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1、与空间有关的一维定态Schrdinger方程为：)()()()(2222xExxVdxxd（2.1）在量子力学中，如不作特别说明，都假定势能V取实数，即 V=V*。若对应于某个能量E，方程（2.1）只有一个解，则称能级E不简并。若对应于某个能量E，方程（2.1）不只一个解，则称能级E是简并的。)(x)(*x定理定理2.1：设是方程（2.1）的一个解，的一个解，对应的能量本征值也是E。且总可以找到方程（2.1）的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表成这组实解的线性叠加。对应的能量本征值为E，则也是方程（2.1）证明：证明：方程（2.1）两边取复共轭，注意到 V(x)=V*(x),E*=E,有)(
2、)()()(2*2*22xExxVdxxd可见 也满足方程（2.1），对应的能量)(*x本征值也是E。若能级E不简并，则)(x和)(*x描述的是同一个量子态，故)()(*xcx。取复共轭，有1|)(|)()(22*cxcxcx取c=1，有),()(*xx)(x是实函数。是实解，则将它归入（2.1）的一个解。而根据线性微分方程解的叠加 若能级E简并，如果)(x实解的集合中。如果它是复解，则)(*x也是方程性定理，如下两个组合（组合后为实函数）：),()()(*xxx)()()(*xxix是（2.1）同属于能量E，并彼此独立的解。)(x)(x定理定理2.2：设V(x)具有空间反射不变性，V(x)V
3、(x)。如果 为方程（2.1）的一个解，对应的能量本征值为E，则 也是方程（2.1）的一个解，对应的能量本征值也是E。且总可以找到方程（2.1）的一组解,其中每一个都具有确定的宇称,而属于能量本征值E的任何解，都可表成这组解的线性叠加。证明：证明：在方程（2.1）中作代换x-x,注意到)()(xVxV有)()()()(2222xExxVdxxd)(x可见亦是方程的解。若能级E无简并，则)()(xx和描述的是同一个状态，他们之间只能相差一个常数，)()()()()(2xcxcxxcx11 2cc所以有)()(1c xx偶宇称)()(1c xx奇宇称 若能级E有简并，可令)()()(xxxf)()
4、()(xxxg)(),(xgxf均为方程（2.1）的解，对应的能量本征值都为E，且有确定的宇称。此外，由定理.1可知，总可将方程的解取为实函数。习题2.1 在三维情况下证明定理2.1和定理2.2。定理定理2.3：对于阶梯形方势 axVaxVxV,)(21)(21VV 有限时，连续；|21VV时，定理不成立。证明：由方程（2.1）有)()(2)(222xxVEdxxd（2.2）)(x在x=a的邻域对方程（2.2）积分，有 aadx0lim)()(lim2)0()0(02xxVEdxaaaa即V(x)在x=a处发生突变，)(21VV 有限时，上式右边积分为0，从而)(x在x=a处连续；|21VV上
5、式右边的积分无法确定。1.一维无限深势阱一维无限深势阱V(x)0 a x axxaxxV,0,0,0)(设质量为 的粒子在势场 中运动，求定态Schrdinger方程的解。解：由于势阱外)(xV不可能出现在势为无限大之处，故势阱外波函数为零。即：,而能量有限的粒子),0(0)(axxx势阱内的Schrdinger方程为)0(2222axEdxd（2.3）令 22 Ek （2.4）则（2.3）简化为：0kdxd222其通解的形式为：kxBkxAxcossin)(由波函数的连续发性条件可得到 0cossin)(0)0(kaBkaAaB.3,2,1,nank从而有,3,2,1,sin)(nxanAx
6、n再由波函数的归一化条件可得到归一化常数为 a2A 综上，一维无限深势阱波函数：,3,2,1,.,0,00,sin2)(naxxaxxanaxn,3,2,1,22222nanEn能级能级：（2.6）一维势阱中粒子波函数及概率图示(取 a2)0.511.52x0.20.40.60.81y8n=,10.511.52x-1-0.50.51y8n=,2 0.511.52x-1-0.50.51n 300.511.52x0.20.40.60.812n 300kdxd222ikxikxBeAex)()sin()(kxAx习题2.2 方程 的一般解亦可写为如下 试分别用这两个一般解求解一维无限深势阱。或形式：
7、习题2.3设质量为的粒子在势场V(x)-a/2 a/2 x 2/|,2/|,0)(axaxxV中运动，求定态Schrdinger方程的解。提示：本问题与一维中心不对称无限深势阱的差别仅在于坐标原点的选择，将式（2.6）中的坐标x换为x+a/2即得到本问题的解为：2/,2/,02/.2/),2(sin2)(axaxaxaaxanaxna2nEE222n2 n=1,2,3 （2.7）习题2.4 二维无限深方势阱问题设质量为的粒子在势场),0(),0(),(,),0(),0(),(,0),(2121aayxaayxyxV中运动，求束缚态解。习题2.5 三维无限深方势阱问题设质量为的粒子在势场),0(
8、),0(),0(),(,),0(),0(),0(),(,0),(321321aaazyxaaazyxzyxV中运动，求束缚态解。对于一维有限深势阱中运动的粒子，当其处于束缚态时，确定其能级的为超越方程，没有解析解。下面将用数值解法较完整地给出能级和归一化波函数，所用方法和结果简洁明了，对这类问题有普遍意义，也可加深对这类问题的理解。V(x)0 a x V0 V0 如图1，设质量为 的粒子在势场 axxVaxxV,0,0,0)(0 这里我们只考虑束缚态情形，即0EV0 写出分区的定态Scrodinger方程 axEdxdaxxEVdxd0,2,0,22220222 中运动，求定态Schrding
9、er方程的解。令 则分区的定态Schrdinger方程为：222012,)(2EkEVk axxxkxaxxkx,0,0)()(0,0)()(2122由此得各分区域的通解为：axDexaxCeBexxAexxkxikxikxk,)(0,)(0,)(1221321式中A、B、C、D为待定常数。由波函数的连续性条件可得到：akaikaikakaikaikeDkeCikeBikDeCeBeCikBikAkCBA122122122221若要A、B、C、D有不全为零的解，则k1和k2必须满如下方程：)/(2)(2122212kkkkaktg此外有：2022122Vkk令 可将上述方程组写为：,21aka
