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1、第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 4 41 1 根轨迹与根轨迹方程根轨迹与根轨迹方程4 42 2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则4 43 3 广义根轨迹广义根轨迹4 44 4 利用根轨迹分析系统的性能利用根轨迹分析系统的性能第四章 根轨迹法第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 基本要求 ：1.1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点的概念及正确理解开环零、极点和闭环零、极点的概念及其相互关系。其相互关系。2.2.正确理解和正确理解和熟记根轨迹方程熟记根轨迹方程(模值方程及相角方模值方程及相角方程程)。熟练运用模值方程计算根轨迹上任一点的根。熟练运用模值方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增
2、益轨迹增益和开环增益。3.3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益益K K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 4.4.正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。了解运了解运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算的方法。二
3、阶系统给出定量估算的方法。5.5.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的基本规则和用根轨迹分析自动控制轨迹的基本规则和用根轨迹分析自动控制系统性能的方法。系统性能的方法。根据反馈控制系统的开、闭环传 递函数之间的关系，直接由开环开环传递函数零、极 点求出闭环闭环极点（闭环特征根）。这给系统的分 析与设计带来了极大的方便。第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 4-1 根轨迹与根轨迹方程根轨迹与根轨迹方程问题问题2:2:如何如何按按希望性能希望性能,将闭环极点配置到
4、合适的位置将闭环极点配置到合适的位置?闭环极点（即闭环特征根）闭环极点（即闭环特征根）闭环控制系统稳定闭环控制系统稳定性、瞬态响应特性性、瞬态响应特性问题问题1:1:当系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解，当系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解，不方便不方便,有没有简便分析方法有没有简便分析方法?根轨迹根轨迹:是指系统开环传递函数中某个参数（如开是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益环增益K K）从零变到无穷时，闭环特征根在）从零变到无穷时，闭环特征根在s s平面上平面上移动的轨迹。移动的轨迹。系统特征根的图解方法系统特征根的图解方法!4-1-1 4-1-1 根轨迹根轨迹第
5、四章第四章 根轨迹法根轨迹法 常规根轨迹：常规根轨迹：当变化的参数为开环增益（当变化的参数为开环增益（且其变化且其变化取值范围为取值范围为0 0到到）时，所对应的根轨迹为常规根时，所对应的根轨迹为常规根轨迹。轨迹。广义根轨迹广义根轨迹:开环传递函数中其它变化参数形成的根开环传递函数中其它变化参数形成的根轨迹。轨迹。零度根轨迹零度根轨迹：闭环系统为正反馈时对应的根轨迹。闭环系统为正反馈时对应的根轨迹。180180度根轨迹度根轨迹：闭环系统为负反馈时对应的根轨迹。闭环系统为负反馈时对应的根轨迹。第四章第四章 根轨迹法根轨迹法)1()()(ssKsHsGKssKsRsCs2)()()(0)(2Kss
6、sDKs4121212,14/1K2/121ss01s1s2K0时时4/10K两个负实根两个负实根K K值增加相对靠近移动值增加相对靠近移动离开负实轴，分别沿离开负实轴，分别沿s=-1/2 s=-1/2 直线向上和向下移动直线向上和向下移动。K4/1一对共轭复根一对共轭复根)1(ssK0 0-1例例1:1:二阶系统的结构图如图所示，试绘制其根轨迹图。二阶系统的结构图如图所示，试绘制其根轨迹图。-0.5S平面第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 系统的相关动、静态性能信息系统的相关动、静态性能信息4/10K4/1K4/1K过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；临界阻尼系统
7、，阶跃响应为非周期过程；临界阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。2 2）当当K K值确定后，根据闭环极点的位值确定后，根据闭环极点的位置，该系统的阶跃响应指标便可求出。置，该系统的阶跃响应指标便可求出。3)3)当当K K值确定之后值确定之后,e,essrssr便可求出。便可求出。1 1）闭环极点不可能出现在）闭环极点不可能出现在S S平面右平面右半部，系统始终稳定。半部，系统始终稳定。第四章第四章 根轨迹法根轨迹法)(SG)(SH R(S)C(S)-)()(1)()(SHSGSGsqiifiiGpszsKsG11)()()(1
8、1()()()ljjHhjjszH sKsp第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 11*11()()()()()()flijijqhijijszszG S H SKspsp*11*11()()();,()()fhGijijnmijijKszspSmfl nqhspKszK*为根轨迹增益为根轨迹增益请问：根轨迹增益根轨迹增益K K*与开环增益开环增益K K之间有什么关系？第四章第四章 根轨迹法根轨迹法*11*11()()();,()()fhGijijnmijijKszspSmfl nqhspKsz第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 12稳定性稳定性 如果系统特征方程的根都位于如果系统特征方程的根都位于S
