对运算封闭10,x 但 但.不不满满足足第第五五条条运运算算规规律律线性空间线性空间.,不是不是所以所以线性运算线性运算由于所定义的运算不是由于所定义的运算不是Sn统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A定理定理1 1 线性空间有唯一一个零元线性空间有唯一一个零元,任意元任意元证明证明假设假设 是
13、线性空间是线性空间V中的两个零中的两个零120,0120,0.由于由于120,0,V 所以所以212121000,000.元素元素,则对任何则对任何V 有有,112212000000.二、线性空间的性质二、线性空间的性质有唯一一个负元有唯一一个负元统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A假设假设 有两个负元素有两个负元素 与与 ,那么那么0,0.则有则有0 0 .向量向量 的负元素记为的负元素记为.所以零元是唯一的所以零元是唯一的.所以负元也是唯一的所以负元也是唯一的.统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的
14、概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A ,101010 00.1111100,.1 01 0.根据零元和负元的唯一性根据零元和负元的唯一性,可得：可得：又又 00;1;00.0 统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A 如果如果 ,则则 或或 .0 0 0 假设假设,0 那么那么 110 0.11 又又0.同理可得：若同理可得：若 则有则有0 .0 统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A三、
15、线性空间的子空间三、线性空间的子空间定义定义2设设 是一个线性空间是一个线性空间,是是 的一个的一个VVU空间空间非空子集非空子集,如果如果 对于对于 中所定义的加法和乘数中所定义的加法和乘数VU线性空间中的零元构成一子空间线性空间中的零元构成一子空间,称为零空间称为零空间.V 自身是自身是V 的子空间的子空间.我们称这两个子空间为我们称这两个子空间为V 的的平凡子空间平凡子空间.运算也构成一个线性空间运算也构成一个线性空间,则称则称 U 是是 V 的一个子的一个子统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A充分必要
16、条件是：充分必要条件是：定理定理2 2 线性空间线性空间V 的非空子集的非空子集U 构成子空间构成子空间的的 如果如果U,则则U;如果如果U kR,则则kU.证略证略由定义易知由定义易知,假如假如U 是是V 的子空间的子空间,则则U 的零元的零元于是有于是有也是也是V 的零元的零元,U 中元中元 的负元也是的负元也是V 中中 元的负元元的负元,统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 A例例7 7 证明：证明：abNa bR2,00 对矩阵加法及数乘运算构成对矩阵加法及数乘运算构成 M2 的一个子空间的一个子空间证明：证明：因为因为NM22,又设又设ababNN112222,0000则有则有12122;00aabbN统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线线 性性 代代 数数 AabN11200（为实数）为实数）所以所以N2是是M2的一个子空间的一个子空间统计软件分析与应用6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标线性空间的概念，维数、基与坐标 线
