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1、 第第4章章 图像变换图像变换n4.2 离散余弦变换离散余弦变换n4.3 K-L变换变换n4.4 小波变换小波变换 2023-11-32 第第4章章 图像变换图像变换 为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到其他要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到其他空间，并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理，空间，并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理，然后通过逆变换操作转换到图像空间。然后通过逆变换操作转换到图像空间。本章讨论图像变换重点介绍图像处理中常用的正交本章讨论图像变换重点介绍图像处理中常用的正交
2、变换，如傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换等。变换，如傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换等。2023-11-3 设设f(x)f(x)为为x x的函数，如果的函数，如果f(x)f(x)满足下面的狄里赫莱条件：满足下面的狄里赫莱条件：(1)(1)具有有限个间断点；具有有限个间断点；(2)(2)具有有限个极值点；具有有限个极值点；(3)(3)绝对可积。绝对可积。则定义则定义f(x)f(x)的傅里叶变换为：的傅里叶变换为：2023-11-3dxexfuFuxj2)()(4 从从F(uF(u)恢复恢复f(xf(x)称为傅里叶反变换，定义为：称为傅里叶反变换，定义为：2023-11-3dueuFxfuxj
3、2)()(上述二式形成傅里叶变换对，记做上述二式形成傅里叶变换对，记做：)()(uFxf函数函数f(xf(x)的傅里叶变换一般是一个复数，它可以由下式表的傅里叶变换一般是一个复数，它可以由下式表示：示：F(uF(u)=)=R(u)+jI(uR(u)+jI(u)R(u),I(uR(u),I(u)分别为分别为F(uF(u)的实部和虚部。的实部和虚部。写成指数形式：写成指数形式：juF uF u e5F(u)为复平面上的向量，它有幅度和相角：为复平面上的向量，它有幅度和相角：2023-11-3幅度：2/122)()(|)(|uIuRuF相角：)()(arctan)(uRuIu 幅度函数|F(u)|称
4、为f(x)的傅里叶谱或频率谱，(u)称为相位谱。)()(|)(|)(222uIuRuFuE称为f(x)的能量谱或称为功率谱。6 2.2.二维连续傅里叶变换二维连续傅里叶变换 傅里叶变换可以推广到两个变量连续可积的函数傅里叶变换可以推广到两个变量连续可积的函数f(x,yf(x,y)若若f(x,yf(x,y)满足狄里赫莱条件，则存在如下傅里叶满足狄里赫莱条件，则存在如下傅里叶变化对：变化对：),(),(),(22vuIvuRvuE2023-11-3 dxdyeyxfvuFvyuxj)(2),(),(二维函数的傅里叶谱、相位和能量谱分别表示为：),(),(|),(|22vuIvuRvuF),(),(
5、arctan),(vuRvuIvu dudvevuFyxfvyuxj)(2),(),(72023-11-31.1.一维离散傅里叶变换一维离散傅里叶变换 对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。设共采了N个点，则这个离散序列可表示为f(0),f(1),f(N-1)。借助这种表达，并令x为离散空域变量，u为离散频率变量，可将离散傅里叶变换定义为：210()()uxNjNxF uf x e8 傅里叶反变换定义由表示：傅里叶反变换定义由表示：2023-11-32101()()uxNjNuf xF u eN可以证明离散傅里叶变换对总是存在的。其傅里叶谱、相位和能量谱如下：2/122)()(|
6、)(|uIuRuF)()(arctan)(uRuIu)()(|)(|)(222uIuRuFuE92.2.离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFTDFT）的矩阵表示法）的矩阵表示法 由由DFTDFT的定义，的定义，N N4 4的原信号序列的原信号序列f(xf(x)=f(0),f(1),f(2),f(3)=f(0),f(1),f(2),f(3)的傅里叶变换的傅里叶变换F(uF(u)展开为：展开为：2023-11-300000:(0)(0)(1)(2)(3)uFfefefefe2322021:(1)(0)(1)(2)(3)jjjuFfefefefe46222022:(2)(0)(1)(2)(3)jjj
7、uFfefefefe69223023:(3)(0)(1)(2)(3)jjjuFfefefefe10 将将e指数项化简可写成矩阵形式：指数项化简可写成矩阵形式：2023-11-300003022003022(0)(0)(1)(1)(2)(2)(3)(3)jjjjjjjjeeeeFfFfeeeeFfeeeeFfeeee记作：FWf 可用复平面的单位圆来求W的各元素。如图4-1所示。当N=4时，参看图4.1(a)。把单位圆分为N=4份，则正变换矩阵第u行每次移动u份得到该行系数。112023-11-304W14W24W34W08W18W28W38W48W58W68W78W(a)(b)图4.1 复平面
8、单位圆(a)N4(b)N8122023-11-30000012302020321111111111111WWWWjjWWWWWWWWjjWWWW 同理N=8见图4-1(b)的单位圆。N=8的W阵应把单位圆分为8份，顺时顺次转0份,1份、,7份，可得W阵为:132023-11-300000000012345670246024603614725040404040527416306420642076543211111111111111122221111jjjjjjWWWWWWWWWWWWWWWWjjjWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