9、S平面的左半部，平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进系统是稳定的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半入右半S S平面，根轨迹与虚轴交点处的平面，根轨迹与虚轴交点处的K K值，就是临界稳值，就是临界稳定的开环增益定的开环增益K Kc c。根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能稳态性能稳态性能 开环系统在坐标原点若有一个极点，则属开环系统在坐标原点若有一个极点，则属型系统，因而根轨迹上的型系统，因而根轨迹上的K K值就是静态速度误差系数。值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹图确定闭如果给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹图确定闭极点位置的允许范
10、围。极点位置的允许范围。第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 13 动态性能动态性能 当当0 1/40 1/41/4时，特征方程为一对共轭复时，特征方程为一对共轭复根，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，根，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随振荡幅度或超调量随 值的增加而加大，但调节时间不值的增加而加大，但调节时间不会有显著变化。会有显著变化。4/1*K*K*K*K第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 1*1()()()1()mjjniiszG s H sKsp 0)s(H)s(G1)s(D1)s(H)s(G根轨迹方程：根轨迹方程：m m个零点个零点,n n个极点（
11、个极点（n n m m）4-1-4 4-1-4 根轨迹方程根轨迹方程特征方程：特征方程：第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 1*1()()()1()mjjniiszG s H sKsp 绘制根轨迹的幅值条件和相角条件：绘制根轨迹的幅值条件和相角条件：mm个零点个零点n n个极点个极点（n n mm）幅值条件幅值条件1 1）幅值条件不但与开环零、极点幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；有关，还与开环根轨迹增益有关；2 2）必要条件必要条件niimjjkpszs11)12()()(相相角条件角条件（k k=0,1,2,=0,1,2,）1 1）相角条件只与开环零、相角条件只与开环零、
12、极点有关极点有关2 2）充要条件充要条件 1*11mjjniiszKsp第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 11ssK幅值条件成立幅值条件成立！不是根轨迹上的一点，但不是根轨迹上的一点，但27212,1js是是根轨迹上的一点根轨迹上的一点幅值条件是必要条件幅值条件是必要条件幅值条件不但与开环零、极点有幅值条件不但与开环零、极点有关，还与关，还与 有关有关前例1:2s*K-2第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 相角条件相角条件:绘制根轨迹的充要条件绘制根轨迹的充要条件依相角条件绘制根轨迹，幅值条件定依相角条件绘制根轨迹，幅值条件定K K值值2nT/122dT1（k=0,1,2,）例例4-2:4-2:21
13、 2/KKTT*第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 任取一点任取一点s s1 1如果相角条件成立，如果相角条件成立，则则s s1 1即根轨迹上的一个点。即根轨迹上的一个点。1 1开开环零点至环零点至s s1 1的相角的相角 1 1、2 2、3 3、4 4：开环：开环极点至极点至s s1 1的相角。的相角。由幅值条件由幅值条件114131211*zspspspssK第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 单位反馈系统的开环传递函数 sK)s(G一个开环极点 P1=0 负实轴上点 s1n1i11im1ii180ps|)ps()zs(s2=-1-jn1i12im1ii135ps|)ps()zs(负实轴上都是根轨
14、迹上的点！负实轴外的点都不是根轨迹上的点！例4-3:第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 解：解：根据模值方程求解K值例4-4：已知系统开环传递函数 当 变化时其根轨迹如图所示，求根轨迹上点 所对应的K值。4()()/(1)G s H sKs0K 10.50.5sj 41|0.50.5 1|Kj模值方程第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 14K 所以2|0.50.5 1|2j第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 综上分析，可以得到如下结论综上分析，可以得到如下结论：绘制根轨迹的相角条件与系统的绘制根轨迹的相角条件与系统的 大小大小无关。即在无关。即在s s平面上，所有满足相角条件点的集平面上，所有满足相角条件
15、点的集合构成系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根合构成系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的主要依据。轨迹的主要依据。*K 绘制根轨迹的幅值条件与系统绘制根轨迹的幅值条件与系统 值的大值的大小有关。即小有关。即 值的变化会改变系统的闭环极点值的变化会改变系统的闭环极点在在s s平面上的位置。平面上的位置。*K*K第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 (3)(3)由于相角条件和幅值条件只与系统的开环由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数传递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。便可绘制出根轨迹图。画根轨迹时请记住以下结论：画根轨迹时请记住以下结论：1 1）依据的是开环零、极点的分布；）依据的是开环零、极点的分布；2 2）遵循的是不变的相角条件；）遵循的是不变的相角条件；3 3）画出的是闭环极点的轨迹。）画出的是闭环极点的轨迹。
