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1、第三节第三节 方阵的行列式方阵的行列式一、二、三阶行列式一、二、三阶行列式二、排列与逆序二、排列与逆序三、三、n阶行列式的定义阶行列式的定义四、行列式的性质四、行列式的性质五、行列式按行（列）展开五、行列式按行（列）展开六、行列式的计算六、行列式的计算七、方阵的行列式七、方阵的行列式一一.二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式1.二阶行列式二阶行列式22221211212111bxaxabxaxa消元法211222112111122211222111222211aaaaababxaaaaababx22211211aaaa(1)定义：二阶行列式定义：二阶行列式:第三节第三节 方阵的行列式方阵的行列式二
2、阶行列式计算方法二阶行列式计算方法:2112221122211211aaaaaaaa，记2211112222121122211211babaDababDaaaaD)0.(,221122221211212111DDDxDDxbxaxabxaxa的唯一解为则（2）用二阶行列式求解二元线性方程组）用二阶行列式求解二元线性方程组 1212232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解1223 D)4(3 ,07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11,2714 DDx22.3721 2.三阶行列式三阶行列式333323213123232221211313212111b
3、xaxaxabxaxaxabxaxaxa消元法.)(3321232213322313221332312332211322311332112312213322113312312332211ababaaaabababaaaabxaaaaaaaaaaaaaaaaaa,0322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaaD若（1）三阶行列式三阶行列式:333231232221131211aaaaaaaaa.,321xxx 类似可解出则可求解出333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa 注意注意:
4、1.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号2.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 三阶行列式计算方法三阶行列式计算方法:(对角线法则对角线法则).243122421D求解D4)2()4()3(12)2(21 例例2.)3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 解：解：.094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD,652 xx解得由0652 xx3.2
5、xx或或（2）用三阶行列式求解三元线性方程组）用三阶行列式求解三元线性方程组，记333231232221131211aaaaaaaaaD，3332323222131211aabaabaabD，3333123221131112abaabaabaD 3323122221112113baabaabaaD 有唯一解则333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa)3,2,1,0(,iDDDxii.0,132,22321321321xxxxxxxxx例例4.4.解线性方程组解：解：,5D,51D,102D,53D,111 DDx,222 DDx.1
6、33 DDx二二.排列与逆序排列与逆序1排列定义排列定义njjj21:记为例如例如:321是一个是一个3级排列，级排列，23541是一个是一个5级排列级排列.注意注意:一个一个n级排列其实就是正整数级排列其实就是正整数1,2,n的一个全排列，故的一个全排列，故n级排列共有级排列共有n!个个.例例:用用1,2,3三个数字三个数字,组成的组成的3级排列有多少个？分别为？级排列有多少个？分别为？分析分析:分别为：分别为：1 2 3；1 3 2；2 1 3;2 3 1;3 1 2;3 2 1 共共6个个.由正整数由正整数1,2,n组成的一个有序数组称为一个组成的一个有序数组称为一个n级排列级排列.2、
7、排列的逆序数、排列的逆序数 定义定义:在一个排列在一个排列 j1 j2 js jt jn 中中,若数若数 jsjt,则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序.例如例如:排列排列32514 中中,我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序.以以 n 个不个不同的自然数为例同的自然数为例,规定规定由小到大为自然次序由小到大为自然次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定义定义:一个排列中所有一个排列中所有逆序逆序的总数称为此的总数称为此排列的排列的逆序数逆序数.前面的数比前面的数比后面的数大后面的数大逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列.