9、111111222211111111111111222211111111112222jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj 142.2.二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换 一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此，一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此，数字图像处理主要是二维数据处理。数字图像处理主要是二维数据处理。如果一幅二维离散图像如果一幅二维离散图像f(x,yf(x,y)的大小为的大小为M M*N N，则二，则二维傅里叶变换可用下面二式表示。维傅里叶变换可用下面二式表示。2023-11-3112()000,1,2,1(,)(,)0,1,2,1uxvyMNjMNxyuM
10、F u vf x y evN112()000,1,2,11(,)(,)0,1,2,1uxvyMNjMNuvxMf x yF u v eyNMN15 在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情况下总是况下总是M=NM=N。正逆变换对具有下列对称的形式：。正逆变换对具有下列对称的形式：2023-11-3112()001(,)(,),0,1,2,1ux vyNNjNxyF u vf x y eu vNN112()001(,)(,),0,1,2,1ux vyNNjNuvf x yF u v ex yNN16 3.3.二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里
11、叶变换的性质 二维离散傅里叶变换有一些重要的性质，这些性质为二维离散傅里叶变换有一些重要的性质，这些性质为使用提供了极大的方便。使用提供了极大的方便。1 1）分离性）分离性 二维离散傅里叶变换具有分离性二维离散傅里叶变换具有分离性 2023-11-3112()001(,)(,)ux vyNNjNxyF u vf x y eN1122001(,)uxvyNNjjNNxyef x y eN1201(,)uxNjNxF x v eN1201(,)(,)vyNjNyF x vNf x y eN172023-11-3 分离性质的主要优点是可借助一系列一维傅里叶变换分两步求得F(u,v)。第1步，沿着f(
12、x,y)的每一行取变换，将其结果乘以1/N,取得二维函数F(x,v);第2步，沿着F(x,v)的每一列取变换，再将结果乘以1/N,就得到了F(u,v)。这种方法是先行后列。如果采用先列后行的顺序，其结果相同。如图4.6所示。182023-11-3(0,0)f(x,y)N-1N-1xy(0,0)F(x,v)N-1N-1vx(0,0)F(u,v)N-1N-1vu行变换列变换图4.6 把二维傅里叶变换作为一系列一维的计算方法 19 对逆变换对逆变换f(x,y)也可以类似地分两步进行。也可以类似地分两步进行。2023-11-3112()00112200120(,)(,)(,)(,)uxvyMNjMNu
13、vuxvyNNjjNNuvuxNjNuf x yF u v eeF u v ef u y e20 2 2）平移性）平移性 傅里叶变换和逆变换对的位移性质是指：傅里叶变换和逆变换对的位移性质是指：2023-11-3)(20000),(),(NyvxujeyxfvvuuFNvyuxjevuFyyxxf00200),(),(由f(x,y)乘以指数项并取其乘积的傅立叶变换，使频率平面的原点位移至(u0,v0)。同样地，以指数项乘以F(u,v)并取其反变换，将空间域平面的原点位移至(x0,y0)。当u0=v0=N/2时，指数项为：002()()()(1)u x v yjjx yx yNee 21即为即为
14、：2023-11-3)2,2()1)(,()(NvNuFyxfyx 这样，用（-l）(x+y)乘以f(x,y)就可以将f(x,y)的傅里叶变换原点移动到N*N频率方阵的中心，这样才能看到整个谱图。另外，对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值。此外，与连续二维傅里叶变换一样，二维离散傅里叶变换也具有周期性、共轭对称性、线性、旋转性、相关定理、卷积定理、比例性等性质。这些性质在分析及处理图像时有重要意义。22 3.DFT 3.DFT应用中的问题应用中的问题 1 1）频谱的图像显示）频谱的图像显示 DFTDFT在计算机图像处理中计算的中间过程和结果要图在计算机图像处理中计算的中间过程和结果要图
15、像化。对像化。对DFTDFT来讲不但来讲不但f(x,yf(x,y)是图像是图像,F(u,vF(u,v)也要用图像来也要用图像来显示其结果。显示其结果。谱图像就是把谱图像就是把|F(u,vF(u,v)|)|作为亮度显示在屏幕上。但在作为亮度显示在屏幕上。但在傅里叶变换中傅里叶变换中F(u,vF(u,v)随随u,vu,v的衰减太快，其高频项只看到的衰减太快，其高频项只看到一两个峰，其余皆不清楚。一两个峰，其余皆不清楚。由于人的视觉可分辨灰度有限，为了得到清晰的显示由于人的视觉可分辨灰度有限，为了得到清晰的显示效果，即为了显示这个频谱，可用下式处理，设显示信号效果，即为了显示这个频谱，可用下式处理，
16、设显示信号为为D(u,vD(u,v),),2023-11-3|D(u,v)log(1F(u,v)23 即用显示即用显示D(u,vD(u,v)来代替只显示来代替只显示|F(u,vF(u,v)|)|不够清楚的补救不够清楚的补救方法。方法。谱的显示加深了对图像的视觉理解。如一幅遥感图像谱的显示加深了对图像的视觉理解。如一幅遥感图像受正弦网纹的干扰，从频谱图上立即可指出干扰的空间频受正弦网纹的干扰，从频谱图上立即可指出干扰的空间频率并可方便地从频域去除。率并可方便地从频域去除。如图如图4.74.7为图像的傅里叶频谱图像为图像的傅里叶频谱图像2023-11-3242023-11-3图4.7 图像的傅里叶频谱图像，原始图像，(b)频谱直接显示，(c)频谱经过变换后的结果(b)(c)a.a.25 2.2.频谱图像的移中显示频谱图像的移中显示 常用的傅里叶正反变换公式都是以零点为中心的公式，常用的傅里叶正反变换公式都是以零点为中心的公式，其结果中心最亮点却在频谱图像的左上角，作为周期性函数其结果中心最亮点却在频谱图像的左上角，作为周期性函数其中心最亮点将分布在四角，为了观察方便，将频谱图像的其中心最亮
