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1、材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形6-5 简单超静定梁简单超静定梁6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够
2、的刚度，以保证结构或机器正常工作。以保证结构或机器正常工作。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。加工精度，甚至会出现废品。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡则会使小车行走困难，出现爬坡现象。现象。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作
3、需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。P2P2P材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程1.梁的梁的挠曲线挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。BAB1Fxq qq qwyx 2.梁位移的度量：梁位移的度量：挠度挠度：梁横截面形心的竖向位移：梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正，向上的挠度为正转角转角：梁横截面绕中性轴转动的角度：梁横截面绕中性轴转动的角度
4、q q，逆时针转动为正，逆时针转动为正挠曲线方程挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数：挠度作为轴线坐标的函数 w=f(x)转角方程转角方程(小变形下小变形下)：转角与挠度的关系：转角与挠度的关系)(xfdxdwtgqq3.计算位移的目的：计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施刚度校核、解超静定梁、适当施工措施材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形4.挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到：z zEIEIM M1 1忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响zEIxMx)()(1 材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形由
5、数学知识可知：由数学知识可知：3222)(1 1dxdwdxwd略去高阶小量，得略去高阶小量，得221dxwd所以所以zEIxMdxwd)(222M(x)0M(x)0Od ydx2 0 xyM(x)0Odxd y 022yxM(x)b。解解 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx,02）弯矩方程）弯矩方程 axxlFbxFxMAy11110,AC 段：段：lxaaxFxlFbaxFxFxMAy222222),()(CB 段：段：maxyab1x2xACDFxAyFByFAqBqyB材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形3）列挠曲线近似微分方程并积
6、分）列挠曲线近似微分方程并积分112112)(xlFbxMdxydEI1211112)(CxlFbxEIdxdyEIq1113116DxCxlFbEIyAC 段：段：ax 10)()(2222222axFxlFbxMdxydEI2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdyEIq2223232)(662DxCaxFxlFbEIyCB 段：段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFAqBqyB材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数0)(,22 lylx0)0(,011 yx代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移
7、边界条件光滑连续条件光滑连续条件)()(,2121aaaxxq qq q )()(,2121ayayaxx lFbFblCC661321 021 DDmaxyab1x2xACDFxAyFByFAqBqyB材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEIq12231)(661xbllFbxlFbEIyAC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEIq22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIyCB 段：段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFA
8、qBqyB材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得，得，0 dxdq q)(6,maxalEIlFablxB q qq q令令 得，得，0 dxdy)(39)(,3322max22EIlblFbyblx maxyab1x2xACDFxAyFByFAqBqyB材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形例例6-3-2 已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均。试求图示简支梁在均布载荷布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和和wmax。xqylxAB解：解：M
9、xqlxqx()222222xqxqlwEI CxqxqlwEI3264DCxxqxqlEIw432412材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形梁的转角方程和挠曲线梁的转角方程和挠曲线方程分别为：方程分别为：)46(24332lxlxEIqq)2(24332lxlxEIqxw最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：EIqlBA243maxqqqEIqlwwlx384542maxqAB由边界条件：由边界条件：0;00wlxwx时，时，得：得：0,243DqlCxlABxy材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形)(
10、22xMEIwdxwdEI 设梁上有设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，转角为q q，挠度为，挠度为y，则有：，则有：)(xMEIwii 若梁上只有第若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为个载荷单独作用，截面上弯矩为Mi(x)，转角为转角为q qi，挠度为，挠度为yi，则有：，则有：由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，)()(11xMwEIwEIniinii 材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形故故 )(1 niiww由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此,1
11、niiqq niiww1重要结论：重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 力与位移之间的线性关系力与位移之间的线性关系 小变形小变形材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形例例6-4-1 按叠加原理求按叠加原理求A点转点转角和角和C点挠度。点挠度。qqPP=+AAABBBCaaEIqaEIPaqAPAA3432qqqEIPaEIqawC6245
12、34EIPawPC63EIPaPA42qEIqLwqC2454EIqaqA33q材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形例例6-4-2 已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。均为已知。求求C 截面的挠度截面的挠度yC；B截面的转角截面的转角q qB。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形yC1yC2yC3EIqlB2431qEIqlB1632qEIqlB333qEIqlwC384541EIqlwC4842EIqlwC1643EIqlEIqlEIqlEIqlwC38411164838454444EIqlEIqlEIqlEIqlB48113162433
13、33q材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形例例6-4-3 已知：悬臂梁受力如图示，已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已均为已知。求知。求C截面的挠度截面的挠度yC和转角和转角q qC。Cy材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形Cw1Cw,841EIqlwC,248128234222lEIqlEIqllwwBBCqEIqlC631qEIqlC4832qEIqlwwiCiC38441421EIqliCiC487321qq2Cw2Bw材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式叠加（逐段刚化法）：例例6-4-4 试按叠加原理
14、求图示等直外伸梁截面试按叠加原理求图示等直外伸梁截面B的的转角转角q qB，以及，以及A端和端和BC段中点段中点D的挠度的挠度wA和和wD。材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形解：解：=材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 3132242323EIqaEIaqaEIaqBMBqBqqq)(241162238454224EIqaEIaqaEIaqwwwDMDqD EIqaEIaqaEIqawwwA443211278231材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形例例6-4-4 刚架刚架ABC承载如图承载如图,各杆的抗弯刚度为各杆的抗弯刚度为EI,求刚架自由端求刚架自
15、由端C的水平位移和垂直位移的水平位移和垂直位移.EIFaEIaFauc3222)2)(EIFaEIFaaEIaFawc373)2)(33 水平位移水平位移垂直位移垂直位移材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁例例6-5-1 试求图示系统的求试求图示系统的求全部未知力。全部未知力。解：解：建立静定基建立静定基确定超静定次数，用反力代替多确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构余约束所得到的结构静定基。静定基。=EIq0LABLq0MABAq0LRBABxf材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形几何方程几何方程变形协调方程变形协调方
16、程0BBRBqBfff+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系补充方程补充方程EILRfEIqLfBBRBqB3;83403834EILREIqLB83qLRB求解其它问题（反力、应力、求解其它问题（反力、应力、变形等）变形等）材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形几何方程几何方程 变形协调方程：变形协调方程：解：解：建立静定基建立静定基BCBRBqBLwwwB =例例6-5-1结构如图，求结构如图，求B B点反力。点反力。LBCEAq0LRBABCq0LRBABEI=RBAB+q0ABxf材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形=LBCEAq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系补充方程补充方程求解其它问题（反力、应力、变求解其它问题（反力、应力、变形等）形等）EILRwEIqLwBBRBqB3;834 EALREILREIqLBCBB 3834)3(834EILALIqLRBCB EALRLBCBBC xf材料力学材料力学 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形例例6-5-3 试求图试求图a所示系
