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1、1第第6章章 线性回归与曲线拟合线性回归与曲线拟合2线 性 回 归n y与x之间是一种相关关系，即当自变量x变化时，因变量y大体按某规律变化，两者之间的关系不能直观地看出来，需要用统计学的办法加以确定，回归分析就是研究随机现象中变量间关系的一种数理统计方法，相关关系存在着某种程度的不确定性。身高与体重；矿物中A组分含量与B组分含量间的关系；分析化学制备标准工作曲线，浓度与吸光度间的关系。n 求回归方程的方法，通常是用最小二乘法，其基本思想就是从并不完全成一条直线的各点中用数理统计的方法找出一条直线，使各数据点到该直线的距离的总和相对其他任何线来说最小，即各点到回归线的差分和为最小，简称最小二乘
2、法。36.1 散点图n 要研究两个变量之间是否存在相关要研究两个变量之间是否存在相关关系，自然要先作实验，拥有一批实验关系，自然要先作实验，拥有一批实验数据，然后，作散点图，以便直观地观数据，然后，作散点图，以便直观地观察两个变量之间的关系。察两个变量之间的关系。n 合成纤维强度与拉伸倍数的关系，合成纤维强度与拉伸倍数的关系，24组实验。组实验。4 某合成纤维拉伸倍数和强度的关系编号编号拉伸倍数拉伸倍数强度强度y编号编号拉伸倍数拉伸倍数强度强度yxkgf/cm2xkgf/cm21 11.91.91.41.413135 55.55.52 22 21.31.314145.25.25 53 32.1
3、2.11.81.815156 65.55.54 42.52.52.52.516166.36.36.46.45 52.72.72.82.817176.56.56 66 62.72.72.52.518187.17.15.35.37 73.53.53 319198 86.56.58 83.53.52.72.720208 87 79 94 44 421218.98.98.58.510104 43.53.522229 98 811114.54.54.24.223239.59.58.18.112124.64.63.53.5242410108.18.150246810051015拉伸倍数x强度y6从散点图中
4、看出，这些点虽然散乱，但大体上散布从散点图中看出，这些点虽然散乱，但大体上散布 在某直线的周围，也就是说，拉伸倍数与强度之间在某直线的周围，也就是说，拉伸倍数与强度之间 大致成线性关系。其关系可用下式表示：大致成线性关系。其关系可用下式表示：Y=a+bx Y是是y的计算值，与实际值不完全相同。的计算值，与实际值不完全相同。Y与与x之间不具有确定的函数关系，而是相关关系。之间不具有确定的函数关系，而是相关关系。确定回归方程确定回归方程Y=a+bx中的回归系数中的回归系数a、b。y随随x增大，称为正相关；增大，称为正相关；y随随x减小，称为负相关。减小，称为负相关。肉眼判断，杂乱无章，不存在直线关
5、系。肉眼判断，杂乱无章，不存在直线关系。70246810051015拉伸倍数x强度y86.2 回归方程的相关系数n因变量因变量y与自变量与自变量x之间是否存在相关关系，在之间是否存在相关关系，在求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何无规律的试验点，均可配出一条线，使该线离无规律的试验点，均可配出一条线，使该线离各点的误差最小。为检查所配出的回归方程有各点的误差最小。为检查所配出的回归方程有无实际意义，可以用无实际意义，可以用相关关系相关关系，或称，或称相关系数相关系数检验法检验法。106.3 曲线拟合n 在化工实验数据处理中，我们经常会遇到这样的问题，
6、即已知两个变量之间存在着函数关系，但是，不能从理论上推出公式的形式，要我们建立一个经验公式来表达这两个变量之间的函数关系。n 二元溶液的溶解热与浓度的函数关系n 反应物的浓度与反应时间的函数关系n 做散点图，选经验方程，曲线变直，相关系数对比，求出常数11 在某液相反应中，不同时间下测的某组成的浓度见下表，在某液相反应中，不同时间下测的某组成的浓度见下表，试作出其经验方程。试作出其经验方程。浓度随时间的变化关系浓度随时间的变化关系 时间时间t(min)2 5 8 11 14 17 27 31 35 浓度浓度 cA(mol/L)0.948 0.879 0.813 0.749 0.687 0.64
7、0 0.493 0.440 0.391 、首先将实验数据、首先将实验数据 tcA作图，图像表明，这是一条曲线，不是作图，图像表明，这是一条曲线，不是 y=a+bx型直线，因此，对照样板曲线重新选型。型直线，因此，对照样板曲线重新选型。12c,t关系图00.20.40.60.81010203040t（m in）c（m ol/L）系列11314、再选用、再选用 y=axb型作试探，将此曲线变直型作试探，将此曲线变直 y=lncA x=lnt 算得：算得：lncA lnt 的数表的数表 Lnt 0.693 1.61 2.08 2.84 2.64 2.83 3.296 3.434 3.555 lncA
8、-0.053-1.09-2.07-0.289-0.375-0.446-0.707-0.821-0.939 作作 lnc lnt 的图，发现原来的曲线不但没变直，反而更加弯曲了。说明这的图，发现原来的曲线不但没变直，反而更加弯曲了。说明这个类型的经验公式更不适合了。个类型的经验公式更不适合了。lnc，lnt 关系图-1-0.8-0.6-0.4-0.2001234lntlnc系列115、又重新选型，选用、又重新选型，选用 y=aebx型，再试探型，再试探 y=lncA x=t 作作 t lncA的图，的图，作出图来，是一条很好的直线，说明这组实验数据，服从作出图来，是一条很好的直线，说明这组实验数据，服从 cA=aebt 型经验方程。型经验方程。对照一级反应动力学的积分式：对照一级反应动力学的积分式：c=cA0e-kt 说明我们所作的结果，事实上证明了这个液相反应是一级反应，说明我们所作的结果，事实上证明了这个液相反应是一级反应，a 相当于反应物相当于反应物 A 的初始浓度的初始浓度 cA0。b 相当于反应速率常数相当于反应速率常数 k。lnc，t 关系图-1-0.8-0.6-0.4-0.20010203040tlnc系列1
