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1、射影定理直角三角形射影定理(又叫欧几里德(EUCIid)定理)：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式RtABC,ZBAC=90o,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)A2;=BDDC,(2)(AB)2=BDBC,(3)(ACF2;=CDBC。等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)简介所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理(又叫欧几里德(EUClid)定理)：一角三角形中,赳边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例史项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式
2、：如图，RSABC中，ZABC=90o,BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：(I)(BD)A2=ADDC,(2)(AB)2=ADAC,(3)(BC)2=CDCAo等积式(4)ABXBC=ACXBD(可用“面积法”来证明)直角三角形射影定理的证明射影定理简图(几何画板):(主要是从三角形的相像比推算来的)一、在ABAD与ABCD中，NABD+/CBD=90。,且ZCBD+ZC=90o,AZABD=ZC,又.NBDA=NBDC=90。BADCBD：,ADBD=BDCD即BD2=ADDCo其余同理可得可证注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。有射影定理如下：AB2=ADAC,BC2=CDCA两式
3、相加得：AB2+BC2=ADAC+CDAC=(ADCD)AC=AC2.即AB2+BC2=AC2(勾股定理结论)。二、已知：三角形中角A=90度,AD是高.用勾股证射影丁AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,2AD2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BDCD.故AD2=BDCD.运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BDxCD=BDx(BD+CD)=BDBC,AC=CD+AD=CD+BDCD=CD(BD+CD)=CDCB.综上所述得至IJ射影定理。同样也可以采用三角形面积学问进行证明。任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”:ABC
4、的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosBbcosA注：以a=bcosC+ccosB”为例，b、C在a上的射影分别为bcosCccosB,故名射影定理。证明1：设点A在直线BC上的射影为点D,则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD,且BD=C-CosB,CD=bcosC,；a=BD+CD=bcosC+ccosB.同理可证其余。证明2：由正弦定理，可得：b=asinBsinAc=asinCsinA=asin(A+B)sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)sinA=acosB+(asinB/Sin
5、A)COSA=acosB+bcosA.同理可证其它的。射影定理面积射影定理面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。COS=S射影/S原（平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为）证明思路：由于射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又由于平面多边形的面积比=边长的平方比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。那么这个比值应当是平面所成角的余弦值。在两平面中作始终角三角形，并使斜边和始终角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），那么三角形的斜边和另始终角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比，而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可。
