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1、第 6 章 Z变换6.1 z变换基础变换基础6.2 传输函数传输函数6.3 逆逆z变换变换6.4 传输函数与稳定性传输函数与稳定性返回6.2.1 传输函数和差分函数传输函数和差分函数6.2.2 传输函数很脉冲响应传输函数很脉冲响应6.2.3 计算滤波器输出计算滤波器输出6.2.4 传输函数的级联和并联传输函数的级联和并联6.2 传输函数传输函数返回6.3 逆逆z变换变换6.3.1 标准式标准式6.3.2 简单的逆简单的逆 z 变换变换6.3.3 长除法求逆长除法求逆 z 变换变换6.3.4 部分分式展开法求逆部分分式展开法求逆 z 变换变换返回6.4 传输函数与稳定性传输函数与稳定性6.4.1
2、 极点与零点极点与零点6.4.2 稳定性稳定性6.4.3 一阶系统一阶系统6.4.4 二阶系统二阶系统返回专业词汇 z transform z变换 region of convergence 收敛域 inverse z transform 逆z变换 transfer function 传输函数 partial fraction expansion 部分分式展开 cover-up method 覆盖法 zero 零点 pole 极点 marginally stable 临界稳定 unstable 不稳定6.1 z变换基础变换基础序列序列xn的的z变换定义为变换定义为X(z)=xnz-nxn 的的
3、z变换处于变换处于 z 域，域，z 域是含有复数的频域域是含有复数的频域z 实部为横轴，虚部为纵轴的复平面上的复变量，实部为横轴，虚部为纵轴的复平面上的复变量，把序列把序列 xn 的的 z 变换记为变换记为 Zxn=X(z)由由 X(z)计算计算 xn 进行进行 z 的逆变换的逆变换 xn=Z-1X(z)Z 变换变换 n=0 称为单边称为单边 Z 变换，其特点是可考虑起始变换，其特点是可考虑起始 条件，更易收敛，实际中应用较多。条件，更易收敛，实际中应用较多。n=-称为双边称为双边 Z 变换，由变换，由-起无法考虑起起无法考虑起 始条件，在理论上的意义更大。始条件，在理论上的意义更大。n=0Z
4、 变换的收敛域变换的收敛域 Z 变换是变换是 Z-1 的幂级数，只有当此级数收敛，的幂级数，只有当此级数收敛，Z 变换变换才有意义，而且同一个才有意义，而且同一个 Z 变换是式，收敛域不同，可以变换是式，收敛域不同，可以代表不同序列的代表不同序列的 Z 变换函数。变换函数。Z 变换收敛域是定义变换收敛域是定义 Z 变换函数极其重要的因素。变换函数极其重要的因素。使此级数收敛的所有使此级数收敛的所有 Z 值的集合称为值的集合称为 Z 变换的收敛域变换的收敛域|xnZ-n|n=0 n=0比值法判定：若有一正项级数比值法判定：若有一正项级数|an|，其后项与前项比值，其后项与前项比值极限为极限为 l
5、im =R，R1时级数收敛。时级数收敛。n an+1 an例例 6.1 计算序列计算序列 xn=n 的的 z 变换变换 X(z)。解：解：信号信号n 只在只在 n=0 处有非零值，因此：处有非零值，因此：Zxn=X(z)=nz-n=0=1 此此 z 变换对所有的变换对所有的 z 值都有定义，故其收敛为整个值都有定义，故其收敛为整个 z 平面。平面。n=0例例 6.2 计算序列计算序列 xn=n-1 的的 z 变换。变换。解：解：信号只在信号只在 n=1 一个地方有非零值，因此：一个地方有非零值，因此：Zxn=X(z)=n-1z-n=0z-1=z-1 除了除了 z=0 外其余的外其余的 z 都有