10、k20222222)/(2Vatg42202Va数值解法，取1234h12345x借助于数学计算软件，容易求得两个交点坐标为：（2.05973，3.42892）和（3.79099，1.27609）即此时粒子有两个能级：222212212)05973.2(2aaE222222222)79099.3(2aaE归一化波函数为：)(22)0(22)0(12121221212)(212)(321221221axAekikkekikkeaxAekikkAekikkxAexkaikkaikkxikxikxk)2cos1(22sin4221|12221232212222212212akkkakkkkakkkk
11、A)2sin212cos44(12122121222212122akkakkkkkkkkk当V0时，势阱的波函数化为：3,2,1n),ax0(,xansina2)ax,0 x(,0)x(n可见当势为无穷大时，波函数为零。其第一个束缚态的概率分布情形如图：-1-0.50.511.52x*10-100.20.40.60.811.21.4wHxL*1010弹簧振动、单摆是谐振子，它们的位移或角位移满足方程：02xx 谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。比如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振动。考虑一维空间中运动的线性谐振子，其势能为：2221)(xxV定
12、解问题为:（2.8）0)x2E(dxd222222（2.9)令E2),(xx方程可改写为0)(dd222（2.10)2.10)求解:先看 时,的渐近行为。此时方程为 222dd，渐近解为 22e因为波函数的标准条件要求。有限，故取 22e。据上，可令方程的解为)(He22 代入方程（2.10)，得到)(H 满足的方程为 0H)1(ddH2dHd22（2.11)用级数解法，可求得，只有在 时，才能求得满足要求的解，为,3,2,1,0n,1n222)1()(eddeHnnnnHermiteHermite多项式多项式 相应的线性谐振子的能级为 3,2,1,0n),21n(En对应于能量 nE的波函数
13、是)x(HeN)x()(HeN)(nx2nnn2nn222（2.12)2/1n2/1n)!n2(N前几个波函数的表达式：21)(0022)(Eexx2322)(1122)(Exexx25)24(8)(222222)(Eexxx27)128(48)(333322)(Eexxxx（1）线性谐振子的能级是分立的，两相邻能级的间隔均为:n1nEE振子的基态（n=0）能量为 21E0称之为零点能。，2）与经典力学中的线性谐振子的比较：-6-4-2246x0.10.20.30.4y2n=10 习题2.8 求基态线性谐振子在经典界限外被发现的概率 习题2.9 求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。习题
14、2.10 试证明)x3x2(e3)x(33x2122谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。是线性习题2.11 带电q的线性谐振子在均匀电场E中运动，其势能为qExxxV2221)(，求谐振子的能级和波函数。习题2.12 一粒子在一维势阱)0(21)0()(22xxxxV中运动,利用谐振子的已知结果求出粒子的能级和波函数。1.阶梯势反射0,00,)(0 xxVxV粒子以能量E对阶梯势入射，求透射系数与反射系数。讨论如下三种情况：（1）V0E0；由左向右入射（3）E0,由右向左入射。解：(1)-V0E0写出分区Schrdinger方程为：V(x)x-V0 0,20,2222221102122xE
15、dxdxEVdxd令：，201)(2VEk222 Ek可将上述方程简化为：0,00,0222222121212xkdxdxkdxd一般解可写为：0,0,221121xeBBexeAAexkxkxikxik由波函数连接条件，有：BkAAikBAA212121)()0()0()0()0(解得：AkikkiBAkikkikA21121212据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的概率流密度及反射系数和透射系数 0)(2,|,|2*2*222121iJeAkJeAkJDxRx1|2212122kikkikAAJJRR0|JJDD满足 R+D1可见，总能量小于势垒高度的粒子必全部被反射，但在x0 写出
16、分区Schrdinger方程为：0,20,2222221102122xEdxdxEVdxd令：，201)(2VEk222 Ek可将上述方程简化为：0,00,0222222121212xkdxdxkdxd一般解可写为：0,0,221121xeBBexeAAexikxikxikxik考虑到没有从右向左的入射波，B0由波函数连接条件，有：BkAAkBAA212121)()0()0()0()0(解得：AkkkBAkkkkA21121212据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的概率流密度及反射系数和透射系数xDxRxeBkJeAkJeAkJ222121|,|,|402040202002212122)/11()/()()()(|EVEVEVEVEVEEVEkkkkAAJJRR2002002211122122)/11()/(4)()(4)2(|EVEVEVEVEEkkkkkAkBkJJDD满足 R+D1可见，尽管E0，但仍有粒子被反射。（3）E0,粒子从右向左入射仿（2）方法求解，结果相同。V(x)x 0 a V0.势垒贯穿一维空间中，能量为E的自由运动的粒子在如图方型势垒上散射，求解之。（1）
