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1、第第5 5章章 实验数据及模型参实验数据及模型参 数拟合方法数拟合方法 5.1 问题的提出 5.2拟合的标准 5.3线性拟合和二次拟合函数 5.4多变量的曲线拟合5.5解矛盾方程组 5.6吸附等温曲线回归 目目 录录024681005101520Y X 5.1 问题的提出问题的提出 在化工设计及化工模拟计算中，需要大量的物性参数及各种设备参数。这些参数有些可以通过计算得到，但大量的参数还是要通过实验测量得到。实验测量得到的常常是一组离散数据序列（xi,yi）。如果数据序列（xi,yi）(为一般起见),i=1,2,m,含有不可避免的误差（或称“噪声”，如图5-1所示），或者无法同时满足某特定的函
2、数（如图5-2所示）,那么，只能要求所作逼近函数（x）最优地靠近样点，即向量Q=（(x1),(x2),(xm)）T与Y=(y1,y2,ym)T的误差或距离最小。按Q与Y之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。-202468101214161820050100150200Y X 图5-1 含有噪声的数据图5-2 无法同时满足某特定函数的数据序列5.15.65.55.45.35.25.1 问题的提出问题的提出 除了物性数据及设备参数需要利用数据拟合外，在化学化工中，许多模型也要利用数据拟合技术，求出最佳的模型和模型参数。如在某一反应工程实验中，我们测得了如表5-1所示的实验数
3、据。序号 1 2 3 4 5 6 7 8 温度 T 10 20 30 40 50 60 70 80 转化率 y 0.1 0.3 0.7 0.94 0.95 0.68 0.34 0.13 现在要确定在其他条件不变的情况下，转化率y和温度T的具体关系，现拟用两种模型去拟合实验数据，两种模型分别是 2111TcTbay2222)45(Tbacy 如何求取上述模型中的参数，并判断两种模型的优劣是化学化工工作者经常要碰到的问题，这个问题的求解将在本章下面的有关章节中进行详细的讲解。5.15.65.55.45.35.25.2拟合的标准 前面已经提到按Q与Y之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称
4、为拟合函数，而向量Q与Y之间的误差或距离有各种不同的定义方法，一般有以下几种。（1）用各点误差绝对值的和表示 （2）用各点误差按绝对值的最大值表示 （3）用各点误差的平方和表示 式中R称为均方误差。由于计算均方误差的最小值的原则容易实现而被广泛采用。按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。同时还有许多种其他的方法构造拟合曲线，感兴趣的读者可参阅有关教材。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线。miiiyxR11)(iimiyxR)(max122212Y-Q(x)R )(或imiiyxRR5.15.65.55.45.35.25.2拟合的标准 实例 实验测得二甲醇（DME）的饱和蒸气压和
5、温度的关系，见表5-2。由表3-2的数据观测可得，DME的饱和蒸气压和温度有正相关关系，如果以函数p=a+bt来拟合,则拟合函数是一条直线。通过计算均方2121)()(),(imiiimiipbtaptpbaQ 拟合得到直线方程为：相关系数R为0.97296，平均绝对偏差SD为0.0707。tp0.01210.30324-30-20-10010203040500.00.20.40.60.81.0pt图5-3 DME饱和蒸汽压和温度之间的线性拟合 5.15.65.55.45.35.2序号温度 蒸气压 MPa1-23.70.1012-100.174300.2544100.3595200.49563
6、00.6627400.880表5-2 DME饱和蒸气压和温度的关系误差Q(a,b)最小值而确定直线方程（见图5-3）均方误差Q5.2拟合的标准 实例 如果采用二次拟合，通过计算下述均方误差 拟合得二次方程为 相关系数R为0.99972，平均绝对偏差SD为0.00815,具体拟合曲线见图5-4。比较图5-3和图5-4以及各自的相关系数和平均绝对偏差可知，对于DMEDME饱和蒸气压和温度之间的关系，用二次曲线拟合优于线性拟合。具体的计算方法及编程在下一节里介绍。21221012210)()(),(imiiimiiiptataaptpaaaQ2000150009570248450t.t.p-30-2
7、0-10010203040500.00.20.40.60.81.0y=0.24845+0.00957 x+0.00015 x2压力,P(MPa)温 度,t()图5-4 DME饱和蒸气压和温度之间的 二次拟合 5.15.65.55.45.35.25.3 线性拟合和二次拟合函数 线性拟合线性拟合 给定一组数据（xi,yi）,i=1,2,m，作拟合直线p(x)=a+bx,均方误差为 2121)()(),(imiiimiiybxayxpbaQ由数学知识可知，Q(a,b)的极小值需满足：0)(2),(1imiiybxaabaQ0)(2),(1iimiixybxabbaQ整理得到拟合曲线满足的方程：mim
8、imiiiiimimiiiyxbxaxybxma111211)()()(该方程可用消元法或克莱姆方法解出方程（如右图所示）)()()(/()(2112111211211121121112111mimiiimimiimiiiimiimiimiiimiimiimiimiimiimiimiimiiimiimiixxmyxyxmbxxmyxxxyxxxmxyxxya5.15.65.55.45.35.25.3 线性拟合和二次拟合函数 线性拟合实例线性拟合实例 下表为实验测得的某一物性和温度之间的关系数据，表中x为温度数据，y为物性数据。请用线性函数拟合温度和物性之间的关系。解：设拟合直线p(x)=a+b