6、意义，因此其收敛域为都有意义，因此其收敛域为 z0 的的整个平面。整个平面。n=0例例 6.3 计算计算 xn=un 的的 X(z)。解：解：X(z)=xnz-n=unz-n=z-n=1+z-1+z-2+z-3+z-4+z-5+这是首项这是首项 a=1 及乘数及乘数 r=z-1 的的a+ar+ar2+几何几何级数。如附录级数。如附录 A.16 所示，无穷几何级数的和为：所示，无穷几何级数的和为：S=若若|r|1，因此：，因此：X(z)=n=0 n=0 n=0 a1-r 11 z-1 zz-1例例 6.4 信号信号 xn 如图如图 6.1所示，计算信号的所示，计算信号的 z 变换。变换。图图 6
7、.1解：解：信号可以写成：信号可以写成：xn=2n+n-1+0.5n-2它只有三个非零值，因此它只有三个非零值，因此 z 变换的项数相同，其变换的项数相同，其 z 变换为：变换为：X(z)=xnz-n=x0+x1z-1+x2z-2=2+z-1+0.5z-2 z0 时，此式有定义。时，此式有定义。n=0例例 6.5 计算序列计算序列 xn=(-0.5)nun 的的 z 变换。变换。解：解：因为在因为在 n 时，时，un=1，所以：，所以：X(z)=xnz-n=(-0.5)nz-n=(-0.5z-1)n =1 0.5z-1+0.25 z-2 0.125z-3+如例如例 6.3 所示，这是无穷几何级
8、数，其中所示，这是无穷几何级数，其中 a=1，r=-0.5z-1，因此其和为：，因此其和为：X(z)=此此 z 变换的收敛域为变换的收敛域为|-0.5z-1|0.5。n=0 n=0 n=0 11+0.5z-1 zz+0.5 基本基本 z 变换列于表变换列于表 6.1 信号信号xn x(z)收敛域收敛域 n 1 z un|z|1 nun|z|nun|z|1cos(n)un|z|1sin(n)un|z|1ncos(n)un|z|nsin(n)un|z|z z 1 z z z(z 1)2 z2-zcos z2 2zcos+1 z2-zsin z2 2zcos+1 z2-zcos z2 2zcos+2
9、 z sin z2 2zcos+2 例：例：6.6 求信号求信号 xn=2un-2 的的 z 变换。变换。解：解：因为因为 Zun=，Zun-2=z-2 =故有：故有：X(z)=z z-1 z z-1 z z(z 1)2 z(z 1)返回6.2 传输函数传输函数6.2.1 传输函数和差分方程。传输函数和差分方程。若计算差分方程若计算差分方程 z 变换变换,则对方程中的每一项都要进行则对方程中的每一项都要进行z 变换。变换。若若 Zyn=Y(z)Zyn-2=Z-2 Y(z)Zxn=X(z)Zxn-2=Z-2 X(z)对差分方程每项对差分方程每项 z 变换后，变换后，Z域中的输入输出比为域中的输入
10、输出比为 H(z)=H(z)称为传输函数。称为传输函数。输出输出输入输入 Y(z)X(z)对差分方程一般式：对差分方程一般式：a0yn+a1yn-1+aNyn-N =b0 xn+b1xn-1+bMxn M逐项进行变换，得：逐项进行变换，得：a0 Y(z)+a1z-1 Y(z)+aN z-NY(z)=b0 X(z)+b z-1 X(z)+bM z-M X(z)H(z)=Y(z)X(z)b0+b1z-1+bMz-M a0+a1z-1+aN z-N bkz-k akz-k Mk=0 Nk=0关于关于 解此方程，得到传输函数：解此方程，得到传输函数：Y(z)X(z)例：例：6.8 求下列差分方程所描述
11、系统的传输函数：求下列差分方程所描述系统的传输函数：2yn+yn-1+0.9ynn-2=xn-1+xn-4解：解：逐项进行逐项进行 z 变换得：变换得：2Y(z)+z-1 Y(z)+0.9z-2Y(z)=z-1X(z)+z-4 X(z)Y(z)是滤波器输出是滤波器输出 yn 的的 z 变换，变换，X(z)是滤波器输入是滤波器输入 xn 的的 z 变换，左右两边分别提取公因式变换，左右两边分别提取公因式 Y(z)和和X(z)有：有：(2+z-1+0.9z-2)Y(z)=(z-1+z-4)X(z)关于关于 解此方程，得到系统传输函数为：解此方程，得到系统传输函数为：H(z)=Y(z)X(z)输出输