8、)(:21njjj记为？求例)53241(:);1,5(),4,5(),52(),53(53241有逆序对排列.81124)53241(所以)1,3(),2,3()1,2()1,4(333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 三三.n n阶行列式的概念阶行列式的概念：.)1(321321321321jjjjjjjjjaaa2112221122211211aaaaaaaa概念引入.)1(21212121)(jjjjjjaa注意注意:每项都是位于不同行不同列的元素的乘积，共每项
9、都是位于不同行不同列的元素的乘积，共n！项！项1定义定义.)1(212121),(2122221112112nnnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaDn为方形表格的行列式定义个数组成的由.:的代数和个元素的乘积同列的等于所有取自不同行不即nD4000030000200001.1D用行列式定义计算例.24 0004003002001000.2D用行列式定义计算例432114321N.24 nnnnaaaaaaD000.322211211计算例.2211nnaaa.1),1(:nE显然nnnnaaaaaa21222111000nnaaa0000002211.0,0)(),2(DD则元
10、素全为或一列中有一行若行列式行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211四四.n n阶行列式的性质阶行列式的性质.DDT(一一).性质性质 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式的值变号行列式的值变号.,571571 266853853266.825825 361567567361nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211即：nnnniniijnjjnaaaaaaaaaaaa21212111211jirr
11、例例推论推论1 1 如果行列式D有两行（列）完全相同，则D=0.nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211.:AkAknnn一般地，注意(3).(3).性质性质3:3:行列式D的某一行（列）中所有元素的公因子都可以提到行列式符号的外面(4).(4).性质性质4:4:行列式关于它的一个行行列式关于它的一个行(或列或列)是可加的是可加的.nnnnininiiiinaaacbcbcbaaa21221111211 nnnniniinaaabbbaaa212111211 nnnniniinaaacccaaa212111211 注意
12、注意:每次只能分拆一个行每次只能分拆一个行(或列或列).).例2635241654321975654321 654654321321654321 000 333222111cbazcybxacba 例1333222111cbacbacba333111cbazyxcba推论推论2:2:行列式D中如果有两行（列）元素成比例，D=0由行列式性质(2)(3)(4),有下列结论成立:推论推论3:3:把行列式D的某一行（列）的各元素乘以数k然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式D的值不变nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211即：nnnnjnjjjninjijinaaa
13、aaakaakaakaaaaa2121221111211ijrkr(二二).行列式性质的应用行列式性质的应用计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：.,323式将行列式化成三角行列及性质和性质应用推论例例.2101044614753124025973313211的值，求DD解解2101044614753124025973313211 D2220035120140202010013211213rr 312rr 313rr 414rr 42rr 222002010014020351201321132rr 222002010021100351201321143rr 64000010002110035
14、12013211532rr 544rr 6000001000211003512013211 612 .12 例例24142622341252271703D计算31rr 4142627170325222341212rr 0818013812021602341313rr 412rr 322rr 423rr 650091000216023414321rr 23000910002160234190例例3 3 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n,3,2（行等和行列式行等
15、和行列式）abbbabbbabbbbna1111)1(babababbbbna 1)1(00 .)()1(1 nbabna21111211112111123D12rr 21rr 13rr 14rr 211112111121555521111211112111115 31rr 41rr 10000100001011115 5例例4例例5 54321xaaaaxaaaaxaaaaxD )4,3,2,1,(iaxi（可以化为（可以化为箭形箭形行列式）行列式）axxaaxxaaxxaaaax413121100000021rr 31rr 41rr 解解4321xaaaaxaaaaxaaaaxD （箭形行
16、列式箭形行列式）)()()(4321axaxaxax 10010101001143211 axaaxaaxaaxx 41)(iiax1000010000104324211axaaxaaxaaxaaxxii 414211)(iiiiaxaxaaxx14cc 13cc 12cc 例例6 63214214314324321D（循环循环行列式或行列式或行等和行等和行列式行列式）12rr 13rr 14rr 解解3214214314324321D32142143143210101010321421431432111110212rr 123012101210111110313rr 414rr 32rr 423rr 44000400121011111043rr 400004001210111110160练习练习.4abcdbadccdabdcbaD 01122103210113222113132113D15.290311324341241411D.65003211750043212D五五.行列式按照行或列展开(计算行列式的第2种方法)1.余子式,代数余子式.1,)(:1ijijijijManjiaa