9、x,并计算得下表：将数据代入法方程组（5-12）中，得到：解方程得：a=-1.5,b=1.5拟合直线为：VB调用5.15.65.55.45.35.2x7911131517192123252729y91215182124273033363942x313335373941434547 y454851545760636669 编号xyxyx21234521791113154756791215182169819631081652343153243267334981121169225220918389267338191838956756721bax .p(x)5.1515.3 线性拟合和二次拟合函数 二
10、次拟合函数二次拟合函数 给定数据（xi,yi),i=1,2,m,用二次多项式函数拟合这组数据。设 ,作出拟合函数与数据序列的均方误差表达式2210 x ax a ap(x)21221012210)()(),(imiiimiiiyxaxaayxpaaaQ由数学知识可知，Q(a0,a1,a2)的极小值满足：miiiiimiiiiimiiiixyxaxaaaQxyxaxaaaQyxaxaaaQ12221021221011221000)(20)(20)(2整理右式得二次多项式函数拟合的满足条件方程（1-14）：miiimiiimiimiimiimiimiimiimiimiimiiyxyxyaaaxxx
11、xxxxxm121121014131213121121 解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函数p(x)。式（5-14）称为多项式拟合的法方程，法方程的系数矩阵是对称的。当拟合多项式5.15.65.53.45.35.2(5-14)n 5时，法方程的系数矩阵是病态的，在用通常的迭代方法求解线性方程时会发散，在计算中要采用一些特殊算法以保护解的准确性。关于线性方程的求解方法，将在第三章中介绍。5.3 线性拟合和二次拟合函数 二次拟合函数的拓展二次拟合函数的拓展 和一次拟合一样，二次拟合也可以有多种变型，例如 套用上面的公式，可以得到关于求解此拟合函数的法方程（5-15）。值得注意的是在此法方程的
12、构建过程中，进行了变量的代换。首先是拟合函数中变量的代换:。其次是法方程的代换：将相应拟合函数中的代换引入法方程中。同时应注意法方程中x的4次幂是由两个2次幂相乘得到，x的3次幂是由一个2次幂和一个1次幂相乘得到，而2次幂就是变量本身，而非两个1次幂相乘得到。这个概念至关重要，在以后的二次拟合的各类变型中，均需利用这个概念，千万不要用常规的思路去进行代入计算。miiimiiimiimiimiimiimiimiimiimiimiiyxyxyaaaxxxxxxxxm1513121011018151816131513253,xxxx如果我们需要求解是下面的拟合函数：5.1110)273(273lnx
13、bxaay参照上面的方法，我们很容易得到求解该拟合函数的法方程miiimiiiimiimiimiimiimiimiimiimiimiiyxxyyaaaxxxxxxxxm15.1112101315.015.115.015.1115.11ln)273(273lnln)273()273()273()273()273(2731)273(27315.15.65.55.45.35.2P(x)=a0+a1x3+a2x5（5-15）5.3 线性拟合和二次拟合函数 二次拟合实例二次拟合实例请用二次多项式函数拟合下面这组数据。解解：设 并计算得下表序号 1 2 3 4 5 6 7 x-3-2-1 0 1 2 3
14、y 4 2 3 0-1-2-5 2210 x ax a ap(x)7196028a390280a12807a210210210aaaaaa将上面数据代入式(5-14),相应的法方程为解方程得 a0=0.66667,a1=-1.39286,a2=-0.130952130950392861666670 x.x-.-.p(x)-3-2-10123-6-4-2024y=0.66667-1.39286 x-0.13095 x2yY X 图图 5-6 拟合曲线与数据序列拟合曲线与数据序列 5.15.65.55.45.35.2序号xyxyX2X2yX3X41-34-12936-27812-22-448-81
15、63-13-313-114000000051-1-11-11162-2-44-881673-5-159-45278101-3928-70196所以5.4多变量的曲线拟合多变量的曲线拟合 前面介绍的曲线拟合方法只涉及单变量函数的曲线拟合，但实际在化工实验数据处理及模型参数拟合时，通常会碰到多变量的参数拟合问题。一个典型的例子是传热实验中努塞尔数、雷诺数及普朗特数之间的拟合问题：根据若干组实验测得的数据，如何求出式（5-16）中的参数c1、c2、c3，这是一个有2个变量的参数拟合问题，为不失一般性，我们把它表达成以下形式。给定数据序列 用一次多项式函数拟合这组数据。设 ，作出拟合函数与数据序列的均
16、方误差 由多元函数的极值原理，Q(a0,a1,a2)的极小值满足32ccPrRecNu122110 x a x a ap(x)212211012210)()(),(imiiimiiiyxaxaayxpaaaQmiiiiimiiiiimiiiixyxaxaaaQxyxaxaaaQyxaxaaaQ122211021122110112211000)(20)(20)(25.15.65.55.45.35.2(x1i,x2i,yi),i=1,2,3,m（5-17）5.4多变量的曲线拟合多变量的曲线拟合 整理得多变量一次多项式函数拟合的法方程 通过求解方程（5-18）就可以得到多变量函数线性拟合时的参数，由于方程（5-16）不是线性方程，我们可以通过对方程（5-16）两边同取对数，就可以得到以下线性方程 只要作如下变量代换：并将实验数据代入法方程（5-18）就可以求出方程（5-16）中的系数。对于变量数多于2个，并且拟合曲线模型是非线性型时，可参照本节的方法，推导得到法方程，通过对法方程的求解就可以求得各种拟合曲线参数。灵活运用上面介绍的方法，可以解决大部分实验数据及模型参数的拟合问题。miiimi
