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1、第三章多维随机变量及其概率分布第01讲多维随机变量的概念(一)第一节多维随机变量的概念1.1二维随机变量及其分布函数n维随机变量定义(定义1)：由n个随机变量X,X2,.,X“构成的整体X;(X1,X2,.,Xn),称为一个n维随机变量或n维随机向量；Xk称为X的第k个分量，k=l,2,.n.n=l时，X称为一维随机变量；n=2时，X称为二维随机变量.二维随机变量(X,Y)的分布函数、边缘分布函数(定义2):二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=PXx,Yy,-oox,y+o二维随机变量关于X和Y的边缘分布函数，记作FX(X)和Fv(y)Ec(x)=P(Xx=PXx,Yo=F(x,三
2、o)=IimF(x,y)yF(y)=PYy=PXgYWy=F(gy)=IimF(x,y).二维随机变量的分布函数的性质：性质1(单调性)分布函数分别对X和y单调不减当、时,有F(xpy)F(x2,y)当力,)=IimF(Sy)=1性质3(右连续性)即F(xO,y)=F(x,vF(yO)=F(x,y)性质4(非负性)对任意的xX2,yly2,有PXx2,ytYO性质4为二维随机变量特有的性质.1.2二维离散型随机变量的分布律和边缘分布律二维离散型随机变量（定义3）：如果二维随机变量（X,Y）的取值只是有限对或可列无限多对,则称（X,Y）为二维离散型随机变量,其概率或分布律（联合分布律）P(X=x
3、pY=yj=,iJ=U(I)非负性，Py0,Lj=LZ;OB（2）规范性，EZp,=La户则a+b=正确答案0.5答案解析根据二维离散型随机变量的性质（2）-规范性，知：a+b=l-0.1-0.4=0.5.参见教材P91o【例题计算题】设二维随机变量（X,Y）的分布律为XY123113a6工4224a30求a的值.正确答案J由分布律的性质(规范性)可知与+/+/+彳+/+。=1可得a-1=(2ol3-1)=O33644解得a=-l2,a=l3.根据分布律的非负性，舍去负值，所以a=l3.答案解析参见教材P91。*例题计算题】现有3个整数1,2,3,X表示从这3个数字中随机抽取的1个整数，Y表示
4、从1至X中随机抽取一个整数，试求(X,Y)的分布律.正确答案X与Y的取值均为1,2,3,利用概率乘法公式，可得(X,Y)取各对数值的概率分别是pjr=tr=i=px=ipr=ix=ji=.PX=2.r=2)=PAT=2PF=2X=2)=5=.326P(X=3Y=1=PX=3FT=1*=3=；x；=g.WX=3*=2)=尸X=3尸y=ax=3=gx；=g.PX=3P=3=PX=3尸y=5X=3=：x：=JJQ由于x=lr=2,x=v=3,x=Zr=3XY123113002161603191919答案解析参见教材P92。边缘分布律定义(定义4)：对于二维离散型随机变量(X,Y),其分量X与Y各自的
5、分布律分别称为(X,Y)关于X与关于Y的边缘分布律，记为Pi,i=l,2,.与p.j,j=l,2.己知二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为Pij=PX=xi,Y=yj,i,j=L2,则(X,Y)关于X的边缘分布律为Pi-=尸*=玉=尸*=工广=%=12JT户(X,Y)关于Y的边缘分布律为p7=Pr=yf=P(-V=xf,F=tyJ=p,J=1,2,-.11f-1(X,Y)的边缘分布律的性质：.MP0,=12,A=tPj=1Eg=1【例题计算题】求前述带有星号的例题中，(X,)的边缘分布律.正确答案J(X,Y)关于X的边缘分布律为pjr=p=,r=p=,r三2p=,r=3三oo=-tpx=p=
6、2r=ipx=r=g+Pjr=2,r=3=ii+o=-,663尸X=3=PX=3Jr=l+FX=3Jr=2+X=3Jr=3=1+J+1=L9993pr=px=tr=)p(x=2,r=i+p(x=3,=i)=A三Hpr=2=pkdj=(3)若f(x,y)在点(x,y)处连续，则有江(Xj)xy=/(Xj)(4)设D是XOy平面上的一个区域，则二维随机变量(X,Y)落在D内的概率为P(x,y)D=/(x,j)drdyD【例题计算题】设二维随机变量(X,Y)的概率密度为/(XJ) =112e .由x0,y 0求(X,Y)的分布函数F(x,y).正确答案当XWO或F0时，有F(x,y)=O当x0,y0
7、时，有F(x9y)=12xrO,4y 0 其他答案解析参见教材P95。根据二维随机变量(X,Y)的分布函数，可计算其概率密度.两个重要的二维连续型随机变量的分布均匀分布(定义6)：设D是平面上的有界区域，其面积S0,如果二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为/(,y)=s，(x,y)D, 其他，则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布，记作(X,Y)U(D).如果(X,Y)U(D),D1D,其面积为Si,则有p(x,ne两个特殊情形：d)D是矩形区域，x,cyrf，(x,y)u(d),则(x,y)的概率密度为(&Lxc)dx=2dx蒜1O其中P=(a)O0x,x+内,由于Dl的面积为1/4,所以
8、，PX+F1=(x,j)dxdF=2i=,JMJKl/答案解析参见教材P96。二维正态分布(定义7)：若二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为一2qQF*一对.55其中U,2,OI2,O2%P都是常数，且。0,O20IPb-X,yV+8,则称(X,Y)服从二维正态分布，记为(Kr)n-ooX,y+o.2笈apI二维连续型随机变量的边缘概率密度(定义8)：对于二维连续型随机变量(X,Y),其分量X与Y各自的概率密度分别称为(X,Y)关于X与关于Y的边缘概率密度,记为f()与f(y).已知二维连续型随机受医(X,Y)的概率密度为f(x,y),则()=/二7(工)砂,-QOX+30,力S)=J二/
9、(XJ)A,2y+J.推导过程参见教材P97。【例题计算题】设二维正态随机变量(X,Y)N(d,2,12,22,P),求(X,Y)关于X与关于Y的边缘概率密度.正确答案Jx-n(H)Y-N5,W)答案解析J本题的具体推导过程参见教材P98。注意在推导中使用到了J二意CY也=1与匚ed=石.特例：如果(X,Y)N(O,O,1,1,P),则XN(O,1),Y-N(0,1).启示：若(X,Y)服从二维正态分布，则X和Y服从不含参数P的一维正态分布，说明二维正态分布的边缘分布是相同的，但具有相同边缘分布的二维正态分布可以是不同的.【例题计算题】设二维随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中D为X
10、轴、y轴与y=L2x围成的三角形区域，求(X,Y)的边缘概率密度fx的)、fr(y).正确答案根据题意，画出区域D的图像，如图所示可知区域D的面积为1/4,所以(X,Y)的概率密度为/(y)=4, (Ry)W D, 0,其他.(X,Y)关于X的边缘概率密度为Zr(K)=厂My=L,0x,Io,其他4(l-2x0xiH20其他.(X,Y)关于丫的边缘概率密度为0JL=J2(17 0)其他第03讲随机变量的独立性、两个随机变量的函数的分布第二节随机变量的独立性1.2 两个随机变量的独立性两个随机变量的相互独立(定义9)：设二维随机变机(X,Y)的分布函数为F(x,y),边缘分布函数分别为F(x)、F(y),若对任意x,y,有P=PXrPy即F(x,y)=FX(X)F(y),则称随机变量X与Y相互独立.证明题中注意：与r(x)=F(x,-h三o),4(y)=F(+o,y)可参考教材P102中的
