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1、第第16讲讲 定积分的概念 引言引言 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 定积分的定义定积分的定义 牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、曲边梯形的面积一、曲边梯形的面积青稞、小麦、豌豆、油菜青稞、小麦、豌豆、油菜1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积已知已知:y=f(x)a,b求面积求面积 A.A 各种复杂图形的面积都可各种复杂图形的面积都可以化为曲边梯形来计算以化为曲边梯形来计算:分割分割 a,bbxxxxann110.ix1ix1iiixxx 近似代替近似代替,任取任取 ixi-1,xi 则则 Aif(i)xiiiniiniixfAA11)(取极限取极限（当区
2、间（当区间a,b被无限细分时被无限细分时)即得曲边梯即得曲边梯形面积形面积 A.(0 表示表示 a,b 被被无限分细无限分细)iniixfA10)(lim其中其中=maxx1,x2,xn2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程1999年年10月月20日日“神州神州”火箭发射火箭发射和回收成功和回收成功列车在某时间间隔内行驶的路程列车在某时间间隔内行驶的路程已知：速度已知：速度 v=v(t),求在时求在时间区间间区间 t0,T 内内火箭上升的速火箭上升的速度度.1.若作匀速直线运动若作匀速直线运动:v=常数常数则高度则高度=速度速度 v时间时间(T-t0)2.若作变速直线运动，采用分若作变速直线
3、运动，采用分割时间区间割时间区间t0 ,T的方法的方法 分割分割 t0,TTttttnn110.0 t0 t1 t2 ti-1 ti T=tn t 在在 ti-1,ti 内，近似匀速：内，近似匀速：itSiv(i)ti其中其中iti-1,ti 为任取。为任取。于是区间于是区间 t0,T 内火箭上升内火箭上升的高度为：的高度为：iniiniitvSS11)(iniitvS10)(lim其中其中=maxt1,t2,tn曲边梯形的面积：曲边梯形的面积：iniixfA10)(lim变速直线运动的路程：变速直线运动的路程：iniitvS10)(lim实际背景不同，数学模型相同实际背景不同，数学模型相同由
4、此抽取出由此抽取出定积分定积分的概念的概念.二二.定积分的定义定积分的定义设设 y=f(x)在在a,b 上有定义上有定义,bxxxxann110.任取任取 ixi-1,xi ,记记1iiixxx,=maxxiiniixf10)(lim若极限若极限 存在存在.iniixf10)(lim若极限若极限 存在存在.称称 f(x)在在 a,b 上可积上可积,称此极限值为称此极限值为 f(x)在在a,b 上的上的定积分定积分,记为记为:badxxf)(iniixf10)(limbadxxf)(iniixf10)(limbadxxf)(f(x):被积函数被积函数a,b :积分区间积分区间 a :积分下限积分
5、下限 b :积分上限积分上限 x :积分变量积分变量由此定义知由此定义知曲边梯形面积：曲边梯形面积：badxxf)(其中其中f(x)0)(这也是这也是定积分的几何意义定积分的几何意义)变速直线运动的路程：变速直线运动的路程：TtdttvS0)(iniixf10)(limbadxxf)(注注1:定积分是一个数值定积分是一个数值(与不与不定积分不同定积分不同),此数值与此数值与a,b的分法无关的分法无关,与与i 的取法无关的取法无关.badxxf)(只依赖于只依赖于f(x)和和 a,b .注注2:定积分定积分 与积分与积分badxxf)(babadttfdxxf)()(变量无关变量无关.这类似于：
6、这类似于：2225012501250.21kiki注注3:定积分的几何意义定积分的几何意义A当当 f(x)0 时时badxxf)(曲边梯形面积曲边梯形面积A注注3:定积分的几何意义定积分的几何意义当当 f(x)0 时时Adxxfba)(A为面积为面积)Aabyx1A2A3A4A5A)(xfy o当当 f(x)符号不定时符号不定时,例如例如badxxf)(=A1A2A3A4A5A1 A2A3 A4A5badxxf)(注注4:定积分存在定理定积分存在定理若若 f(x)在在a,b 连续连续,或或者至多有有限个第一类间断点者至多有有限个第一类间断点,则则 f(x)在在a,b 上可积上可积,即即badx
7、xf)(存在存在.三三.牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式若若 ,f(x)连续连续)()(xfxF则则)()()(aFbFdxxfbabaxF)(定理定理2 牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式积分上限的函数及其导数积分上限的函数及其导数则变上限函数则变上限函数xattfxd)()(定理定理1.若若 f(x)a,b连续连续则则 (x)是是a,b 上的一个原函数上的一个原函数)(xfy xbaoy)(xxhx)()(xfx 证证:,bahxx则有则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxh1xahxattfttfd)(d)()(xfy xbao
8、y)(xxhxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x 因为因为 f(x)a,b连续连续)(xfy xbaoy)(xxhx若若 ,f(x)连续连续)()(xfxF则则)()()(aFbFdxxfbabaxF)(定理定理2 牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式)()()(aFbFdxxfbaCxxfxFxad)()(根据定理根据定理1CaF)()(d)()(aFxxfbFba证证)()()(aFbFdxxfba例例1 10320231xdxx30313331解释解释:路程函数路程函数 S=S(t)速度函数速度函数v=v(t)=)(tS从从 t=a到到 t=b,路程为路程为S(b)S
9、(a),另一方面另一方面,路程为路程为)()()(aSbSdttvbadttvba)(,故故说明说明:定理定理 1 证明了连续函数的原函证明了连续函数的原函数是存在的数是存在的.同时为通过原函数计同时为通过原函数计算定积分开辟了道路算定积分开辟了道路.变限积分求导变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xfbxttfx)(d)(dd)()(xxf21cos02limxdtextxexxexx212)sin(lim2cos0)(d)(ddxattfx)()(xxf例例2 例例3 0sin xdx0sin xdxA0cos x)0cos()cos(=1+1=2yxxysino例例4 dxeexx4321xxdee432)(1143arctanxe34arctanarctanee 与不定积分的计算过程相似与不定积分的计算过程相似小结小结1.定积分的定义定积分的定义iniixf10)(limbadxxf)(2.定积分的几何意义定积分的几何意义3.牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)()()(aFbFdxxfba4.变限函数计算变限函数计算xattfxd)()()(d)(ddxattfx)()(xxf