12、出输入输入 Y(z)X(z)z-1+z-42+z-1+0.9z-2例例 6.9 由下列差分方程计算系统传输函数：由下列差分方程计算系统传输函数：yn 0.2yn-1=xn+0.8xn-1解：解：通过观察可得：通过观察可得：H(z)=1+0.8z-11 0.2z-1 例例 6.10 计算下列差分方程的系统传输函数：计算下列差分方程的系统传输函数：yn=0.75Xn 0.3xn-2 0.01xn-3解：解：这个非递归差分方程所对应的传输函数为：这个非递归差分方程所对应的传输函数为：H(z)=0.75 0.3z-2 0.01z-3 例例 6.11 求下列系统传输函数的差分方程：求下列系统传输函数的差
13、分方程：H(z)=1+0.5z-11 0.5z-1解：解：传输函数是传输函数是 Y(z)和和 X(z)之比：之比：=叉乘得到：叉乘得到：Y(z)(1 0.5z-1)=X(z)(1+0.5z-1)或或 Y(z)0.5z-1Y(z)=X(z)+0.5z-1X(z)逐项进行逆逐项进行逆 z 变换得到差分方程：变换得到差分方程：yn 0.5yn-1=xn+0.5xn-1Y(z)X(z)1+0.5z-11 0.5z-1例例 6.12 求下列系统传输函数的差分方程求下列系统传输函数的差分方程：H(z)=z(2z-1)(4z 1)解：解：将分母展开得：将分母展开得：H(z)=Y(z)zX(z)8z-1 6z
14、+1叉乘得：叉乘得：Y(z)(8z2 6z+1)=X(z)(z)逆逆 z 变换得：变换得：8yn+2 6yn+1+yn=xn+1此差分方程看起来不熟悉，最新的输出为此差分方程看起来不熟悉，最新的输出为 yn+2，而不，而不是是 yn；然而差分方程简单表示了相对不同时刻的数据联；然而差分方程简单表示了相对不同时刻的数据联系。只要每一项都进行相同的移位，差分方程不变。全部系。只要每一项都进行相同的移位，差分方程不变。全部向后移两位，差分方程为：向后移两位，差分方程为：8yn 6yn-1+yn-2=xn-1或或 yn 0.75yn-1+0.125yn-2=0.125xn-1返回返回6.2.2 传输函
15、数和脉冲响应传输函数和脉冲响应图图6.4 差分方程，脉冲响应，传输函数描述系统差分方程，脉冲响应，传输函数描述系统时域的卷积等效时域的卷积等效频域点积；频域点积；时域的点积等效时域的点积等效频域卷积频域卷积对卷积对卷积 z 变换，得脉冲响应与传输函数的关系变换，得脉冲响应与传输函数的关系 yn=hkxn-k=hn*xn Y(z)=H(z)X(z)=X(z)H(z)n=0H(z)是脉冲响应的是脉冲响应的 z 变换，也就是滤波器的传输函数是变换，也就是滤波器的传输函数是其脉冲响应的其脉冲响应的 z 变换。变换。Zh(n)=H(z)=h(n)z-n 脉冲响应脉冲响应 h(n)是传输函数的逆是传输函数
16、的逆 z 变换变换 h(n)=z-1 H(z)K=-例例 6.13 数字滤波器的脉冲响应为：数字滤波器的脉冲响应为：hn=n+0.4n-1+0.2n-2+0.05n-3求此滤波器的传输函数。求此滤波器的传输函数。解：解：滤波器的传输函数就是脉冲响应的滤波器的传输函数就是脉冲响应的 z 变换：变换：H(z)=1+0.4z-1+0.2z-2+0.05z-3 注意，此传输函数得到差分方程：注意，此传输函数得到差分方程：yn=xn+0.4xn-1+0.2xn-2+0.05xn-3返回返回6.2.3 计算滤波器输出计算滤波器输出 用传输函数用传输函数 H(z)=Y(z)X(z)Y(z)=H(z)X(z)yn=Z-1Y(z)返回返回6.2.4 传输函数的级联和并联传输函数的级联和并联图图 6.5例例 6.14 求图求图 6.6 所示级联所对应的差分方程所示级联所对应的差分方程图图 6.6 解：解：例例 4.7 已经分析了相同的级联系统，当时得出的各级差分已经分析了相同的级联系统，当时得出的各级差分方程为：方程为：y1n=x1n 0.1x1n-1+0.2x1n-2 y2n=x2n 0.3x2n-1+
